5.第22課時 矩形、菱形、正方形

1、 考點精講矩形、菱形、正方形矩形菱形正方形四邊形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系中間四邊形邊：矩形的對邊平行且相等 ABCD,ADBC ABCD,AD_角：四個角都是直角：ABCBCDCDA DAB90對角線：矩形的對角線相等且互相平分：ACBD， OAOC，OBOD對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形， 有_條對稱軸性質(zhì)BC2 有一個角是_的平行四邊形是矩形判定 有三個角都是直角的四邊形是矩形 對角線_的四邊形是矩形面積：S=_（a、b分別表示長和寬）直角互相平分且相等ab 邊 菱形的四條邊都相等:AB=BC=CD=DA 對邊平行：ABCD,ADBC性質(zhì) 角：對角相等DAB=DCB,ADC=ABC 對角線

2、 對稱性判定面積菱形的對角線互相垂直且_ ACBD AOCO,DOBO對角線平分一組對角 AC平分DAB與_ BD平分ABC與ADC對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有_ 條對稱軸平分DCB2 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 平行四邊形ABCD _ 四邊形ABCD是菱形 四條邊都相等的四邊形是菱形 四邊形ABCD ABBCCDAD 四邊形ABCD是菱形面積：S_(m、n分別表示兩條對角線的長)ACBD12mn 邊 四條邊都相等:AB=BC=CD=DA 對邊平行：ABCD,ADBC性質(zhì) 角：四個角都是直角： ABC=BCD=CDA=DAB=90 對角線

3、 對稱性判定面積 ACBD對角線互相_且相等 AO=CO,DO=BO AC=BD對角線平分一組對角 DAC=BAC=_,DCA=BCA=45 ADB=CDB=_,ABD=CBD=45對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有4條對稱軸垂直平分4545有一個角是_的菱形是正方形有一組鄰邊_的矩形是正方形有一組鄰邊_,并且有一個角是_的平行四邊形是正方形對角線互相垂直的矩形是正方形: 矩形ABCD _ 四邊形ABCD是正方形直角(或90)相等相等直角(或90)ACBD對角線相等的菱形是正方形： 菱形ABCD AC=BD 四邊形ABCD是正方形對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形： ACBD

4、AO=CO,DO=BO 四邊形ABCD是正方形 AC=BD 面積：S_ (a表示正方形邊長)a2相等直角直角相等中點四邊形：平行四邊形的中點四邊形為平行四邊形；矩形的中點四邊形是菱形；菱形的中點四邊形是矩形；正方形的中點四邊形是正方形. 重難點突破一 與矩形有關(guān)的證明及計算（重點）例1如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，ABC=ADC=90，對角線AC，BD交于點O，DE平分ADC交BC于點E，連接OE （1）求證：四邊形ABCD是矩形； 【思維教練】可利用三個角是直角的四邊形是矩形來證明；自主作答:例1題圖 (1)證明：ADBC， ABCBAD180， ABC90， BAD90， BADAB

5、CADC90， 四邊形ABCD是矩形； （2）若AB=2，求OEC的面積【思維教練】作OFBC于F求出EC、OF的長，然后利用三角形的面積公式求解即可.自主作答：(2)解：如解圖，作OFBC于點F. 四邊形ABCD是矩形， CDAB2，BCD90，ACBD, AOBOCODO, BFFC, OF CD1， DE平分ADC，ADC90， EDC45，在RtEDC中，ECCD2， OEC的面積 ECOF1.例1題解圖1212滿分技法對于以矩形為背景的相關(guān)計算，要掌握以下內(nèi)容：1.矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長；2.矩形對角線相等且互相平分，

6、故可借助對角線的關(guān)系得到全等三角形；3.矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形；4.當(dāng)已知條件中有一個角為30時，應(yīng)聯(lián)想到“在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一性質(zhì).練習(xí)1如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6，BC=8，則AEF的周長為( )A.6 B.8C.9 D.10練習(xí)1題圖C【解析】四邊形ABCD是矩形，ADBC8，BAD90，OBODOAOC，在RtBAD中，BD 10，ODOAOB5，E、F分別是AO，AD的中點，EF OD ，AE ，AF4，AEF周長為9.2222= 68ABAD 125252練習(xí)2如圖

7、，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8連接AC，BD，CE平分ACD交BD于點E，則DE=_.練習(xí)2題圖3011【解析】如解圖，過點D作DFAC交CE的延長線于點F，設(shè)AC、BD相交于點O，CE平分ACD，ACEDCEDFE, DFCDAB6，AB6，BC8, ACBD 10, ODOC5, DFAC, DEFOEC， ，且OEODDE5DE， ，解得DE .301122ABBC =DEDFOEOC6=55DEDE 練習(xí)2題解圖二 與菱形有關(guān)的證明及計算（重點）例2在RtABC中，BAC=90，D是BC中點，E是AD中點，過A作AFBC,交BE的延長線于點F，連接CF.（1）求證：AEF

8、DEB； 自主作答：例2題圖(1)證明：AFBC， AFEDBE, E是AD的中點， AEDE，在AEF和DEB中，AEF DEB(AAS)；=FEABEDAFEDBEAE DE （2）求證：四邊形ADCF是菱形； 【思維教練】利用（1）中全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF=BD結(jié)合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADCF是平行四邊形，要證四邊形ADCF為菱形，還需證得一組鄰邊相等，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到BD=AD=DC，從而得出結(jié)論自主作答： (2)證明：由(1)知，AFE DBE，AFDB.AD是BC邊上的中線，DBDC, AFCD.A

9、FBC，四邊形ADCF是平行四邊形， BAC90，D是BC的中點，ADDC BC，四邊形ADCF是菱形；12（3）若AB=5，AC=4，求菱形ADCF的面積【思維教練】由三角形中線的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出SABD =SACD =SACF，得出S 菱形ADCF =S RtABC= ABAC，即可得出答案自主作答:12解：D是BC的中點，四邊形ADCF是菱形， SABDSACDSACF, S菱形ADCFS RtABC ABAC 5410.1212滿分技法與菱形有關(guān)的計算，一般有以下三種設(shè)問：求角度；求長度（線段長或者周長）；求面積.1.求角度時，應(yīng)注意菱形的四條邊相等和對角相等、鄰角互補等，可利用等

10、腰三角形的性質(zhì)和平行線的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化要求的角，直到找到與已知的角存在的關(guān)系；2.求長度（線段長或者周長）時，應(yīng)注意使用等腰三角形的性質(zhì)；若菱形中存在一個頂角為60，則連接120頂角所對的頂點的對角線所分割的兩個三角形為等邊三角形，在計算時可借助等邊三角形的性質(zhì)進行求解；連接對角線構(gòu)成直角三角形，則應(yīng)注意使用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含特殊角的直角三角形等進行求解；3.求面積時，可直接利用S=底高來求解，也可利用菱形的兩條對角線互相垂直，其面積等于對角線之積的一半來進行求解.練習(xí)3如圖，在菱形ABCD中，AEBC于點E，AFCD于點F，且E、F分別為BC、CD的中點，則E

11、AF等于( )A 75 B 45C 60 D 30練習(xí)3題圖C【解析】如解圖，連接AC, AEBC，AFCD，且E、F分別為BC、CD的中點， ABAC，ADAC，四邊形ABCD是菱形，ABBCCDAD，ABBCAC，ACCDAD，BD60，BAEDAF30，BAD180B120， EAFBADBAEDAF60.故選C.練習(xí)3題解圖練習(xí)4如圖，在菱形ABCD中，BAD=120，點E、F分別在邊AB、BC上，BEF與GEF關(guān)于直線EF對稱，點B的對稱點是G，且點G在邊AD上，若EGAC，AB=2，則FG的長為.練習(xí)4題圖【解析】四邊形ABCD是菱形，BAD120，ABBCCDAD，CABCAD6

12、0， ABC，ACD是等邊三角形， EGAC，AEGAGE30，BEGF60， AGF90，即FGAD，又BCAD，F(xiàn)GBC, 2SABCBCFG，2 222FG，F(xiàn)G . 343三與正方形有關(guān)的證明及計算（重點）例3如圖，已知正方形ABCD，P是對角線AC上任意一點，E為AD上的點，且EPB=90，作PMAD，PNAB，垂足分別為M、N（1）求證：四邊形PMAN是正方形； 【思維教練】要證四邊形PMAN為正方形，由已知可得NAM=90，AMP=ANP=90，可得四邊形PMAN為矩形；AC平分BAD，則可得PM=PN，可證得四邊形PMAN是正方形. 自主作答：例3題圖證明： (1)四邊形ABC

13、D是正方形， BAD90，AC平分BAD， PMAD，PNAB， PMPN，PMAPNA90， 四邊形PMAN是矩形， PMPN, 四邊形PMAN是正方形； （2）求證：EM=BN【思維教練】由四邊形PMAN是正方形，易證得EPM BPN，即可證得：EM=BN.自主作答：(2)四邊形PMAN是正方形， PMPN，MPN90， EPB90， MPEEPNNPBEPN90， MPENPB, 在EPM和BPN中， PMAPNB90，PMPN，MPENPB，EPM BPN(ASA)， EMBN.滿分技法對于正方形性質(zhì)的有關(guān)計算問題，應(yīng)注意合理運用其性質(zhì)及由性質(zhì)得到的一些結(jié)論：1.四邊相等，四角相等且均為90；2.對角線垂直平分且相等；3.對角線平分一組對角得到45角；4.邊長與對角線的長度比為1 2.練習(xí)5如圖，E為邊長為2的正方形ABCD的對角線上一點，BE=BC，P為CE上任意一點，PQBC于點Q，PRBE于點R，則PQ+PR的值為( )A. B. C. D. 練習(xí)5題圖2212322D【解析】如解圖，連接BP，設(shè)點C到BE的距離為h，則SBCESBCPSBEP，即 BEh BCPQ BEPR，BEBC，hPQPR，即h AC BD 2 .練習(xí)5題解圖22121212121212練習(xí)6ABC是邊長為18的正三角形，點D、E分別在邊AB、BC上，且BD=BE當(dāng)四邊形DEFG是邊長