【教案】高中數(shù)學(xué)選修1-2 5.2.1直接證明：分析法與綜合法

1、5.2.1直接證明：分析法與綜合法教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能目標(biāo)(1)引導(dǎo)學(xué)生分析綜合法和分析法的思考過程與特點(diǎn)；(2)簡(jiǎn)單運(yùn)用綜合法與分析法解決具體的數(shù)學(xué)問題2過程與方法目標(biāo)結(jié)合學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生分析綜合法與分析法的思考過程與特點(diǎn)，并歸納出操作流程3情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)(1)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)和生活中，能自覺地、有意識(shí)地運(yùn)用這些方法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣；(2)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)問題解決過程中的思維方式重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：(1)了解綜合法與分析法的思考過程和特點(diǎn)；(2)運(yùn)用綜合法與分析法證明數(shù)學(xué)問題難點(diǎn)：對(duì)綜合法與分析法的思考過程

2、和特點(diǎn)的概括教學(xué)時(shí)要結(jié)合學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過實(shí)例充分暴露學(xué)生解決問題時(shí)的思維過程及形成原因，再通過不同實(shí)例概括兩種方法的思考特點(diǎn)，從而揭示綜合法與分析法的含義，使重點(diǎn)突出，難點(diǎn)化解教學(xué)建議 在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已積累了較多的綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)是零散的，不系統(tǒng)的由此，借助學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)兩種方法的特點(diǎn)，促使他們形成對(duì)兩種方法的較完整認(rèn)識(shí)所以本節(jié)課宜采取自主探究與師生交流相結(jié)合的教學(xué)模式，充分暴露學(xué)生思維，總結(jié)共性，形成規(guī)律教學(xué)流程課標(biāo)解讀1.理解綜合法、分析法的概念(重點(diǎn))2.能利用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單問題(重點(diǎn))3.感受邏輯證明在數(shù)學(xué)及日常

3、生活中的作用，形成理性思維(難點(diǎn))綜合法【問題導(dǎo)思】閱讀下列證明過程，回答問題已知實(shí)數(shù)x，y滿足xy1，求證：2x2y2.證明：因?yàn)閤y1，所以2x2y222，故2x2y2成立1本題的條件和結(jié)論是什么？【提示】條件：xy1；結(jié)論：2x2y2.2本題的證明順序是什么？【提示】從已知利用基本不等式到待證結(jié)論從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這樣的思維方法稱為綜合法.分析法【問題導(dǎo)思】證明不等式：22成立，可用下面的方法進(jìn)行證明：要證明20,20，只需證明(2)2(2)2，展開得114114，只需證明67，顯然67成立20

4、，求證：abc.【思路探究】注意到不等式左、右兩邊的特征，只需利用“22c”，就可將左、右兩邊的形式化異為同【自主解答】因?yàn)?2c，22a，22b，將以上三個(gè)不等式左、右分別相加，得：2()2a2b2c，即abc.1應(yīng)用綜合法解決問題時(shí)，應(yīng)充分分析條件和結(jié)論之間的異同點(diǎn)，然后合理選擇相關(guān)定義、定理、公式等已知結(jié)論化異為同將條件向結(jié)論轉(zhuǎn)化2綜合法是從命題的條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到問題的解決綜合法廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，是解決問題非常重要的方法一般說來，當(dāng)題目已知條件中因果關(guān)系較清晰時(shí)，可正向思考，由因索果，用綜合法解決已知a，b是正數(shù)，且ab1，求證：4.【證明】法一a，b是

5、正數(shù)且ab1，ab2，4.法二a，b是正數(shù)，ab20，20，(ab)()4.又ab1，4.法三a，b是正數(shù)，且ab1，1124.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取“”號(hào)分析法的應(yīng)用已知a0，求證：a2.【思路探究】條件和結(jié)論的聯(lián)系不明確，考慮用分析法證明【自主解答】要證 a2，只需證 2a.a0，故只需證( 2)2(a)2，即證a244a222(a)2，從而只需證2(a)，只需證4(a2)2(a22)，即證a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立1本題觀察到已知條件簡(jiǎn)單(a0)，而證明的結(jié)論 a2比較復(fù)雜，這時(shí)我們一般采用分析法2分析法的證明過程是：確定結(jié)論與已知條件間的聯(lián)系，合理選擇相關(guān)定義、定理對(duì)結(jié)論

6、進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到獲得一個(gè)顯而易見的命題即可將本例的條件改為“ab0”，結(jié)論改為“(ab)”【證明】要證(ab)，只需證()2(ab)2，即證a2b2(a2b22ab)，即a2b22ab.因?yàn)閍2b22ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以(ab)成立.綜合法與分析法的綜合應(yīng)用已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，求證：(ab)1(bc)13(abc)1.【思路探究】本題可從結(jié)論入手用分析法求解，也可從條件入手用綜合法證明【自主解答】法一(分析法)要證(ab)1(bc)13(abc)1，即證，只需證3，化簡(jiǎn)，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需證c2

7、a2b2ac.因?yàn)锳BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立法二(綜合法)因?yàn)锳BC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60.所以c2a2acb2，兩邊加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，兩邊同時(shí)除以(ab)(bc)，得1，所以(1)(1)3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.綜合法和分析法各有優(yōu)缺點(diǎn)從尋求解題思路來看，綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因就表達(dá)證明過程而論，綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰；分析法敘述煩瑣，文辭冗長(zhǎng)也就是說分析法宜于思考

8、，綜合法宜于表述因此，在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運(yùn)用，先利用分析法尋求解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程設(shè)a，b，c均為大于1的正數(shù)，且ab10，求證：logaclogbc4lg c.【證明】因?yàn)閍1，b1，故要證logaclogbc4lg c，則只需證4lg c.又因?yàn)閏1，所以lg c0，故只需證4，即4，又因?yàn)閍b10，所以lg alg blg(ab)1，故只需證4，(*)又因?yàn)閘g a0，lg b0，所以0b0，則下列不等式中總成立的是()AabB.Cab D.【解析】ab0，0，ab.【答案】A2欲證成立，只需證()A()2()2B()2()2C()2()2D

9、()2()2【解析】欲證，即證，因兩邊皆為正數(shù)，故只需證()2b，則與的大小關(guān)系為_【解析】b(ax)a(bx)abbxabaxx(ba)，a，b，x均為正數(shù)，ab，x(ba)0.b(ax)a(bx)即.【答案】0，b0且ab，求證：a3b3a2bab2.【證明】要證a3b3a2bab2，只需證a3b3a2bab20，只需證a2(ab)b2(ba)0，只需證(ab)(a2b2)0，只需證(ab)2(ab)0，又a0，b0，ab，故(ab)20，ab0，不等式顯然成立.一、選擇題1(2013濟(jì)南高二檢測(cè))若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式xy1，xy0，則()Ax0，y0Bx0，y0，y0 Dx0【解析】x

10、y10，x，y同號(hào)，又xy0，故x0，y0.【答案】A2在不等邊三角形中，a為最長(zhǎng)邊，要想得到A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足條件()Aa2b2c2 Da2b2c2【解析】由cos A0知b2c2a2b2c2.【答案】C3要證：a2b21a2b20，只要證明()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0【解析】a2b21a2b2(a2a2b2)(b21)a2(1b2)(b21)(a21)(1b2)(a21)(b21)故選D.【答案】D4若P，Q(a0)，則P，Q的大小關(guān)系為()APQ BPQCPQ D由a的取值確定【解析】要比較P與Q的大小，只需比較P2與Q

11、2的大小，只需比較2a72與2a72的大小，只需比較a27a與a27a12的大小，即比較0與12的大小，而012.故PQ成立【答案】C5已知函數(shù)f(x)()x，Af()，Bf()，Cf()，(a0，b0)，則A，B，C的大小關(guān)系為()AABC BACBCBCA DCBA【解析】由于，又函數(shù)f(x)()x在R上為減函數(shù)，故f()f()f()【答案】A二、填空題6將下面用分析法證明ab的步驟補(bǔ)充完整：要證ab，只需證a2b22ab，也就是證_，即證_，由于_顯然成立，因此原不等式成立【解析】分析法就是要證結(jié)論成立的充分條件即應(yīng)填：a2b22ab0，(ab)20，(ab)20.【答案】a2b22ab

12、0(ab)20(ab)207若lg xlg y2lg(x2y)，則log_.【解析】原等式即()25()40，解得4或1(舍)，故loglog44.【答案】48已知a，b，(0，)且1，則使得ab恒成立的的取值范圍是_【解析】由題意得ab(ab)()10()10216，當(dāng)且僅當(dāng)且1，即a4，b12時(shí)，等號(hào)成立ab的最小值為16，要使ab恒成立，只需16.【答案】016三、解答題9已知x0，y0，xy1，求證：(1)(1)9.【證明】法一xy1，(1)(1)(1)(1)(2)(2)52()又x0，y0，0，0.2，當(dāng)且僅當(dāng)，即xy時(shí)取等號(hào)則有(1)(1)5229成立法二x0，y0,1xy2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立，xy.則有(1)(1)111189成立10已知abc，且abc0，求證：bc，且abc0，a0，c0，要證原不等式成立，只需證a，即證b2ac3a2，即證(ac)2ac0，ac0,2ac(ac)aab0，(ac)(2ac)0成立，故原不等式成立11(1)設(shè)x1，y1，證明xyxy；(2)1abc，證明logablogbclogcalogbalogcblogac.【證明】(1)由于x1，y1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.將上式中的右式減左式，得yx(xy)2xy(xy)1(