離散控制系統(tǒng)及Z變換(補(bǔ)充)

1、v 離散控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)離散控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)(basic theory)(basic theory)v Z Z變換及變換及Z Z反變換反變換(Z transform & Z inverse (Z transform & Z inverse transform)transform)v 差分方程差分方程(difference equation)(difference equation)v 脈沖傳遞函數(shù)（脈沖傳遞函數(shù)（pulse transfer functionpulse transfer function）v 離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)(stability criterion)(s

2、tability criterion)第四章第四章 離散控制系統(tǒng)及離散控制系統(tǒng)及Z Z變換變換discrete control system and Z transformdiscrete control system and Z transform）4.1 離散控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)離散控制系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)一、 信號(hào)的基本形式信號(hào)的基本形式(basic form of signal)1)連續(xù)信號(hào)連續(xù)信號(hào) (continuous ) 2）采樣信號(hào)）采樣信號(hào)sampling3）采樣保持信號(hào)）采樣保持信號(hào)(sampling holding)因此，一個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)包括四種信號(hào)：連因此，一個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

3、包括四種信號(hào)：連續(xù)信號(hào)、采樣信號(hào)、采樣保持信號(hào)、數(shù)字信號(hào)。續(xù)信號(hào)、采樣信號(hào)、采樣保持信號(hào)、數(shù)字信號(hào)。4 4）數(shù)字信號(hào)）數(shù)字信號(hào)(digital)(digital)：用量化單位：用量化單位q q來度量采來度量采樣信號(hào)幅值后所得的信號(hào)。如圖樣信號(hào)幅值后所得的信號(hào)。如圖d d量化圖d整個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào)變換過程如下：整個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào)變換過程如下：模擬信號(hào)采樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)采樣采樣保持信號(hào)模擬信號(hào))(ty)(zD)(sGp- - + +DA/AD/)(* ty)(kTy)(kTu)(tu)(kTr模擬信號(hào) 采樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)模擬信號(hào)量化、保持功能由量化、保持功能由A/DA/D轉(zhuǎn)換器完成，采

4、樣開關(guān)為軟開關(guān)，由程轉(zhuǎn)換器完成，采樣開關(guān)為軟開關(guān)，由程序的脈沖序列完成，故整個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào)變換過程等效序的脈沖序列完成，故整個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)信號(hào)變換過程等效如下：如下：經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器量化經(jīng)采樣開關(guān)經(jīng)保持經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換二、信號(hào)的數(shù)學(xué)表示二、信號(hào)的數(shù)學(xué)表示(math form of signal )(math form of signal )1 1、理想采樣開關(guān)的數(shù)學(xué)表示、理想采樣開關(guān)的數(shù)學(xué)表示)(t單位脈沖函數(shù)是一個(gè)幅值為單位脈沖函數(shù)是一個(gè)幅值為1 1，寬度為寬度為0 0的脈沖量，圖形表示的脈沖量，圖形表示如右，如右，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為000, 1)(tttt01由于理想采樣開關(guān)的

5、閉合時(shí)間很短，由于理想采樣開關(guān)的閉合時(shí)間很短，所以圖中其波形看作是一個(gè)有強(qiáng)度、所以圖中其波形看作是一個(gè)有強(qiáng)度、無寬度的脈沖序列，其數(shù)學(xué)表達(dá)式無寬度的脈沖序列，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為為t01TT2T3T40)()(nTnTtt), 2 , 1 , 0(0, 1)(nnTtnTtnTt其中其中0)()(nTnTttt01TT2T3T42 2、采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)表示、采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)表示連續(xù)信號(hào)用連續(xù)信號(hào)用 表示，采樣信號(hào)用表示，采樣信號(hào)用 表示。表示。)(tf)(*tfKTf(t)f*(t)()()()()()()(00*nnTnTtnTfnTttfttftf由采樣過程知，連續(xù)信號(hào)與采樣信號(hào)分別是采樣開關(guān)由采樣

6、過程知，連續(xù)信號(hào)與采樣信號(hào)分別是采樣開關(guān)的輸入的輸入/ /輸出信號(hào)，則有輸出信號(hào)，則有KTf(t)f*(t)3 3、零階保持器的數(shù)學(xué)表示、零階保持器的數(shù)學(xué)表示(zero-order holder)(zero-order holder)保持器有零階保持器、一階保持器、二階保持器等。保持器有零階保持器、一階保持器、二階保持器等。實(shí)際中，用的最多的是零階保持器。其圖如下實(shí)際中，用的最多的是零階保持器。其圖如下由圖得，零階保持器的數(shù)學(xué)表示為：由圖得，零階保持器的數(shù)學(xué)表示為：)( 1)( 1)(0TttthT0t1三、 數(shù)字控制系統(tǒng)中采樣周期數(shù)字控制系統(tǒng)中采樣周期T T的確定的確定1 1、理論依據(jù)、理論

7、依據(jù)香農(nóng)采樣定理：為了使采樣信號(hào)能不失真的反映連續(xù)香農(nóng)采樣定理：為了使采樣信號(hào)能不失真的反映連續(xù)信號(hào)信號(hào) 的變化規(guī)律，采樣頻率的變化規(guī)律，采樣頻率 至少應(yīng)該是至少應(yīng)該是 頻譜頻譜的最高頻率的最高頻率 的兩倍的兩倍, ,即即)(tff)(tfmaxfmax2 ff 采樣定理給出了采樣周期的采樣定理給出了采樣周期的上限值上限值：2 2、實(shí)際過程中、實(shí)際過程中T T的選擇因素的選擇因素2maxTT ( (采樣周期采樣周期:sampling period):sampling period)理論上，采樣周期越小，離散信號(hào)復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)的理論上，采樣周期越小，離散信號(hào)復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)的精度越高，但在實(shí)際操作中，

8、采樣周期不應(yīng)小于設(shè)精度越高，但在實(shí)際操作中，采樣周期不應(yīng)小于設(shè)備輸入備輸入/ /輸出及計(jì)算機(jī)執(zhí)行程序消耗的時(shí)間輸出及計(jì)算機(jī)執(zhí)行程序消耗的時(shí)間 ，即即 T T太小：增加計(jì)算機(jī)的計(jì)算負(fù)擔(dān)；同時(shí)，采樣間太?。涸黾佑?jì)算機(jī)的計(jì)算負(fù)擔(dān)；同時(shí)，采樣間隔太短，偏差變化不大且調(diào)節(jié)過于頻繁，使得執(zhí)行隔太短，偏差變化不大且調(diào)節(jié)過于頻繁，使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)不能及時(shí)響應(yīng)。機(jī)構(gòu)不能及時(shí)響應(yīng)。 T T太大：調(diào)節(jié)時(shí)間隔長(zhǎng)，干擾輸入得不到及時(shí)調(diào)太大：調(diào)節(jié)時(shí)間隔長(zhǎng)，干擾輸入得不到及時(shí)調(diào)節(jié)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)變壞，對(duì)某些系統(tǒng)，過大的采樣節(jié)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)變壞，對(duì)某些系統(tǒng)，過大的采樣周期可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。周期可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。 因此，因此，

9、實(shí)際操作中，選擇采樣周期時(shí)，要綜合實(shí)際操作中，選擇采樣周期時(shí)，要綜合考慮系統(tǒng)的下列因素?？紤]系統(tǒng)的下列因素。minTmaxminTTT 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)（系統(tǒng)動(dòng)態(tài)指標(biāo)（dynamic criteriondynamic criterion） 一般取一般取 (settling time)(settling time)為過渡時(shí)間（調(diào)節(jié)時(shí)間）為過渡時(shí)間（調(diào)節(jié)時(shí)間）: :被被控量進(jìn)入偏離穩(wěn)態(tài)值的誤差為控量進(jìn)入偏離穩(wěn)態(tài)值的誤差為5 5( (或或2 2) )的的范圍并且不再越出這個(gè)范圍所需的時(shí)間。范圍并且不再越出這個(gè)范圍所需的時(shí)間。2 2、系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（、系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性（dynamic characterdy

10、namic character）若對(duì)象為若對(duì)象為 ，一般取，一般取 若對(duì)象為若對(duì)象為 ， stT)41151(st01 . 0 TT 1)(0sTKsGp1)(0sTKesGsp011 ,)22. 035. 0(11 . 0 ,)35. 02 . 1 (00TTTT3 3、給定值的變化頻率（、給定值的變化頻率（variety frequencyvariety frequency） 若加到被控對(duì)象上的給定值變化頻率越高，采若加到被控對(duì)象上的給定值變化頻率越高，采樣頻率也應(yīng)越高以使給定值的改變得到快速反樣頻率也應(yīng)越高以使給定值的改變得到快速反映。映。4 4、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的類型、執(zhí)行機(jī)構(gòu)的類型( (ac

11、tuator typeactuator type) ) 若執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)作慣性大，則采樣周期可相應(yīng)大若執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)作慣性大，則采樣周期可相應(yīng)大一些，反之則可小些。一些，反之則可小些。5 5、計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度、計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度( (operation speedoperation speed) ) 采樣周期必須保證計(jì)算機(jī)執(zhí)行控制算法的足夠時(shí)采樣周期必須保證計(jì)算機(jī)執(zhí)行控制算法的足夠時(shí)間。各回路可選擇不同的采樣周期。間。各回路可選擇不同的采樣周期。 6 6、被控量的性質(zhì)、被控量的性質(zhì)( (quality of objectquality of object) )如溫度對(duì)象，熱慣性較大，反映較慢，調(diào)節(jié)不宜過

12、如溫度對(duì)象，熱慣性較大，反映較慢，調(diào)節(jié)不宜過于頻繁，可選擇較大的采樣周期，而對(duì)于流量對(duì)象，于頻繁，可選擇較大的采樣周期，而對(duì)于流量對(duì)象，變化迅速，反映快，則選擇較小的采樣周期。變化迅速，反映快，則選擇較小的采樣周期。常見被控對(duì)象的采樣周期經(jīng)驗(yàn)值如下表：常見被控對(duì)象的采樣周期經(jīng)驗(yàn)值如下表：被控量流量壓力液位溫度位置電流環(huán)速度環(huán)采樣周期15s310s68s1020s1050 ms15 ms 520 ms研究一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)，首先要解決它的數(shù)學(xué)模型和分析工研究一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)，首先要解決它的數(shù)學(xué)模型和分析工具問題，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是一種采樣控制系統(tǒng)，即離散系具問題，計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是一種采樣控制系統(tǒng)

13、，即離散系統(tǒng)。統(tǒng)。離散系統(tǒng)的研究方法有很多是與連續(xù)系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)的研究方法有很多是與連續(xù)系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的。線性連續(xù)控制系統(tǒng)線性連續(xù)控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)線性離散控制系統(tǒng)微分方程差分方程拉普拉斯變換Z變換傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程4.2 Z變換及變換及Z反變換反變換 (Z transform & Z inverse transform)(Z transform & Z inverse transform)4.2.1 Z變換變換(Z transform(Z transform）一、定義一、定義（definition）由前面得，采樣信號(hào)得數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由前面得，采樣信號(hào)得數(shù)學(xué)表達(dá)式

14、為：)()()(0*nnTtnTftf對(duì)上式兩邊取拉氏變換，令對(duì)上式兩邊取拉氏變換，令 則則)()(*tfLsFnTsnnnenTfnTtLnTftfLsF000*)()()()()(令令 ，解得，解得 ，則，則TsezzTsln1定義定義：幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明：1 1、Z Z變換定義是關(guān)于變換定義是關(guān)于z z的冪級(jí)數(shù)。只有當(dāng)級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)。只有當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才稱為采樣函數(shù)的收斂時(shí)，才稱為采樣函數(shù)的Z Z變換。變換。2 2、Z Z變換是針對(duì)采樣函數(shù)變換是針對(duì)采樣函數(shù) 而言。即是說而言。即是說Z Z變變換由采樣函數(shù)決定，它只對(duì)采樣點(diǎn)有意義，反換由采樣函數(shù)決定，它只對(duì)采樣點(diǎn)有意義，反映的是采樣時(shí)刻的信息

15、，對(duì)非采樣時(shí)刻不關(guān)心。映的是采樣時(shí)刻的信息，對(duì)非采樣時(shí)刻不關(guān)心。nnzTsznTfsFzF0ln1)()()(0ln1)()(*)(*)(nnzTsznTftfLtfZzF)(*tf故故Z Z變換與采樣函數(shù)是變換與采樣函數(shù)是一一一一對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的。上述關(guān)系說明：一個(gè)采樣函數(shù)上述關(guān)系說明：一個(gè)采樣函數(shù) 對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)Z Z變換，變換，一個(gè)一個(gè)Z Z變換對(duì)應(yīng)一個(gè)采樣函數(shù)變換對(duì)應(yīng)一個(gè)采樣函數(shù), , 但是由于一個(gè)采樣函但是由于一個(gè)采樣函數(shù)數(shù) 可對(duì)應(yīng)無窮多的連續(xù)函數(shù)可對(duì)應(yīng)無窮多的連續(xù)函數(shù) , ,因?yàn)椴蓸雍瘮?shù)只是因?yàn)椴蓸雍瘮?shù)只是考查得一些離散點(diǎn)的值。如下圖所示：考查得一些離散點(diǎn)的值。如下圖所示：)(*tf

16、)()(*tgtf)()(zGzF)()(tgtf)(*tf)(tf)(tg)(tf)(tg0TT2T3t 3 3、Z Z變換的物理意義表現(xiàn)在延遲性上。變換的物理意義表現(xiàn)在延遲性上。nnnznTfzTfzTfzfznTfzF)()2 ()() 0 ()()(2100上式中，通項(xiàng)上式中，通項(xiàng) ，由，由 決定幅值，決定幅值， 決決定時(shí)刻，稱定時(shí)刻，稱 為位移為位移( (延遲延遲) )算子算子,n,n為位移量。為位移量。nznTf)()(nTfnz1z二、二、Z Z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)(character)1 1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì))()()()()()(21*2*1*21*1zbFzaFtfbZt

17、faZtfbtafZ2 2、延遲性質(zhì)、延遲性質(zhì)nkknzkTfzFznTtfZ1*)()()(3 3、超前性質(zhì)、超前性質(zhì)10*)()()(nkknzkTfzFznTtfZ4 4、初值定理、初值定理(initial value theorem)(lim)(lim)(lim) 0(0*0zFnTftffznt5 5、終值定理、終值定理( (finial value theorem)() 1(lim)()1 (lim)(lim)(lim)(111*zFzzFznTftffzznt常見函數(shù)的常見函數(shù)的Z Z變換表如下變換表如下)(tf)(sF)(zF)(t)(1 tt221tateate1)(/ Tt

18、kaa11s11zz21s2)1(zTz31s32)1(2)1(zzzTaTsln)/1(1azzas 1aTezz)(1ass)(1()1(aTaTezzze三、三、Z Z變換的求法變換的求法(Z transform methods )(Z transform methods )1 1、級(jí)數(shù)求和法、級(jí)數(shù)求和法( (series summing) )(1)(1)展開采樣函數(shù)展開采樣函數(shù)( (expanding) )()()2()2()()()() 0 ()()()(0*nTtnTfTtTfTtTftfnTtnTftfnnTsTsTsenTfeTfeTffsF)()2()() 0()(2(2)(

19、2)求拉氏變換求拉氏變換( (transforming) )nznTfzTfzTffzF)()2()() 0()(21(4)(4)然后按級(jí)數(shù)的性質(zhì)寫出級(jí)數(shù)的和函數(shù)然后按級(jí)數(shù)的性質(zhì)寫出級(jí)數(shù)的和函數(shù)Tsez(3)(3)令令例例1 1 求單位階躍函數(shù)求單位階躍函數(shù) 的的Z Z變換變換)( 1)(ttf1)(nTf解：因解：因)()()()(00*nnnTtnTtnTftf故故) 1(1111)(121zzzzzzzzFn當(dāng)例例2 2 求求 的的Z Z變換變換atetf)()()2()()(nTtTtTttnTsTsTseeesF21)(求拉氏變換得求拉氏變換得令令 TseznnaTaTaTzezez

20、ezF2211)(Tsez令令anTenTf)(解：因解：因)()2()()()()()()(200*nTteTteTtetnTtenTtnTftfanTaTaTnanTnnTsnaTTsaTTsaTeeeeeesF221)() 1(11)(11zeezzzezFaTaTaT當(dāng)2 2、部分分式法、部分分式法(partial fraction decomposition)方法：已知方法：已知 的表達(dá)式，將其化成部分分式之的表達(dá)式，將其化成部分分式之和，再查拉氏變換表和，再查拉氏變換表)(sF例例1 1 已知已知 ， 求求)()(assasF)(zF解：解：assassasF11)()()(1()

21、1 (1)(aTaTaTezzezezzzzzF11zzsZaTezzasZ1查表得查表得得得用部分分式法求用部分分式法求Z Z變換時(shí)，系數(shù)求法一般采用以下兩變換時(shí)，系數(shù)求法一般采用以下兩種方法：種方法：1 1、湊（適用于展開項(xiàng)數(shù)不多的場(chǎng)合）、湊（適用于展開項(xiàng)數(shù)不多的場(chǎng)合）2 2、留數(shù)法（適用于任何場(chǎng)合）、留數(shù)法（適用于任何場(chǎng)合）設(shè)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為：設(shè)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為：0p重根系數(shù)的求法重根系數(shù)的求法)()()()()(111qpssssBsF)()()()()()(11111111121111qqpppscscscscscsF), 2 , 1()()()!1(11111111pj

22、sFsdsdjcspjjj單根系數(shù)求法單根系數(shù)求法), 2 , 1()()(qisFscisii當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 也即特征方程有重根也即特征方程有重根) 1(10)(2sssF例：求例：求的的Z Z變換變換4.2.2 Z Z反變換反變換( (Z inverse transform)Z inverse transform)一、定義一、定義(definition)(definition)根據(jù)根據(jù) 求采樣函數(shù)求采樣函數(shù) 或離散函數(shù)或離散函數(shù) 的過的過程稱為程稱為Z Z反變換。記為反變換。記為)(zF)(*tf)(kTf)()(1zFZkf也可利用也可利用MATLABMATLAB中的命令中的命令residu

23、eresidue進(jìn)行部分分進(jìn)行部分分式展開，命令格式為：式展開，命令格式為：r,p,k=residue(num,den)r,p,k=residue(num,den)二、求法二、求法(methods)(methods) 求求Z Z反變換的方法有長(zhǎng)除法和部分分式法反變換的方法有長(zhǎng)除法和部分分式法 1 1、長(zhǎng)除法（、長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)展開法冪級(jí)數(shù)展開法series expansionseries expansion) ) 方法：將方法：將 展開成如下形式展開成如下形式)(zFnnnznTfzTfzfznTfzF)()() 0 ()()(100式中以式中以 的升冪順序排列，然后求出對(duì)應(yīng)的的升冪順序排列，然

24、后求出對(duì)應(yīng)的 即可。即可。1z)(nTf先將分子分母分別按先將分子分母分別按 的升冪排列，然后通過的升冪排列，然后通過分子除以分母得到其冪級(jí)數(shù)的展開式。分子除以分母得到其冪級(jí)數(shù)的展開式。)()(110110nmzbzbbzazaazFnnmm15 . 011)(zzF)()(*kTftf或若若 為兩個(gè)有理多項(xiàng)式之比表示為兩個(gè)有理多項(xiàng)式之比表示, ,即即)(zF1z例例1 1 設(shè)設(shè)求求解：分子除以分母得解：分子除以分母得kkkzzzzzzF043215.00625.0125.025.05.01)(1)1 ()(1()1 ()(111zzezezzezzF例例2 2 求求 的的Z Z反變換反變換寫

25、出前五項(xiàng)寫出前五項(xiàng))3(125. 0)2(25. 0)(5 . 0)(*TtTtTttf分子分母同除以分子分母同除以 得得368. 0104. 1736. 1632. 0)(232zzzzzF解：按要求整理得解：按要求整理得3z3211368. 0104. 1736. 11632. 0)(zzzzzF)5(010. 1)4(117. 1)3(207. 1)2(097. 1)(632. 0)(*TtTtTtTtTttf), 2 , 1(010. 1117. 1207. 1097. 1632. 0)(kkf長(zhǎng)除后得長(zhǎng)除后得54321010. 1117. 1207. 1097. 1632. 0)(z

26、zzzzzF則則特點(diǎn)：此種方法在實(shí)際中應(yīng)用較為方便，只需要計(jì)算有特點(diǎn)：此種方法在實(shí)際中應(yīng)用較為方便，只需要計(jì)算有限項(xiàng)就夠了，缺點(diǎn)是得到限項(xiàng)就夠了，缺點(diǎn)是得到 的一般表達(dá)式較難。的一般表達(dá)式較難。)(*tf)(zf2 2、部分分式法、部分分式法(partial fraction decomposition)方法：將方法：將 展開成部分分式之和的形式，然后通過查展開成部分分式之和的形式，然后通過查表求出各部分分式的表求出各部分分式的Z Z反變換。反變換。需要指出的是：參照需要指出的是：參照z z變換表可以看到，所有變換表可以看到，所有z z變換函數(shù)變換函數(shù)在其分子上都有因子在其分子上都有因子z z

27、。因此，先把。因此，先把 除以除以z z，將，將作為一個(gè)整體進(jìn)行部分分式展開，然后將所得結(jié)果每項(xiàng)作為一個(gè)整體進(jìn)行部分分式展開，然后將所得結(jié)果每項(xiàng)乘以乘以z z得得 的部分分式。最后查表即可。的部分分式。最后查表即可。下面按照下面按照f(z)f(z)的特征方程無重根和有重根兩種情況舉例的特征方程無重根和有重根兩種情況舉例說明。說明。)(zF)(zFzzF)()()()()()(111qpzzzzNzF若其一般表達(dá)式如下：若其一般表達(dá)式如下：則按部分分式展開，得則按部分分式展開，得)()()()()()(11111111121111qqpppzczczczczczzF2115 . 05 . 115

28、 . 0)(zzzzF系數(shù)系數(shù)c c的求法：的求法：（1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，也即時(shí)，也即f(z)f(z)無重根時(shí)。無重根時(shí)。0p例例1 1 求求 的的Z Z反變換反變換解：將上式變形得解：將上式變形得5 . 05 . 15 . 0)(2zzzzF5 . 05 . 15 . 0)(2zzzzF從而有從而有05 . 05 . 12zz特征方程特征方程 的解為的解為1, 5 . 021zz5 . 01) 5 . 0)(1(5 . 0)(zBzAzzzzF則有則有1) 1)(5 . 0(5 . 0) 1(1zzzzA解得解得1) 5 . 0)(1(5 . 0) 5 . 0(5 . 0zzzzB所以所以5

29、 . 0111)(zzzzF故有故有5 . 01)(zzzzzF查表得查表得所以所以111zzZtzzZ5 . 05 . 01)3(875. 0)2(75. 0)(5 . 0)(5 . 0)()(00*TtTtTtnTtnTttfnnn)2 , 1 , 0(5 . 01)()(kkfkTfk或0)(1 *nnTt0*)(5 . 05 . 0nntnTt所以所以ttf5 .01)(（2 2）當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 也即特征方程有重根也即特征方程有重根0p重根系數(shù)的求法重根系數(shù)的求法)()()()()(111qpzzzzNzF)()()()()()(11111111121111qqpppzczczczczcz

30、zF), 2 , 1()()()!1(11111111pjzFzdzdjczpjjj單根系數(shù)求法單根系數(shù)求法), 2 , 1()()(qizFzcizii令分母為令分母為0 0得得025423zzz分解因式分解因式0) 2() 1() 2)(1)(1() 23)(1() 14)(1() 1)(1() 154 () 1(22223zzzzzzzzzzzzzzzz得重根得重根; 2, 111p單根單根; 1, 11 q21) 1() 2() 1()()(1122112zczczczzzzzFzG則則例例3 3 求求 的的Z Z反變換反變換 254)(232zzzzzF12) 2() 1() 1()

31、() 1(11221211zzzzzzzzzzGzc則則2) 2(22)() 1( )!12 (11211212zzzzzzdzdzGzdzdc2) 1() 2() 1() 2()() 2(222221zzzzzzzzzzGzc2212) 1(1)()(2zzzzzFzG故故2212) 1()(2zzzzzzzF查表得查表得), 2 , 1 , 0(22222)(1kkkkfkktttf222)(4.3 用用Z Z變換求線性常系數(shù)差分方程的解變換求線性常系數(shù)差分方程的解一、定義一、定義1.1.差分差分: :相鄰兩個(gè)采樣值的差相鄰兩個(gè)采樣值的差( (一階差分一階差分).).后向差分后向差分: :

32、本次采樣值與前一次采樣值的差本次采樣值與前一次采樣值的差. .基于現(xiàn)在和過去值基于現(xiàn)在和過去值前向差分前向差分: :本次采樣值與后一次采樣值的差本次采樣值與后一次采樣值的差. .基于現(xiàn)在和未來值基于現(xiàn)在和未來值二階差分二階差分: :對(duì)一階差分再取一次差分對(duì)一階差分再取一次差分. . 差分在離散系統(tǒng)中的作用與差分在離散系統(tǒng)中的作用與( )( )在連續(xù)系統(tǒng)中的作用相同，當(dāng)兩個(gè)采在連續(xù)系統(tǒng)中的作用相同，當(dāng)兩個(gè)采樣點(diǎn)無限接近時(shí)，差分即為（樣點(diǎn)無限接近時(shí)，差分即為（ ）。）。2.2.差商差商一階差商：一階差分除以采樣周期的商一階差商：一階差分除以采樣周期的商 TTkfkTfkTf) 1()()(Tkfk

33、TfkTf) 1()()()() 1()(kTfTkfkTf)() 1() 1()()() 1() 1()(011011kTuTkuTmkuTmkukTyTkyTnkyTnkymmn二、思想二、思想用用z z變換求解差分方程與連續(xù)系統(tǒng)用拉氏變換求解微分變換求解差分方程與連續(xù)系統(tǒng)用拉氏變換求解微分方程類似。方程類似。其思想是：首先通過其思想是：首先通過Z Z變換，將離散時(shí)域問題轉(zhuǎn)化到變換，將離散時(shí)域問題轉(zhuǎn)化到z z 域中考慮，將差分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算，然后通過域中考慮，將差分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算，然后通過Z Z反變換求得離散解反變換求得離散解3.3.差分方程差分方程(difference equa

34、tion)(difference equation) 反映各反映各采樣時(shí)刻采樣時(shí)刻輸出與輸入之間的關(guān)系的方程。如：輸出與輸入之間的關(guān)系的方程。如：差商在離散系統(tǒng)中的作用與（差商在離散系統(tǒng)中的作用與（ ）在連續(xù)系統(tǒng)中的作用相同，當(dāng)兩個(gè)）在連續(xù)系統(tǒng)中的作用相同，當(dāng)兩個(gè)采樣點(diǎn)無限接近時(shí)，差商即為（采樣點(diǎn)無限接近時(shí)，差商即為（ ）。）。步驟：先對(duì)差分方程進(jìn)行步驟：先對(duì)差分方程進(jìn)行Z Z變換，然后寫出變換，然后寫出 最后求最后求 的的Z Z反變換反變換)(kf)(zF)(zF例例 用用Z Z變換求變換求 的解，已知的解，已知初始條件為初始條件為0)(2) 1(3) 2(kckckc1) 1 (, 0)

35、0(cc)()()(10niinzifzFznkfZ)()()(1niinzifzFznkfZ超前性質(zhì)超前性質(zhì)延遲性質(zhì)延遲性質(zhì)0)()0 ()(3)1 () 0 ()(12zzCCzCzCzCzCz23) 1 ()0()3()(22zzzCCzzzC將初始條件代入得將初始條件代入得) 2)(1(23)(2zzzzzzzC解：對(duì)上述差分方程兩邊解：對(duì)上述差分方程兩邊Z Z變換，利用超前性質(zhì)變換，利用超前性質(zhì))()()(10niinzifzFznkfZ得得0)(2) 1(3) 2(kckckcZ查表得查表得21)(2111)(zzzzzCzzzzC), 2 , 1 , 0() 2() 1()(kk

36、ckk總結(jié)：總結(jié)：關(guān)于關(guān)于Z Z變換以及變換以及Z Z反變換的求法重點(diǎn)掌握部分分式法反變換的求法重點(diǎn)掌握部分分式法和差分方程求解法。和差分方程求解法。1 1 求求 的的Z Z變換變換) 5(5)(2sssF)(zF習(xí)題：習(xí)題：223) 1)(2(61511)(zzzzzzF2 2 求求 的的Z Z反變換反變換3 用用Z Z變換求變換求 的解，已的解，已知初始條件為知初始條件為 0)(5 . 0) 1(5 . 1) 2(kykyky75. 0)2(, 5 . 0)(TyTy4.4 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)(pulse transfer function)(pulse transfer funct

37、ion)一、定義一、定義連續(xù)系統(tǒng)的對(duì)象描述方式有：微分方程、結(jié)構(gòu)方連續(xù)系統(tǒng)的對(duì)象描述方式有：微分方程、結(jié)構(gòu)方框圖、傳遞函數(shù)等。框圖、傳遞函數(shù)等。離散系統(tǒng)對(duì)象描述方式：差分方程、結(jié)構(gòu)方框圖離散系統(tǒng)對(duì)象描述方式：差分方程、結(jié)構(gòu)方框圖及脈沖傳遞函數(shù)。及脈沖傳遞函數(shù)。（在零初始條件下）變換輸入采樣函數(shù)的變換輸出采樣函數(shù)的ZZzG)(0二二 開環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)的z z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù))(zR)(zG)(zC三、串連環(huán)節(jié)的三、串連環(huán)節(jié)的z z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)離散系統(tǒng)串連時(shí)其離散系統(tǒng)串連時(shí)其z z傳遞函數(shù)的求法與采樣位置傳遞函數(shù)的求法與采樣位置有關(guān)。有關(guān)。)()()(zRzCzG)(2zG)(zG)(zR)

38、(1zG)(zC)()()(21zGzGzG)(2sG)(zG)(zR)(1sG)(zC)()()(21sGsGZzG)(2sG)(zG)(zR)(1sG)(zC)()()(21sGZsGZzG結(jié)論：結(jié)論：（1 1）當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由多個(gè)線性環(huán)節(jié)串連而環(huán)節(jié)之間無采）當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由多個(gè)線性環(huán)節(jié)串連而環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的樣開關(guān)隔開時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的z z傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z z變換。變換。（2 2）當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由多個(gè)線性環(huán)節(jié)串連而環(huán)節(jié)之間有采）當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)由多個(gè)線性環(huán)節(jié)串連而環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的樣開關(guān)時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)的z z傳遞函數(shù)等于各個(gè)

39、環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)z z傳傳遞函數(shù)之乘積遞函數(shù)之乘積四、并聯(lián)環(huán)節(jié)四、并聯(lián)環(huán)節(jié)z z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) )(2zG)(zG)(zR)(1zG)(zC)(2sG)(zG)(zR)(1sG)(zC)(2sG)(zG)(sR)(1sG)(zC)()()(21zGzGzG)()()()()(2121zGzGsGsGZzG)()()(21sGZsGZzG五、閉環(huán)五、閉環(huán)z z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) )(sH)(zG)(sR)(sG)(sC)(11)(zGHze)(1)()(zGHzGz)(sH)(sR)(sG)(sC)()(11)(zHzGze)()(1)()(zHzGzGz)(sr)(zD- -+ +)(

40、zE)(zU)(syseTs1)(0sG)(teTT)(ky)(sG舉例：一個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下所示，求其脈沖舉例：一個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下所示，求其脈沖閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù) )(1)()()(00sGseZsGsGZzGTsh)()(1)()()(zGzDzGzDz利用利用Z Z變換線性性質(zhì)及延遲性質(zhì)得變換線性性質(zhì)及延遲性質(zhì)得 )()(1)(1)(000sGseZsGsZsGseZzGTsTs)(1)1 ()(1)(101010sGsZzsGsZzsGsZ總結(jié)：以后可以直接將廣義傳遞函數(shù)中的總結(jié)：以后可以直接將廣義傳遞函數(shù)中的 項(xiàng)項(xiàng)移到移到Z Z變換符號(hào)之外變成變換符號(hào)之外變成 ,

41、 ,其余部分按照前其余部分按照前面的面的Z Z變換方法求得。變換方法求得。)1 (Tse)1 (1 z4.5 離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、一、s s域到域到z z域的變換域的變換根據(jù)根據(jù)Z Z變換的定義有變換的定義有 , ,Tsez js)sin(cos)(TjTeeeezTjTTjT當(dāng)當(dāng)01Tezs s平面上虛軸上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)在平面上虛軸上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)在z z平面的單位圓平面的單位圓上上當(dāng)當(dāng)01Tezs s平面的左半平面上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)在平面的左半平面上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)在z z平面的單位圓平面的單位圓內(nèi)內(nèi)01Tezs s平面的右半平面上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)在平面的右半平面上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)在z

42、 z平面的單位圓平面的單位圓外外當(dāng)當(dāng)二、二、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)（勞斯判據(jù)）：系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)全連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)（勞斯判據(jù)）：系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)全部在部在s s平面的左半平面內(nèi)即平面的左半平面內(nèi)即0)Re(is小結(jié)小結(jié)：s s平面的左右平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)平面的左右平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)z z平面的單位圓內(nèi)外。平面的單位圓內(nèi)外。注意：從注意：從s s平面到平面到z z平面的映射是唯一的，但從平面的映射是唯一的，但從z z平面平面到到s s平面的映射是多值的。平面的映射是多值的。根據(jù)根據(jù)s s平面與平面與z z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系: :連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定條件連續(xù)系統(tǒng)

43、穩(wěn)定條件s s平平面左半平面上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)離散系統(tǒng)在面左半平面上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)離散系統(tǒng)在z z平面的單位平面的單位圓圓內(nèi)。內(nèi)。結(jié)論：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，即：系統(tǒng)的所有閉環(huán)極結(jié)論：離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，即：系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)都在點(diǎn)都在z z平面的單位圓內(nèi)。平面的單位圓內(nèi)。三、離散系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)三、離散系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)判據(jù)：離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程經(jīng)過雙線性變換判據(jù)：離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程經(jīng)過雙線性變換 后，若特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。后，若特征方程的根全部具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定。證明：令證明：令22) 1() 1() 1(11yxjyxjyxjyxjyxwjyxzjw1111zzw

44、wwz由由11wwz步驟如下步驟如下：222222) 1(2) 1(1yxyjyxyx當(dāng)當(dāng)時(shí)即1012222yxzyx0z z平面單位圓平面單位圓上上所有點(diǎn)映射到所有點(diǎn)映射到w w平面的虛軸上平面的虛軸上當(dāng)當(dāng)時(shí)即1012222yxzyx0z z平面單位圓平面單位圓內(nèi)內(nèi)所有點(diǎn)映射到所有點(diǎn)映射到w w平面的左半平面內(nèi)平面的左半平面內(nèi)當(dāng)當(dāng)時(shí)即1012222yxzyx0z z平面單位圓平面單位圓外外所有點(diǎn)映射到所有點(diǎn)映射到w w平面的右半平面內(nèi)平面的右半平面內(nèi)舉例舉例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如右所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如右所示先求出閉環(huán)特征方程先求出閉環(huán)特征方程 ; ; 再做雙線性變換再做雙線性變換, ,即將即將 代入代入 中

45、中, ,得得到到 ；最后用勞斯判據(jù)判定最后用勞斯判據(jù)判定 的根是否全部在左半平的根是否全部在左半平面內(nèi)。面內(nèi)。已知已知11wwz)(1)()()()(zGzGzRzYz)(sR)(sG- -)(sYsTssksG25. 0,) 4()(求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K K的范圍。的范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)解：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) TezzzzksskZzG4*14)4()(0)(zD0)(zD0)(wP0)(wP將將 代入特征方程整理得代入特征方程整理得sTwwz25. 0,11特征方程特征方程0)1 (4)(1(141)(1444zekezzezzzzkzGTTT0)(1zG0158. 0736. 2264. 1158. 02kwkw3 .1700158. 0736. 20158. 0kkk三、參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響三、參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響1.1.開環(huán)增益對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響開環(huán)增益對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響由上面例子可以看出，開環(huán)增益由上面例