《數(shù)理方程》ppt課件

1、第三章第三章 分別變量法分別變量法n分別變量法是求解線性偏微分方程定解問分別變量法是求解線性偏微分方程定解問題的普遍方法之一，它適用于各種類型的題的普遍方法之一，它適用于各種類型的偏微分方程。根本思想是將多元函數(shù)化為偏微分方程。根本思想是將多元函數(shù)化為單元函數(shù)，將偏微分方程化為常微分方程單元函數(shù)，將偏微分方程化為常微分方程進展求解。詳細做法是：首先求出具有變進展求解。詳細做法是：首先求出具有變量分別方式且滿足邊境條件的特解，然后量分別方式且滿足邊境條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其他的定解條件確定疊加系數(shù)。由其他的定解條件確定疊加系數(shù)。

2、n由于要將滿足齊次偏微分方程和齊次邊境由于要將滿足齊次偏微分方程和齊次邊境條件的解經(jīng)過變量分別條件的解經(jīng)過變量分別, , 將其轉(zhuǎn)化為常微將其轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題分方程的定解問題. . 為此，我們首先給出為此，我們首先給出二階線性常微分方程求解公式。二階線性常微分方程求解公式。n二階線性常系數(shù)齊次微分方程的普通方式為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的普通方式為ny+ p y+q y = 0n特征方程：特征方程： r2 + p r +q = 0n特征根：特征根： r1 和和 r2 . 當(dāng)當(dāng)nr1 r2 都是實根時，其通解為都是實根時，其通解為n y(x) = A exp(r1x) + B exp(

3、r2x)nr1 、r2是兩個相等的實根時，其通解為是兩個相等的實根時，其通解為n y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x)nr1,2=i是一對共軛復(fù)根時是一對共軛復(fù)根時,其通解為其通解為n y(x) =exp(x)(A cosx + Bsinx)傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)傅立葉展開定理：周期為傅立葉展開定理：周期為22的函數(shù)的函數(shù)f(x) f(x) 可以展開為三角級數(shù)，展開式系數(shù)為可以展開為三角級數(shù)，展開式系數(shù)為11( )cos,( )sinnnaf xnxdxbf xnxdx狄利克雷收斂定理：狄利克雷收斂定理：假設(shè)函數(shù)在一個周期內(nèi)延續(xù)或只需有假設(shè)函數(shù)在一個周期內(nèi)延續(xù)或只需有

4、限個第一類延續(xù)點且在一個周期內(nèi)至限個第一類延續(xù)點且在一個周期內(nèi)至多只需有限個極值點，那么當(dāng)多只需有限個極值點，那么當(dāng)x x是延是延續(xù)點時，級數(shù)收斂于該點的函數(shù)值；續(xù)點時，級數(shù)收斂于該點的函數(shù)值；當(dāng)當(dāng)x x是延續(xù)點時，級數(shù)收斂于該點左是延續(xù)點時，級數(shù)收斂于該點左右極限的平均值。右極限的平均值。 傅立葉級數(shù)推行假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(t)f(t)的周期為的周期為T=2LT=2L，那么，那么傅里葉展開式為傅里葉展開式為1021)sincos()(nLtnnLtnnbaatf,cos)(1LLLtnndttfLaLLLtnndttfLbsin)(1 1. 1. 有界弦的自在振動有界弦的自在振動 例1. 研

5、討兩端固定均勻的自在振動. 定解問題為： lxxtuxutuulxxuatuttlxx0),(),(0, 0, 00, 000022222 特點: 方程齊次, 邊境齊次. 設(shè) 且 不恒為零，代入方程和邊境條件中得)()(),(tTxXtxu ),(txu 0 2 TXaXT 由 不恒為零，有： ),(txu)()()()(2 tTatTxXxX XXTaT 2 取參數(shù) 0)(0,(0) lXX成成立立 0)()( xXxX . 02 TaT 0)()(0)()0(tTlXtTX利用邊境條件那么 0)(, 0)0(0 lXXXX 特征值問題 參數(shù)稱為特征值.分三種情形討論特征值問題的求解函數(shù)X(

6、x)稱為特征函數(shù) 002121lleCeCCC 由邊值條件 00212ClCC(i) 方程通解為 xxeCeCxX 21)(0 (ii) 時，通解 21)(CxCxX 0 由邊值條件得：0)( xXC1 =C 2=0 C1 =C 2=0 從而從而 ， 無意義無意義. . 0 , 0)(021 xXCC 無意義0 由邊值條件： 0sin021lCC 從而 0 l sin即： , 3 , 21,222，nln (iii 時，通解 xCxCxX sincos)(21 0 nl 故, 2 , 1,sin)(2 nxlnCxX而, 02 C得再求解T： 0)()(2222 tTlnatTnn 其解為 l

7、t annlt annnBAtT sincos)( 所以 ,sin)sincos(),(321nBAtxulxnlt annlt annn 兩端兩端固定固定弦本弦本的征的征振動振動疊加 lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1. 代入初始條件得： 11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA 將 展開為Fourier級數(shù)，比較系數(shù)得 )(),(xx llnnannalnllnlnndBdA0202sin)(sin)( lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1 定解問題的解是Fourier正弦級數(shù)，這是在 x0 和 x

8、=l 處的第一類齊次邊境條件決議的。 0)()0(, 0)()0()()0( lll 那么無窮級數(shù)解lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),(1 為如下混合問題的解 lxxulxxuuulxuautttlxxxxtt0)(0)(00000002 上， ，且 23)(,)(CxCx ,l0定理：假設(shè)在區(qū)間定理：假設(shè)在區(qū)間解：令 , 得 )()(),(tTxXtxu 0)()( 0)(0)0 2 tTlXtTXTXaXT化簡: 002 )()( lXXXXTaT引入?yún)?shù) 得 XXTaT 2例2：研討兩端自在棒的自在縱振動問題. )()(xuxuuuuautttlxxxxx

9、xtt 0002000第二類邊境條件第二類邊境條件得C1 =C 2=0 從而 ，無意義 0)( xX分別變量： 0)()0(0 lXXXX 時， 0 xxeCeCxX 21)( 0)(0)(2121lleCeCCC 由邊值條件02 TaT (ii) 時, , 0 xDCxX00 )(000CxXlXX )()()(iii) 時, 0 xCxCxX sincos)(21 0sin012lCC 那么 而 , 01 C.), 2 , 1(0sin nnll lxnCxXln cos)(1222 由邊值條件由邊值條件從而本征值 ,222102 nln 本征函數(shù) ,cos)(101 nlxnCxX T

10、的方程00 T002222 nTlanTnn 其解為 tBAtT000 )(,sincos)(21 nlatnBlatnAtTnnn 所以 tBAtxu000 ),(,cos)sincos(),(21 nlxnlatnBlatnAtxunnn 100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu cos)sincos(),(故代入初始條件: )(sin)(cos1010 xlxnBlanBxlxnAAnnnn 將 展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)得 )(),(xx lldlBdlA000000)(1)(1 lnlnndlnanBdlnlA00cos)(2cos)(2 解為傅立葉余弦級數(shù)，由端點處的

11、二類齊次邊境條件000 lxxxxuu決議. 2. 2.有限長桿的熱傳導(dǎo)問題有限長桿的熱傳導(dǎo)問題 對于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題對于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題, , 其解其解題過程和動搖方程的過程類似題過程和動搖方程的過程類似. . 所以下面的所以下面的例題我們僅給出主要步驟例題我們僅給出主要步驟. .2000000( )0txxxx ltua uxltuuuf xxl，0其中其中 為給定的函數(shù)為給定的函數(shù). . f x例齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題例齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題 令令 )()(),(tTxXtxu 0)(0)0(0 lXXXX 02 TaT 代入方程及邊境條件中代入方程及邊境條件中, ,

12、 并引入?yún)?shù)并引入?yún)?shù) 得得 當(dāng)當(dāng) 或或 時時, , 0 0 0 )(xX特征值問題特征值問題當(dāng)當(dāng) 時時, , 0 xCxCxX sincos)(21 由邊境條件由邊境條件 0sin021lCC 從而從而 , 2 , 1,222 nln 特征函數(shù)為：特征函數(shù)為： , 2 , 1,sin)(2 nlxnCxX T T 的方程的方程 02222 TlnaT 解得解得 2222)(ltannCetT 所以所以 1sin,2222nltannlxneCtxu 將將 疊加疊加, , 利用初始條件確定系數(shù)利用初始條件確定系數(shù),nux t21,sinnatlnnnu x tC exl將初始條件將初始條件 (

13、 ,0)( )u xf x代入上式，得代入上式，得 )(sin1xfxlnCnn lnxdxlnxflC0sin2所以系數(shù)所以系數(shù) 分別變量流程圖xxtuau20|0Lxxuu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2022TwaT02 XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkkkXTu),( txuu例細桿的熱傳導(dǎo)問題 長為 的均勻細桿，設(shè)與細桿線垂直截面上各點的溫度相等，側(cè)面絕熱， 端絕熱， 端熱量自在分發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0 ，初始溫度為 求此桿的溫度分布。 l0 xlx ),(x 解：定解問題為解：定解問題為 x

14、uhuuutlxuautlxxxxxxt 002|0| )(, 0|)0,0(0設(shè)設(shè) 且且 ),()(),(tTxXtxu ,),(0 txu, 0 XX 02 TaT , 0) 0( X. 0)()( lhXlX得本征值問題得本征值問題 0)()(, 0)0(0 lhXlXXXX 由由 及齊次邊境條件，有及齊次邊境條件，有 0 ),(txu當(dāng) 或 時, 0 0 0)( xX當(dāng) 時, 0 xBxAxX sincos 由由 得得 0)()( lhXlX0cossin lhl 由由 得得 故故 0)0( X, 0 BxAxX cos)( 即即 ,tg hl 令令, lr ,hl rr tg有有函數(shù)

15、方程ryry 2rytg 13r 2r 1r 1r2r3r圖圖 1 1由圖由圖1 1看出，函數(shù)方程看出，函數(shù)方程有成對的無窮多個實根有成對的無窮多個實根,321rrr ,2222211 lrlrlrkk 故本征值為：故本征值為： 對應(yīng)的本征函數(shù) , 2 , 1,cos kxAxXkkk 的方程： tT02 TaT takkkeCtT2 解為故 1cos),(2kktakxeatxuk lnmnnmhhlnmxdxx02)(210coscos 可以證明函數(shù)系 在 上正交), 2 , 1(cos kxk , 0l由初始條件得 1cos)0 ,(kkkxaxxu )(x cosxk 將 展成以 為基

16、底的付氏級數(shù)，ka確定 lkkkdhhla02cos2 二利用邊境條件二利用邊境條件, ,得到特征值問題并求解得到特征值問題并求解 三將特征值代入另一常微分方程，三將特征值代入另一常微分方程， 得到得到 ( ),nnT tx tu、四將四將 疊加，利用初始條件確定系數(shù)疊加，利用初始條件確定系數(shù),nx tu一將偏微分方程化為常微分方程一將偏微分方程化為常微分方程方程齊次分別變量法解題步驟分別變量法解題步驟邊境條件齊次分別變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊境條件也是齊次的。其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運用疊加原理。注注復(fù)習(xí)分別變量法：復(fù)習(xí)分別變量法：2(),0, 0, 0,( ,

17、,0)( , ), ( , ,0)( , ), 0, 0,(0, , )( , , ) 0,0,0,( ,0, )( , , ) 0,0,0.ttxxyytuc uux ay b tuxyxy u xyxyx ay bu ytuayty btux tuxbtx at 求解以下定解問題求解以下定解問題( , , )( ) ( ) ( )0u x y tX x Y y T t解：設(shè)解：設(shè) 2( )( )( )( )( )( )TtXxYyc T tX xY y 2( )( ) 0,0,T tcT tt( )( )0,0,XxX xxa( )( )0,0.YyY yyb代入方程，得代入方程，得令令(

18、0)( )0XX a代入邊境條件代入邊境條件( )( )0,0,(0)( )0.XxX xxaXX a得特征值問題得特征值問題求得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為求得特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為2,( )sin,1,2, .mmmmm xX xAmaa 類似地類似地, , 我們得到我們得到 (0)( )0YY b( )( )0,0,(0)( )0.YyY yybYY b其特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為其特征值和對應(yīng)的特征函數(shù)為2,( )sin,1,2, .nnnnn yY yBnbb 及特征值問題及特征值問題2222mnmnab22( )( )0,mnmnmnTtc Tt( )cossinmnmnmnmnmnTtCctDct記記代入關(guān)于代入關(guān)于t t的方程的方程上述方程通解為上述方程通解為( , , )( )( )( ),mnmnmnmnux y tXx Yy Tt1111(, )(, )()()( )m nmnm nnmnmuxy tuxy tXx Yy Tt 11(cossin)sinsinmnmnmnmnnmm xn yactbctab,.mnmnmnmnmnmna