概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(免費(fèi)).

1、?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?第一章概率論的根本概念 2 樣本空間、隨機(jī)事件1 事件間的關(guān)系 A B 那么稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生A、B =x x w A或x w B稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A, B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生Ac B =x x E A且x E B稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A, B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 AB發(fā)生A B =x x乏A且x更B稱為事件 A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件 A B發(fā)生A* B ：,那么稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，根本領(lǐng)件是兩兩互不相容的A B = 5且B

2、 = ，那么稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件 A與事件B互為對立事件2 運(yùn)算規(guī)那么 交換律A _ B二B _ A A B二B - A結(jié)合律(A B) 一 C = A 一(B 一 C) (A 一 B)C = A(B 一 C)分配律 A _( B - C)二(A 一 B廠(A C)A -(B 一 C) =(A - B)(A - C)徳摩根律 A= A - B A - B = A B 3 .頻率與概率定義在相同的條件下，進(jìn)行了 n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA.； n稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一

3、個(gè)實(shí)數(shù)，記為P( A), 稱為事件的概率1 概率P(A)滿足以下條件：(1) 非負(fù)性：對于每一個(gè)事件 A 0乞P(A)乞1(2) 標(biāo)準(zhǔn)性：對于必然事件 S P(S) =1(3)可列可加性：設(shè)Ai,A2,，An是兩兩互不相容的事件， 有P( Ak)=7 P(Ak)( n可kk4以?。?2.概率的一些重要性質(zhì)：(i) P( ) =0nn(ii) 假設(shè)Ai,A2,，An是兩兩互不相容的事件，那么有P( Ak)二二P(Ak)( n可以?。?k4k 二(iii )設(shè) A，B是兩個(gè)事件假設(shè) A B，那么 P(B _ A) = P(B) _ P(A)， P(B) _ P(A)(iv )對于任意事件 A, P

4、(A) 1(v)P(Aj=1P(A)(逆事件的概率)(vi )對于任意事件 A, B有 P(A 一 B)二 P(A) P(B) - P(AB) 4等可能概型(古典概型)等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同假設(shè)事件 A包含k個(gè)根本領(lǐng)件，即，里ii, iz，i k是1,2, n中某k個(gè)不同的數(shù)，那么有/ f k A包含的根本領(lǐng)件數(shù) 巳厲./衛(wèi)飛中根本領(lǐng)件的總數(shù) 5.條件概率(1) 定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A) 0,稱P(B|為事件A發(fā)生的條P(A)件下事件B發(fā)生的條件概率(2) 條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1。非負(fù)性:對于某一事件B,有 P(B|A

5、) 02。標(biāo)準(zhǔn)性:對于必然事件S, P(S|A)=13可列可加性：設(shè)B1，B2,是兩兩互不相容的事件，那么有00P(u Bi A )=瓦 P(Bi A )i =1i T(3) 乘法定理設(shè)P(A) 0，那么有P(AB) =P(B)P(A| B)稱為乘法公式(4)全概率公式：nP(A)八 P(Bi)P(A|Bi)i 二貝葉斯公式：P(Bk | A)P(Bk)P(A|Bk)n P(Bi)P(A| Bi)i 4 6.獨(dú)立性定義設(shè)A, B是兩事件，如果滿足等式 P(AB) =P(A)P(B)，那么稱事件A,B相互獨(dú)立定理一 設(shè)A, B是兩事件，且P(A) . 0,假設(shè)A, B相互獨(dú)立，那么 P(B|A)

6、 = PB定理二 假設(shè)事件A和B相互獨(dú)立，那么以下各對事件也相互獨(dú)立：A與B ,A與B ,A與B第二章隨機(jī)變量及其分布 1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為 S二e.X=X(e)是定義在樣本空間 S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X =X(e)為隨機(jī)變量 2離散性隨機(jī)變量及其分布律1. 離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，這種隨 機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量0P(X =Xk)二 Pk 滿足如下兩個(gè)條件(1) Pk -0 , ( 2) V Pk =1kz!2. 三種重要的離散型隨機(jī)變量(1) 分布設(shè)隨機(jī)變量 X只能取 0 與 1 兩個(gè)值，它的分布律是 P(X二k) =pk(1-

7、p)1-k, k =0,1 (0 ： p 1)，那么稱X服從以P為參數(shù)的分布或兩點(diǎn)分布。(2) 伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與A，那么稱E為伯努利實(shí)驗(yàn)設(shè)P(A) =p(0 ： p - 1),此時(shí)P(A) = 1- p 將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次，那么稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。nP(X =k)pkqn-k, k =0,1,2,n 滿足條件(1) pk - 0 , (2) Pk =1 注意到(；pkqn-k是二項(xiàng)式(p+q)的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布。(3 )泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2，而取各個(gè)值的概率

8、為、ke-幾P(X二k) ,k =0,1,2，其中，.0是常數(shù)，那么稱 X服從參數(shù)為的泊松分布記為 k!X ： ( ) 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) F(x)二PX込x,-： : x :稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)二P(X乞x),具有以下性質(zhì)(1) F(x)是一個(gè)不減函數(shù) (2 )0 F(x)乞 1，且 F(-：) =0,F(：) =1(3) F(x 0) =F(x),即F(x)是右連續(xù)的 4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F (x),存在非負(fù)可積函數(shù) f (x)，使對x于任意函數(shù)x有F(x)二f (t) dt, 那么

9、稱x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度1概率密度f (x)具有以下性質(zhì)，滿足(1) f (x) _ 0, (2) f (x)dx二1 ；(3) P(X1 蘭 X 蘭 X2) = J f (x)dx ; (4)假設(shè) f (x)在點(diǎn) x 處連續(xù)，那么有 F(x)=f(x)x12,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量假設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量丄X具有概率密度f (x) =tb_aI 0(1)均勻分布，a x ：；b，那么成x在區(qū)間(a,b)上服，其他從均勻分布記為X U ( a, b)(2)指數(shù)分布假設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度為丄e f (x)痊，x. 0，其他其中V - 0為常數(shù)，

10、那么稱X服從參數(shù)為V的指數(shù)分布。(3 )正態(tài)分布假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為:X ：:：:,其中，；0為常數(shù)，那么稱從參數(shù)為二的正態(tài)分布或高斯分布，記為特別，當(dāng)-0, ；-1時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量 X具有概率密度fXx,-： :：x ：,又設(shè)函數(shù)gx處處可導(dǎo)且恒有g(shù)(x)0Y=gX是連續(xù)型隨機(jī)變量其概率密度為fY ( y) =%h(y) h(y) a y P0，其他第三章多維隨機(jī)變量 1二維隨機(jī)變量定義 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S二e. X =Xe和Y =Ye是定義在S上的隨機(jī)變量，稱 X =Xe為隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量X，

11、Y叫做二維隨機(jī)變量設(shè)X， Y是二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x， y，二元函數(shù) F x，y = PX乞xY y記成PX乞x，Y 0，那么稱f(x, y)為在Y=y的條件下x的條件概率密 fy(y)度，記為 fxY(xy)= f y)fv(y) 4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義設(shè)F (x, y)及Fx(x) , Fy(y)分別是二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)假設(shè)對于所有x,y有PX = X,丫二y二PX空xPY y，即Fx,y -Fx(x)FY(y), 那么稱隨機(jī)變量 X和Y是相互獨(dú)立的。對于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X, Y), X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)卜=0 5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的

12、分布1, Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f (x, y).那么Z=x+丫仍為連續(xù)性qQqQ隨機(jī)變量，其概率密度為fx y(z)二.二(z-y, y) dy或 fx Y(z) = _ . f (x, x) dx又假設(shè)x和Y相互獨(dú)立，設(shè)(X, 丫)關(guān)于x, Y的邊緣密度分別為fx (x), fY(y)那么OQqQfx Y(z)二fx(z-y) fY(y)dy 和 fx y二 一 fx(x) fy(z-x)dx這兩個(gè)公式稱為 -=a-=ofx , fY的卷積公式有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2, z 的分布、Z二XY勺分布x設(shè)(x,Y)是二維

13、連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度Yf(x，y)，那么 r，xY仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為Y x (z) = xf (x,xz)dxfXY (z)=8f (x,-)dx又假設(shè)x和Y相互獨(dú)立，設(shè)(x, xY)關(guān)于x,Y的邊緣密度分別為fx(X), fY(y)那么可化為 fYX(Z)二匚fX(x)fY(xz)dXf xy 二:1zLfx (x)fY(；)dxFx (x),FY(y)由于3M 二maxX , Y及N =min X,Y的分布設(shè)x, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為M =maxX , Y不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有PM z = PX _ z, Y z又由于X和Y

14、相互獨(dú)立，得到 M二maxX , Y的分布函數(shù)為Fmax(z) = FX(z)FY(z)N = minX,Y的分布函數(shù)為 Fmin =1 - 1 - Fx 】1 - Fy(z) 1第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1 數(shù)學(xué)期望QO定義設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為PX二Xk二Pk , k=1,2，假設(shè)級數(shù)7 XkPk絕對kTQO收斂，那么稱級數(shù) 7 XkPk的和為隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即E(X)=v Xk Pkk 1iqQ設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f(x)，假設(shè)積分xf(x)dx絕對收斂，那么稱積分oqbo.xf(x)dx的值為隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即E(X)二x

15、f(x)dx定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))QO(i )如果X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為PX =xk二pk，k=1,2，假設(shè)g(xk)pk k 二絕對收斂那么有 E(Y)二 E(g(X)=二 g(xQPk(ii)如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為 f (x)，假設(shè)g(x) f (x)dx絕對收斂那么 *0有 E(Y) =E(g(X) = ：g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，那么有E(C) =C2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，那么有E(CX)二CE(X)3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，那么有 E(X Y E(X) E(Y)；4設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)

16、變量，那么有E(XY)二E(X)E(Y) 2方差定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，假設(shè)E X -E(X)12存在，那么稱ElX -E(X)!2為X的方差，記為D( x)即D(x)=E X -E(X) F，在應(yīng)用上還引入量. D(x)，記為二(x)，稱為標(biāo) 準(zhǔn)差或均方差。D(X) =E(X - E(X)2 =E(X2) - (EX)2方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，那么有 D(C) =0,2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，那么有 D(CX)=C2D(X)，D(X CD(X)3 設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，那么有 D(X YD(X) - D(Y) 2E(X - E(X)(Y - E(Y)特 別，假設(shè)X,Y相互獨(dú)立

17、，那么有 D(X YD(X) D(Y)4D(X) =0的充要條件是 X以概率1取常數(shù)E(X)，即PX =E(X) =1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望 E(X) -廠2，那么對于任意正數(shù) ；，不等式_ 2PX-4成立z 3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義 量E X _E(X)Y _E(Y)稱為隨機(jī)變量 X與Y的協(xié)方差為Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)二 E(X 一 E(X)(Y 一 E(Y) = E(XY) 一 E(X )E(Y) Cov(X , Y)而：稱為隨機(jī)變量 X和Y的相關(guān)系數(shù)糾(X) pDY對于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X和Y， D(X Y)二D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)協(xié)方差具

18、有下述性質(zhì)1Cov(X,Y) =Cov(Y,X), Cov(aX,bY) =abCov(X,Y)2Cov(X, X2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y)定理 1* 0xke_P(X =k)=,k = 0,1,2，k!入扎幾何分 布0 c p C1k _1P(X =k)=(1 p) p,k=1,2,1 p1 - p2 p均勻分 布a vbf1 f(x) = (b a ,axu ，10 ，其他a + b2(b-a)212指數(shù)分 布e 0f(x) = beI。0,其他e薩正態(tài)分 布CT 01(x*2f(X)Se2 O第五章 大數(shù)定律與中心極限定理 1.大數(shù)定律弱大數(shù)定理辛欣大數(shù)定理設(shè)Xi, X2是相互獨(dú)立，服從統(tǒng)一分布的隨機(jī)變量序列，并1 n具有數(shù)學(xué)期望EXQ=1,2,.作前n個(gè)變量的算術(shù)平均 一