等差數(shù)列的前n項和公式推導(dǎo)及例題解析

1、等差數(shù)列的前n項和例題解析1、 等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)：（1） Sn=a1+a2+.an-1+an也可寫成 Sn=an+an-1+.a2+a1 兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+.(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=n（a1+an）/2 （公式一）（2）如果已知等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，項數(shù)為n，則 an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+ n(n+1)d/2（公式二）二、對于等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用【例1】 等差數(shù)列前10項的和為140，其中，項數(shù)為 奇數(shù)的各項的和為125，求其第6項解 依題意，得解得a1=113，d=22 其通項公式為

2、an=113(n1)(22)=22n135a6=2261353說明 本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法在本課中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而即a63可見，在做題的時候，要注意運算的合理性當(dāng)然要做到這一點，必須以對知識的熟練掌握為前提【例2】 在兩個等差數(shù)列2，5，8，197與2，7，12，197中，求它們相同項的和解 由已知，第一個數(shù)列的通項為an3n1；第二個數(shù)列的通項為bN=5N3若ambN，則有3n15N3若滿足n為正整數(shù)，必須有N3k1(k為非負(fù)整數(shù))又25N3197，即1N40，

3、所以N1，4，7，40 n=1，6，11，66 兩數(shù)列相同項的和為21732197=1393【例3】 選擇題：實數(shù)a，b，5a，7，3b，c組成等差數(shù)列，且ab5a73bc2500，則a，b，c的值分別為 A1，3，5B1，3，7C1，3，99D1，3，9又 145a3b， a1，b3首項為1，公差為2a50=c=1(501)2=99 a1，b3，c99【例4】 在1和2之間插入2n個數(shù)，組成首項為1、末項為2的等差數(shù)列，若這個數(shù)列的前半部分的和同后半部分的和之比為913，求插入的數(shù)的個數(shù)解 依題意21(2n21)d由，有(2n1)d=1 共插入10個數(shù)【例5】 在等差數(shù)列an中，設(shè)前m項和為

4、Sm，前n項和為Sn，且SmSn，mn，求Sm+n且SmSn，mnSm+n0【例6】 已知等差數(shù)列an中，S3=21，S6=64，求數(shù)列|an|的前n項和Tnd，已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d，再對數(shù)列的前若干項的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出Tn來解方程組得：d2，a19an9(n1)(n2)2n11其余各項為負(fù)數(shù)列an的前n項和為：當(dāng)n5時，Tnn210n當(dāng)n6時，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50說明 根據(jù)數(shù)列an中項的符號，運用分類討論思想可求|an|的前n項和【例7】 在等差數(shù)列an中，已知a6a9a12a1534，求前2

5、0項之和解法一 由a6a9a12a1534得4a138d3420a1190d5(4a138d)=534=170由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17S20170【例8】 已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20項的和S20的值解法一 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差數(shù)列的前n項和公式，可求得S20180解法二 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a3a7 即a3a74又a3a7=12，由韋達(dá)定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1

6、=6，x22 d0 an是遞增數(shù)列a36，a7=2【例9】 等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件：Snan2bn可設(shè)Sn2n2k，Tnn(3n1)k說明 該解法涉及數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2bn，由k是常數(shù)，就不對了【例10】 解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列an中a23，a617，求a9；(2)在19與89中間插入幾個數(shù)，使它們與這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項之和為1350，求這幾個數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差數(shù)列a

7、n中，an=333n，求Sn的最大值分析與解答a9=a6(96)d=173(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它們的下標(biāo)有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nN，當(dāng)n=10或n=11時，Sn取最大值165【例11】 求證：前n項和為4n23n的數(shù)列是等差數(shù)列證 設(shè)這個數(shù)列的第n項為an，前n項和為Sn當(dāng)n2時，anSnSn-1an(4n23n)4(n1)23(n1)=8n1當(dāng)n=1時，a1=S1=43=7由以上兩種情況可知，對所有的自然數(shù)n，都有an=8n1又an+1an8(n1)1(8n1

8、)8這個數(shù)列是首項為7，公差為8的等差數(shù)列說明 這里使用了“an=SnSn-1”這一關(guān)系使用這一關(guān)系時，要注意，它只在n2時成立因為當(dāng)n1時，Sn-1=S0，而S0是沒有定義的所以，解題時，要像上邊解答一樣，補上n1時的情況【例12】 證明：數(shù)列an的前n項之和Snan2bn(a、b為常數(shù))是這個數(shù)列成為等差數(shù)列的充分必要條件由Snan2bn，得當(dāng)n2時，anSnSn-1an2bna(n1)2b(n1)=2nabaa1S1ab對于任何nN，an2naba且anan-1=2na(ba)2(n1)aba2a(常數(shù))an是等差數(shù)列若an是等差數(shù)列，則Sn=an2bn綜上所述，Sn=an2bn是an成

9、等差數(shù)列的充要條件說明 由本題的結(jié)果，進(jìn)而可以得到下面的結(jié)論：前n項和為Sn=an2bnc的數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是c0事實上，設(shè)數(shù)列為un，則：【例13】 等差數(shù)列an的前n項和Snm，前m項和Smn(mn)，求前mn項和Sm+n解法一 設(shè)an的公差d按題意，則有=(mn)解法二 設(shè)SxAx2Bx(xN)，得A(m2n2)B(mn)nmmn A(mn)B=1故A(mn)2B(mn)(mn)即Sm+n(mn)說明 a1，d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設(shè)Sx=Ax2Bx(xN)【例14】

10、 在項數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75，各偶數(shù)項之和為90，末項與首項之差為27，則n之值是多少？解 S偶項S奇項=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27【例15】 在等差數(shù)列an中，已知a125，S9S17，問數(shù)列前多少項和最大，并求出最大值解法一 建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運用函數(shù)思想，求最大值a1=25，S17S9 解得d2當(dāng)n=13時，Sn最大，最大值S13169解法二 因為a1=250，d20，所以數(shù)列an是遞減等a125，S9S17an=25(n1)(2)=2n27即前13項和最大，由等差數(shù)列的前n項和公式可求得S13=169解法三 利用S9=S17尋找相鄰項的關(guān)系由題意S9=S17得a10a11a1