高中數(shù)學蘇教版2第3章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入 公開課獎

學業(yè)分層測評(十一)第3章第2課時復(fù)數(shù)的乘方與除法(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、填空題1.(2023·鹽城期末)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝-3＋i(i為虛數(shù)單位)，則z的實部為________.【解析】由iz＝-3＋i得，z＝eq\f(-3＋i,i)＝1＋3i，則z的實部為1.【答案】12.(2023·吉林一中高二期末)復(fù)數(shù)eq\f(5,2i-1)的共軛復(fù)數(shù)是________.【導學號：97220232】【解析】∵eq\f(5,2i-1)＝eq\f(52i＋1,2i-12i＋1)＝-1-2i.∴eq\f(5,2i-1)的共軛復(fù)數(shù)是-1＋2i.【答案】-1＋2i3.復(fù)數(shù)eq\f(1-\r(3)i,\r(3)＋i2)＝________.【解析】原式＝eq\f(1-\r(3)i,21＋\r(3)i)＝eq\f(1-\r(3)i2,21＋\r(3)i1-\r(3)i)＝-eq\f(1,4)-eq\f(\r(3),4)i.【答案】-eq\f(1,4)-eq\f(\r(3),4)i4.設(shè)i是虛數(shù)單位，則eq\f(i3i＋1,i-1)等于________.【解析】(1)∵eq\f(i＋1,i-1)＝-eq\f(1＋i2,1-i1＋i)＝eq\f(2i,-2)＝-i，∴eq\f(i3i＋1,i-1)＝i3·(-i)＝-i4＝-1.【答案】-15.(2023·全國卷Ⅰ改編)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1＋z,1-z)＝i，則|z|＝________.【解析】由eq\f(1＋z,1-z)＝i，得z＝eq\f(-1＋i,1＋i)＝eq\f(-1＋i1-i,2)＝eq\f(2i,2)＝i，所以|z|＝|i|＝1.【答案】16.(2023·北京高考)若(x＋i)i＝-1＋2i，(x∈R)，則x＝________.【解析】由(x＋i)i＝-1＋2i，得x＝eq\f(-1＋2i,i)-i＝eq\f(-i＋2i2,i2)-i＝2.【答案】27.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1＋ai,2-i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值是________.【解析】eq\f(1＋ai,2-i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2-i2＋i)＝eq\f(2-a＋1＋2ai,5)，由純虛數(shù)定義，則2-a＝0，∴a＝2.【答案】28.已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a＋b＝__________.【解析】∵eq\f(a＋2i,i)＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝-1＋bi，∴a＝-1，b＝2，∴a＋b＝1.【答案】1二、解答題9.計算：(1)eq\f(3＋2i,2-3i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),2)-\f(i,2)))6；(2)eq\f(-2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1＋i)))2＋eq\f(4-8i2--4＋8i2,4＋3i).【解】(1)原式＝eq\f(i2-3i,2-3i)＋i6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)-\f(\r(3),2)i))6＝i＋i2＝i-1.(2)原式＝eq\f(i2\r(3)i＋1,1＋2\r(3)i)＋eq\f(2,2i)＋eq\f(4-8i2-[-4-8i]2,4＋3i)＝i＋eq\f(1,i)＋eq\f(4-8i2-4-8i2,4＋3i)＝i＋(-i)＋0＝0.10.(1)若eq\f(2＋ai,1＋\r(2)i)＝-eq\r(2)i，求實數(shù)a的值.(2)若復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i,1-i)，求eq\x\to(z)＋3i.【解】(1)依題意，得2＋ai＝-eq\r(2)i(1＋eq\r(2)i)＝2-eq\r(2)i，∴a＝-eq\r(2)，(2)∵z＝eq\f(2i,1-i)＝eq\f(2i1＋i,1-i1＋i)＝i(1＋i)＝-1＋i，∴eq\x\to(z)＝-1-i，∴eq\x\to(z)＋3i＝-1＋2i.能力提升]1.復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)·eq\x\to(z)＝4＋3i，則z＝________.【解析】∵eq\x\to(z)＝eq\f(4＋3i,1＋2i)＝eq\f(4＋3i1-2i,5)＝eq\f(10-5i,5)＝2-i.∴復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝2-i，∴z＝2＋i.【答案】2＋i2.(2023·浙江高考)已知i是虛數(shù)單位，計算eq\f(1-i,1＋i2)＝__________.【解析】eq\f(1-i,1＋i2)＝eq\f(1-i,2i)＝eq\f(1-i,2i)·eq\f(-i,-i)＝eq\f(-1-i,2)＝-eq\f(1,2)-eq\f(1,2)i.【答案】-eq\f(1,2)-eq\f(1,2)i3.當z＝-eq\f(1-i,\r(2))，z100＋z50＋1的值等于________.【解析】z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1-i,\r(2))))2＝-i.∴z100＋z50＋1＝(-i)50＋(-i)25＋1＝(-i)2＋(-i)＋1＝-i.【答案】-i4.已知z為復(fù)數(shù)，eq\f(z-1,i)為實數(shù)，eq\f(z,1-i)為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z.【解】設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\f(z-1,i)＝eq\f(a-1＋bi,i)＝(a-1＋bi)·(-i)＝b-(a-1)i.因為eq