奧數(shù)題專題訓(xùn)練之比和比例應(yīng)用題2020年九月整理

1、學(xué)海無涯比和比例應(yīng)用題例1、生產(chǎn)隊(duì)飼養(yǎng)的雞與豬的只數(shù)比為26： 5,羊與馬的只數(shù)比為25： 9,豬與馬的只數(shù)比為10： 3。求雞、 豬、馬和羊的只數(shù)比。分析 該題給出了三個(gè)單比，要求寫出它們的連比。將幾個(gè)單比寫成連比，關(guān)鍵是利用比的基本性質(zhì)將 各個(gè)比中表示同一個(gè)量的值化為相同的值。解由題設(shè)，雞:豬二26 ： 5,羊：馬=25 : 9,豬：馬=10 ： 3,由比的基本性質(zhì)可得：豬:馬=10 : 3=30 : 9,羊：馬=25 : 9,雞：豬=26 : 5=156 : 30,從而 雞：豬：馬：羊二156： 30 ： 9 ： 25O答：雞、豬、馬、羊的只數(shù)比為156 ： 30 ： 9 ： 25。注

2、將單比化為連比時(shí)，還可先化為三個(gè)量的連比，再化為四個(gè)量的連比。如，雞：豬二26 : 5,豬：馬=10 : 3,由此可得，雞：豬：馬二52 ： 10 ： 3；再注意到羊：馬=25 : 9可得，雞：豬：馬：羊=156 ： 30 ： 9 ： 25。例2.下列各題中的兩個(gè)量是否成比例?若成比例，請說明成正比例還是成反比例。(1) 路程一定時(shí)，速度與時(shí)間；(2) 速度一立時(shí)，路程與時(shí)間；(3) 播種而積一立時(shí)，總產(chǎn)量與單位而積的產(chǎn)量；(4) 圓的而積與該圓的半徑：(5) 兩個(gè)相互嚙合的大小齒輪，它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)。分析 利用正比例、反比例的槪念進(jìn)行判定與說明解(1)由于速度與時(shí)間的乘積等于路程，所以，當(dāng)路

3、程一左時(shí)，速度與時(shí)間成反比例。(2) 由于路程與時(shí)間的比值為速度，所以，當(dāng)速度一定時(shí)，路程與時(shí)間成正比例。(3) 由于總產(chǎn)量與單位面積的產(chǎn)量的比值為播種而積，所以，當(dāng)播種面積一泄時(shí)，總產(chǎn)量與單位面積的產(chǎn)量成正比 例。(4) 設(shè)圓的半徑為R,則圓的而積為HR?,所以圓的而積與半徑的積為nR隨半徑的變化而變化，即圓的而積與 半徑不成反比例；而圓的而積與半徑的比值為TIR，也隨半徑的變化而變化，即圓的面積與半徑不成正比例。綜上, 圓的面積與半徑不成比例。(5) 由于齒輪的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)的積等于單位時(shí)間內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)過的總齒數(shù)，而兩個(gè)相互咬合的大小齒輪在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過 的總齒數(shù)相等，所以，它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比

4、例。注 若兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成正比例，則一個(gè)量變大(小)時(shí)，另一個(gè)量也變大(小)：若兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成反 比例，則一個(gè)量變大(小)時(shí)，另一個(gè)量反而變小(大)。因此，在上例的(4)中，注意到半徑愈大，圓的而積也愈大, 故只需判斷圓的而積與半徑不成正比例，就可斷定圓的而積與半徑不成比例。例3 某小學(xué)共有學(xué)生697人，已知低年級學(xué)生數(shù)的1/2等于中年級學(xué)生數(shù)的2/5,低年級學(xué)生數(shù)的1/3 等于髙年級學(xué)生數(shù)的2/7,求該校低、中、髙年級各有多少名學(xué)生？分析由題設(shè)條件可得低、中、高各年級的學(xué)生數(shù)的比，從而可按比例分配求得各年級的學(xué)生數(shù)。解 設(shè)低年級的學(xué)生數(shù)為“1”，則中年級的學(xué)生數(shù)為1/2三2/5二5/4,髙

5、年級的學(xué)生數(shù)為1/3三2/7二7/6 手：舌，從而，低、中、髙年級的學(xué)生數(shù)的比為：低：中：高二1 : 5/4 : 7/6二12 : 15 : 14,按比例分配得，低年級學(xué)生數(shù)：697X12/12+15 +14=204（人），中年級學(xué)生數(shù)：697X15/12+15 +14=255（人）,高年級學(xué)生數(shù)：697X14/12+15 +14=238（人）。答：該校低、中、高年級的學(xué)生數(shù)分別為204人、255人、238人。注 按比例分配時(shí)，可先出每份對應(yīng)的量，再求出相應(yīng)的量。如：697三（12+15+17）二17（人）。從而， 低年級有17X12=204（人），中年級有17X15=255（人）,高年級有1

6、7X14=238（人）。例4 雛鷹小分隊(duì)為希望小學(xué)”搞了一次募捐活動(dòng)。她們用募捐所得的錢購買了甲、乙、丙三種商品, 這三種商品的單價(jià)分別為30元、15元和10元。已知購得的甲商品與乙商品的數(shù)量之比為5 : 6,乙商品與丙商品 的數(shù)量之比為4 ： 11,且購買丙商品比購買甲商品多花了 210元，求這次募捐所得的錢數(shù)。分析 根據(jù)已知條件可先求岀甲、乙、丙三種商品的數(shù)量比。即甲、乙、丙三種商品的份數(shù)比，再根據(jù) 甲、丙商品的份數(shù)關(guān)系及單價(jià)，求出每份商品的實(shí)際數(shù)量，從而求岀甲、乙、丙商品的數(shù)量，由此可得募捐所得的 錢數(shù)。解 已知：甲商品數(shù)：乙商品數(shù)二5： 6,乙商品數(shù)：丙商品數(shù)=4 : 110于是，甲商

7、品數(shù)：乙商品數(shù)：丙商品數(shù)二10： 12： 33,即甲、乙、丙商品分別有10份、12份、33份。 由于購買丙商品比購買甲商品多花210元，所以，每份的商品數(shù)為210-（10X33-30X10）二7（件）。于是，甲商品數(shù)為:7X10=70（件），乙商品數(shù)為:7X12=84（件）,丙商品數(shù)為:7X33=231（件）。由此，募 捐所得到的錢數(shù)為：30X 70+15X84+10 X231=5670 （元）.答：募捐所得到的錢為5670元。“比和比例”應(yīng)用題錯(cuò)解例析2008-05-07 作者：佚劃來源：網(wǎng)友投稿例1某車間要加工2220個(gè)零件，單獨(dú)做，甲、乙、丙三人所需工作時(shí)間的比是4：5：6。現(xiàn)在由三人共

8、同加工, 問完成任務(wù)時(shí)，三人各加工了多少個(gè)？錯(cuò)解由甲、乙、丙三人單獨(dú)做所需工作時(shí)間的比是4 ：5：6,推出甲、乙、丙三人工作效率的比是6： 5： 4,甲加工$6/ A X6 + 5 + 4152220X 7-4- = 2220X = 740個(gè)）6 + 5 + 415= 740個(gè)）用按比例分I丙加工2220X = 2220X = 288 （個(gè)）乙加工-:- = 15 : 12 : 10o56評析上述解答錯(cuò)在把甲、乙、丙三人工作效率的比看成是6 ： 5 : 4o誠然，如果甲.乙二人工作時(shí)間的比是4 ： 5, 那么，甲、乙二人工作效率的比就是5： 4,這是正確的。但是，把甲、乙、丙三人工作時(shí)間的連比

9、是4：5：6轉(zhuǎn) 化成甲、乙、丙三人工作效率的連比是6： 5： 4,那就大錯(cuò)了！不錯(cuò)，工作效率的比等于工作時(shí)間比的反比。從已 知條件看，甲、乙二人工作時(shí)間的比是4 ： 5,所以，甲、乙二人工作效率的比是5： 4；乙、丙二人工作時(shí)間的比 是5 ： 6,所以，乙、丙二人工作效率的比是6 : 5o這里的“5 : 4”表示甲5份，乙4份，“6 : 5”表示乙6份，甲加工2220 X；= 2220次活 = 900 （個(gè)） 丙5分，兩個(gè)比都是兩重相比，其中同樣表示乙”有幾份的數(shù)在前后兩個(gè)比中并不相同，我們怎么能將這兩個(gè)比 直接變成甲、乙、丙三人工作效率的連比呢？顯然，上述解答中把甲、乙、丙三人工作效率的連比

10、看成是6 ： 5 : 4, 是錯(cuò)誤的。正確的解答應(yīng)當(dāng)是：甲、乙、丙三人工作效率的比二容易看出，因?yàn)? : 4=15 : 12, 6 : 5=12 : 10,所以，由上述“甲、乙二人工作效率的比是5 : 4,乙、丙二人工作 效率的比是6： 5”，也可以得到甲、乙、丙三人工作效率的比是是15： 12： 10。例2有兩瓶同樣重的鹽水，甲瓶鹽水鹽與水重量的比是1 ： 8,乙瓶鹽水鹽與水重量的比是1： 5。現(xiàn)將兩瓶鹽水并 在一起，問在混合后的鹽水中鹽與水重量的比是多少？錯(cuò)解認(rèn)為在甲瓶鹽水中，鹽的重量是“1”，水的重量是“8”，在乙瓶鹽水中，鹽的重量是“1”，水的重量是“5”， 于是，將兩瓶鹽水并在一起，

11、便得到鹽的重量是（1 + 1 = ） 2,水的重量是（8+5=） 13。（1+1） : （8 + 5） =2 : 13答：在混合后的鹽水中鹽與水重疑的比是2 ： 13o評析上述解答的主要錯(cuò)誤是把兩種物質(zhì)重量的最簡比，看成了就是兩種物質(zhì)具體重量的比。甲瓶鹽水鹽與水重量 的比是1： &不等于說在這瓶鹽水中鹽的重量是1千克，水的重量是8千克，乙瓶的情況也是一樣。從已知條件 可以看岀，在甲瓶鹽水中，鹽有1份，水有8份，鹽和水一共有（1 + 8=） 9 （份），在乙瓶鹽水中，鹽有1份，水 有5份，鹽和水一共有（1 + 5=） 6 （份）。因?yàn)閮善葵}水是“同樣重”，但甲瓶有9份，乙瓶只有6份，所以，可 見

12、兩瓶鹽水中每“1份”的重量有多少是不相同的。上述解答簡單地將兩瓶鹽水中每份重量不同的鹽和水的份數(shù)分 別相加，然后再將兩個(gè)“和”組成一個(gè)比，便造成了解答的錯(cuò)誤。正確的解答是：1 ： 8=2 ： 16, 2+16=18：1 : 5=3： 15, 3+15=10。（2+3） : （16+15） =5： 31答：在混合后的鹽水中鹽與水重量的比是5 : 31o小學(xué)六年級奧數(shù)題:專題訓(xùn)練之比和比例應(yīng)用題例1、乘坐某路汽車成年人票價(jià)3元，兒童票價(jià)2元，殘疾人票價(jià)1元，某天乘車的成年人、兒童和殘疾人的人數(shù) 比是50:20:1,共收得票款26740元，這天乘車中成年人、兒童和殘疾人各有多少人？提示:單價(jià)比減年人

13、:兒童:殘疾人=3:2:1人數(shù)比:50:20:1練習(xí)甲乙兩人走同一段路，甲要20分鐘，乙要15分鐘，現(xiàn)在甲、乙兩人分別同時(shí)從相距840米的兩地相向而行, 相遇時(shí)，甲.乙各走了多少米？例2 希望小學(xué)搞了一次募捐活動(dòng)，她們用募捐所得的錢購買了甲、乙、丙三種商品，這三種商品的單價(jià)分別為 30元、15元和10元。已知購得的甲商品與乙商品的數(shù)量之比為5:6,乙商品與丙商品的數(shù)量之比為4:11,且購買 丙商品比購買甲商品多花了 210元。提示:根據(jù)已知條件可先求三種商品的數(shù)量比。練習(xí)一種什錦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的單價(jià)比是11:8:7,要合 成這樣的什錦糖120千克，什錦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？例3. A. B、C是三個(gè)順次咬合的齒輪。當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時(shí)，B恰好轉(zhuǎn)3圈：當(dāng)B轉(zhuǎn)4圈時(shí)，C恰好轉(zhuǎn)5圈，問這三 個(gè)齒輪的齒數(shù)的最小數(shù)分別是多少？提示:根據(jù)已知條件已知A、B. C轉(zhuǎn)速與齒數(shù)的積都相等，即它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比例。習(xí)題:1、甲、乙、丙三個(gè)平行四邊形的底之比是4:5:6,髙之比是3:2:1,已知三個(gè)平行四邊形的面積和是1