數(shù)學(xué)歸納法證明

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法(1)問題 1:如何證明粉筆盒中的粉筆 它們都是白色的？ 問題 2: 11,11,2,.1nnnnaaaana 對對于于數(shù)數(shù)列列已已知知，猜猜想想其其通通項項公公式式111a 212a 1nan 313a 有限步驟考察對象無限多米諾骨牌課件演示 多米諾骨牌游戲的原理 這個猜想的證明方法1nan（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時猜想成立。（2）若當(dāng)n=k時猜想成立，即 ，則當(dāng)n=k+1時猜想也成立，即 。1kak111kak根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想

2、都成立。nn1n+1naa,a =1,a=(n),1+a*N已知數(shù)列1(1)當(dāng)n=1時a =1成立111111kkakakkk+1則n=k+1時,a即n=k+1時猜想也成立根據(jù)(1)(2)可知對任意正整數(shù)n猜想都成立.*Nnn1n+1nna對于數(shù)列 a,已知a =1,a=(n),1+a1猜想其通項公式為a =,怎樣證明?n證明：(2)假設(shè)n=k時猜想成立即1ka k例:證明凸n邊形內(nèi)角和為 中， 初始值應(yīng)該從幾??？初始值應(yīng)取3(2) 180n例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= ()nN21n 證明：假設(shè)n=k時等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么1 3

3、5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即n=k+1時等式成立。所以等式對一切正整數(shù)n均成立。例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= ()nN21n 證明：假設(shè)n=k時等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即n=k+1時等式成立。所以等式對一切正整數(shù)n均成立。證明：假設(shè)n=k時等式成立，即n=1時，左邊=1，右邊=0，左邊 =右邊21 3 5(23) (21)kkk 當(dāng)n=k+1時, 代入得證明:(1) 當(dāng)1n 左邊 = 1，右邊 = 12= 1 ，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時

4、成立，即：21 3 5(21) (21)(1) ,kkk 所以等式也成立。綜合（1）（2）等式對一切正整數(shù)n均成立例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= 2n21 3 5(23) (21)kkk 當(dāng)n=k+1時, 代入得證明:(1) 當(dāng)1n 左邊 = 1，右邊 = 12= 1 ，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即：21 3 5(21) (21)(1) ,kkk 所以等式也成立。綜合（1）（2）等式對一切正整數(shù)n均成立例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= 2*()n nN 1+3+5+（2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2問題情境一練習(xí)：

5、某個命題當(dāng)n=k (kN )時成立，可證得當(dāng)n=k+1時也成立?，F(xiàn)在已知當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得（ ） A. n=6時該命題不成立 B. n=6時該命題成立 C. n=4時該命題不成立 D. n=4時該命題成立C練習(xí)鞏固 221nn* *- -+ + + += =a a1 1, , n n N N 1 11 1- -a a1 1+ +a aa a a aa a.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明： 在驗證 n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是（ ） A1 B. C D. 1 1+ +a a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a aC例1.用數(shù)學(xué)歸納法

6、證明22221)211236n nnnn N （）（）122334n(n1) 1(1)(2)3n nn練習(xí).用數(shù)學(xué)歸納法證明：122334n(n1) 1(1)(2)3n nn 從n=k到n=k+1有什么變化湊假設(shè)湊結(jié)論證明:2)假設(shè)n=k時命題成立,即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)n=k+1時， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk=)2)(1( kk)131( k n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，當(dāng) ，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)n=1時，左邊=12=2,右邊= =2. 命題成立1 1

7、11223 33 3)() 1(131.2111)(. 2kfkfnnnnf則已知11431331231KKKK答案：課堂小結(jié)1、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題2、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？兩個步驟和一個結(jié)論，缺一不可3、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確4、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？遞推思想，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題注意類比思想的運用用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d對于一切nN*都成立。 證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=a1,右邊=a1 +（1-

8、1）d=a1, 當(dāng)n=1時，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立,即ak=a1+(k-1)d 當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立.由(1)和(2)知,等式對于任何nN*都成立。湊假設(shè)1kkaad則1(1)akdd1akd湊結(jié)論1(1)1akd證:(1)當(dāng)n=2時, 左邊= 不等式成立.11111413,2 122342424(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時不等式成立,即有: 11113,12224kkk則當(dāng)n=k+1時,我們有:11111(1)1(1)222122111111()12221221kkkkkkkkkkk131113113().24212224(21)(22)24kkkk即當(dāng)n=k+1時,不等

9、式也成立.由(1)、(2)原不等式對一切 都成立. *,2nNn 例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:*11113(2,).12224nnNnnn(4)在證明n=k+1命題成立用到n=k命題成立時,要分析命題的結(jié)構(gòu)特點,分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式的差別.弄清右端應(yīng)增加的項.例如：利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式由k遞推到k+1左邊應(yīng)添加的因式是12113.1214nnnn11121221kkk1、教材P96 A組1（1）（3）2、查閱資料皮亞諾公理（數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)）多米諾骨牌課件演示 例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= ()nN21n 證明：假設(shè)n=k時

10、等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即n=k+1時等式成立。所以等式對一切正整數(shù)n均成立。練習(xí).用數(shù)學(xué)歸納法證明：122334n(n1) 1(1)(2)3n nn 從n=k到n=k+1有什么變化湊假設(shè)湊結(jié)論證明:2)假設(shè)n=k時命題成立,即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)n=k+1時， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk=)2)(1( kk)131( k n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，當(dāng) ，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)n=1時，左邊=12=2,右邊= =2. 命題成立1 111223 33 3課堂小結(jié)1、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問題？一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題2、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？兩個步驟和一個結(jié)論，缺一不可3、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確4、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？遞推思想，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題注意類比思想的運用用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個等差數(shù)列，