小升初-數(shù)學(xué)-幾何-五大幾何模型.doc

1、頁(yè)眉內(nèi)容五大幾何模型知識(shí)框架一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；S ACDS BCD反之，如果 S ACD S BCD ，則可知直線AB 平行于 CD 等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、共角定理（鳥(niǎo)頭定理）兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于

2、對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系( “蝴蝶定理 ”)：S1:S2 S4:S3或者 S1 S3 S2 S4 AO:OCS1S2 : S4S3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系 ( “梯形蝴蝶定理 ”)：2 2 S1 : S3 a : bS1 : S3 : S2 : S4a 2 : b 2 : ab : ab ； S 的對(duì)應(yīng)份數(shù)為 a b 2 四、相似模型頁(yè)眉內(nèi)容(一)金字塔模型(二) 沙漏模型 AD

3、AEDEAF ；ABACBCAG S ADE ：S ABCAF2 :AG2 所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形 (只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似 )，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、共邊定理（燕尾定理）有一條公共邊的三角形

4、叫做共邊三角形。SPABPM共邊定理：設(shè)直線 AB 與 PQ 交于點(diǎn) M ，則QMSQAB特殊情況：當(dāng) PQAB 時(shí)，易知 PAB 與 QAB 的高相等，從而S PAB=SQAB例題精講一、三角形相似模型【例 1】圖 30-10 是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米 ?【鞏固】如圖，四邊形ABCD和EFGH都是平行四邊形，四邊形ABCD的面積是16，3:1，BG :GC則四邊形 EFGH 的面積_【例 2】已知三角形 ABC 的面積為 a ，AF : FC 2:1 ，E 是 BD 的中點(diǎn)，且 EF BC ，交 CD 于 G ，求陰影部分的面積【鞏固】 圖中 A

5、BCD 是邊長(zhǎng)為 12cm 的正方形，從 G 到正方形頂點(diǎn) C 、 D 連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在 AB 上截得的 EF 長(zhǎng)度為 4cm ，那么三角形 GDC 的面積是多少？【例 3】如圖， O 是矩形一條對(duì)角線的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積為3和 4，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【鞏固】 ABCD 是平行四邊形，面積為 72 平方厘米， E 、 F 分別為 AB 、 BC 的中點(diǎn)，則圖中頁(yè)眉內(nèi)容陰影部分的面積為平方厘米二、蝴蝶模型【例 4】如圖所示，長(zhǎng)方形 ABCD 內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB=8,AD=15 四邊形 EFGO的面積為 _【鞏固】 如圖 5

6、所示，矩形 ABCD 的面積是 24 平方厘米，、三角形ADM 與三角形 BCN 的面積之和是 7.8 平方厘米，則四邊形PMON 的面積是平方厘米。【例 5】如圖，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，線段AB 與 CD 相交于 K 點(diǎn)已知正方形 DEFG 的面積 48， AK : KB1:3 ，則BKD 的面積是多少？【鞏固】 如圖所示， ABCD 是梯形， ADE 面積是 1.8 ， ABF 的面積是 9， BCF 的面積是 27那么陰影 AEC 面積是多少？【例 6】如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為 6 的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的

7、一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為【鞏固】 下圖中，四邊形 ABCD 都是邊長(zhǎng)為1 的正方形， E 、 F 、G 、H 分別是 AB ， BC ，CD ，DA 的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)m ，那么，n(mn) 的值等于三、共角定理（燕尾定理）【例7】如圖所示，在四邊形ABCD中，AB3BE， AD3 AF，四邊形AEOF的面積是12 ，那么平行四邊形BODC的面積為_(kāi)【鞏固】 正六邊形A1， A2，A3， A4，A5， A6的面積是2009 平方厘米， B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， B5 ， B6【例8】分別是

8、正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是平方厘米已知四邊形ABCD ， CHFG 為正方形， S甲 : S乙1:8 ， a 與 b 是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，求a : b?【鞏固】 如圖，三角形 ABC 的面積是 1， BDDE分，請(qǐng)寫(xiě)出這 9 部分的面積各是多少 ?【例9】如右圖，面積為1的ABC中，EC ， CFFGGA ，三角形 ABC 被分成 9 部BD:DE:EC1:2:1， CF:FG:GA1:2:1 ，AH : HI : IB1: 2:1 ，求陰影部分面積【鞏固】 如圖， ABC 的面積為 1，點(diǎn) D 、 E 是 BC 邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn) F 、 G 是 AC 邊的三等分點(diǎn)，那么四

9、邊形 JKIH 的面積是多少？【例 10】 如圖，面積為l 的三角形 ABC 中， D、E、 F、 G、H、I 分別是 AB、BC、CA 的三頁(yè)眉內(nèi)容等分點(diǎn) ,求陰影部分面積 .【鞏固】 如圖，面積為 l 的三角形 ABC 中， D、E、F、G、H、I 分別是 AB、BC、CA 的三等分點(diǎn) ,求中心六邊形面積 .課堂檢測(cè)【隨練 1】如圖，在正方形ABCD 中， E 、 F 分別在 BC 與 CD 上，且 CE2BE ， CF2DF ，連接 BF 、 DE ，相交于點(diǎn) G ，過(guò) G 作 MN 、 PQ 得到兩個(gè)正方形 MGQA 和 PCNG ，設(shè)正方形 MGQA 的面積為 S1 ，正方形 PCN

10、G 的面積為 S2 ，則 S1 : S2_【隨練 2】如圖所示，三角形 AEF，三角形 BDF,三角形 BCD ，都是正三角形，其中 AE:BD=1:3, 三角形 AEF 的面積是 1.求陰影部分的面積。家庭作業(yè)【作業(yè)1】如圖，正六邊形面積為 6 ，那么陰影部分面積為多少？【作業(yè)2】如圖，已知 D 是 BC 中點(diǎn)， E 是 CD 的中點(diǎn)， F 是 AC 的中點(diǎn)三角形 ABC 由這 6 部分組成，其中比多 6 平方厘米那么三角形 ABC 的面積是多少平方厘米？【作業(yè)3】如下圖，在梯形 ABCD 中， AB 與 CD 平行，且 CD 2 AB ，點(diǎn) E 、 F 分別是 AD 和 BC的中點(diǎn)，已知陰影四邊形 EMFN 的面積是 54 平方厘米，則梯形 ABCD 的面積是平方厘米【作業(yè)4】一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形如圖擺放，、