3單自由度系統(tǒng)受迫振動之工程中的受迫振動問題、任意周期激勵的響應(yīng)和非周期激勵的響應(yīng)

1、單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動主講：周利東太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院2011-10-25單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題回顧：回顧：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題22222)2()1 ()2(1sss )2(12stg 21相對位移相對位移tifDetx)(基座位移規(guī)律基座位移規(guī)律 ：2111i tmxcxkxmDe)(111tiDex22221)2()1 ()(ssss 21112)(sstgs 絕對位移絕對位移)(21tifDexxx

2、xfkc1xmx0mkxxfc1x支承運(yùn)動情況支承運(yùn)動情況單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題tmekxxcxMsin2 mxc2k2kteMkctmesin2xMkcxtem)sin()(tBtx222)2()1 (1ss kmeB2 2112sstg 0sMk 0偏心質(zhì)量情況偏心質(zhì)量情況)sin()(1 tetx22221)2()1 (sss 解解1：解解2： 慣性式測振儀慣性式測振儀 tifDex基礎(chǔ)位移基礎(chǔ)位移x 為為 m 相對于外殼的相對位移相對于外殼的相對位移動力方程動力方程 ：0)(kxxcxxmf tiemDkxxcxm2 Ds

3、ssA22221)2()1 ( 振幅振幅 ：kcmfx單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 慣性測振儀慣性測振儀DAs 1lim0s當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)小于外殼振動當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)小于外殼振動頻率時(shí)，儀器讀數(shù)的幅值頻率時(shí)，儀器讀數(shù)的幅值 A1 接近接近外殼振動的振幅外殼振動的振幅 D低固有頻率測量儀用于測量振低固有頻率測量儀用于測量振動的位移幅值，稱為動的位移幅值，稱為位移計(jì)位移計(jì)DsssA22221)2()1 (當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)大于外殼振動頻率時(shí)，儀器讀數(shù)的幅值當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)大于外殼振動頻率時(shí)，儀器讀數(shù)的幅值 A1與外殼加速度的幅值

4、成正比與外殼加速度的幅值成正比 )()2()1 (12022221DssA A1 還可寫為：還可寫為：)(1lim22010DAs 00s高固有頻率測量儀用于測量振動的加速度幅值，稱為高固有頻率測量儀用于測量振動的加速度幅值，稱為加速度計(jì)加速度計(jì)單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 慣性測振儀慣性測振儀kcmfx2D：被測物體的加速度幅值：被測物體的加速度幅值另一種分析方法另一種分析方法受力圖受力圖sinfxDt基礎(chǔ)位移假定為正弦基礎(chǔ)位移假定為正弦:動力學(xué)方程動力學(xué)方程 ：0)()(ffxxkxxcxm ffkxxckxxcxm x 取絕對

5、位移取絕對位移mxm )(fxxk)(fxxctcDtkDcossin 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 慣性測振儀慣性測振儀kcmfx疊加原理，解為右端兩項(xiàng)解之和疊加原理，解為右端兩項(xiàng)解之和 )cos()2()1 (1)sin()2()1 (1)(12221222 tsskcDtsskkDtx)cos(2)sin()2()1 (11222 tstssD21112sstg kcmc20 s2 0smc 002s )cos(2)sin()2()1 ()(11222 tstssDtx21112sstg)cos()2(12)2(11)sin(

6、)2()1 ()2(112212222 tssstsssD22)2(12sinss 22)2(11coss stg212 212222)2()1 ()2(1sss 和前述和前述支承運(yùn)動支承運(yùn)動中中的絕對位移法結(jié)果的絕對位移法結(jié)果相同相同)sin()2()1 ()2(1212222 tsssD)sin( tD令：令：令：令：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 慣性測振儀慣性測振儀 工程中的受迫振動問題單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 振動的隔離振動的隔離 將作為振源的機(jī)器設(shè)備與地基隔離，

7、以減少對環(huán)境的影響稱為將作為振源的機(jī)器設(shè)備與地基隔離，以減少對環(huán)境的影響稱為主動隔振主動隔振主動隔振系數(shù)主動隔振系數(shù)隔振后傳到地基的力幅值隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機(jī)器傳到地基的力：隔振前機(jī)器傳到地基的力：tieF0隔振材料：隔振材料：k，c隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：222)2()1 (1ss )(01 tiekFx21112sstgkFA0mtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 振動的隔離振動的隔離隔振后通過隔振后通過k、c傳到地基上的力

8、：傳到地基上的力：222)2()1 (1ss )(01 tiekFx21112sstgkxxcF 1stg212sssmcmckc2200020 )(01)( tiekFkic)(2222021)2()1 ()2(1 tiesssF)(01)21 ( tiesiF單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 振動的隔離振動的隔離隔振材料：隔振材料：k，cmtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0主動隔振系數(shù)主動隔振系數(shù)隔振后傳到地基的力幅值隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機(jī)器傳到地基的力：隔振前機(jī)器

9、傳到地基的力：tieF0)(22220121)2()1 ()2(1 tiesssFF隔振后通過隔振后通過k、c傳到地基上的力：傳到地基上的力：22220max1)2()1 ()2(1sssFF 隔振系數(shù)：隔振系數(shù)：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 振動的隔離振動的隔離隔振材料：隔振材料：k，cmtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0例：機(jī)器安裝在彈性支承上例：機(jī)器安裝在彈性支承上 已測得固有頻率已測得固有頻率 Hzfn5 .12阻尼比阻尼比15. 0參與振動的質(zhì)量是參與振動的質(zhì)量是 880kg 機(jī)器轉(zhuǎn)速機(jī)器轉(zhuǎn)速 n2400r

10、/min 不平衡力的幅值不平衡力的幅值 1470N 求：（求：（1）機(jī)器振幅，（）機(jī)器振幅，（2）主動隔振系數(shù)（）主動隔振系數(shù)（3）傳到地基上的力幅）傳到地基上的力幅 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 振動的隔離振動的隔離解：解：頻率比：頻率比：2 . 3216020nfns彈性支承的剛度：彈性支承的剛度： Nmk62201043. 5)5 .122(880機(jī)器振動的振幅機(jī)器振動的振幅 ：)(0291. 0)2()1 (12220mmsskFB 主動隔振系數(shù)主動隔振系數(shù) ：149. 0)2()1 ()2(12222 sss傳到地基上的力

11、幅傳到地基上的力幅 ：NFFm2191470149. 001 振動的隔離振動的隔離 將地基的振動與機(jī)器設(shè)備隔離，以避免將振動傳至設(shè)備，稱將地基的振動與機(jī)器設(shè)備隔離，以避免將振動傳至設(shè)備，稱為為被動隔振被動隔振被動隔振系數(shù)被動隔振系數(shù)隔振后設(shè)備的振幅隔振后設(shè)備的振幅隔振前設(shè)備的振幅隔振前設(shè)備的振幅tifDex基礎(chǔ)位移：基礎(chǔ)位移：隔振前振幅：隔振前振幅：D隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：)(2222)2()1 ()2(1)( tiesssDtx2121112sstgstg212 tifDexm隔振前隔振前tifDexkcm隔振后隔振后單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問

12、題工程中的受迫振動問題 / 振動的隔離振動的隔離DDmax1 2222)2()1 ()2(1sss 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速氣輪機(jī)、發(fā)電機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械在開機(jī)或停機(jī)過程中經(jīng)過某一氣輪機(jī)、發(fā)電機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械在開機(jī)或停機(jī)過程中經(jīng)過某一轉(zhuǎn)速附近時(shí)，支撐系統(tǒng)經(jīng)常會發(fā)生劇烈振動轉(zhuǎn)速附近時(shí)，支撐系統(tǒng)經(jīng)常會發(fā)生劇烈振動臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速在數(shù)值上很接近轉(zhuǎn)子橫向振動的固有頻率在數(shù)值上很接近轉(zhuǎn)子橫向振動的

13、固有頻率以單盤轉(zhuǎn)子為例以單盤轉(zhuǎn)子為例轉(zhuǎn)軸質(zhì)量不計(jì)轉(zhuǎn)軸質(zhì)量不計(jì)oo1Cl/2l/2圓盤質(zhì)量圓盤質(zhì)量 m固定在轉(zhuǎn)軸中部固定在轉(zhuǎn)軸中部圓盤質(zhì)心圓盤質(zhì)心 C形心形心 O1偏心距偏心距 CO1e圓盤靜止時(shí)，形心圓盤靜止時(shí)，形心O1 與旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)中心O重合重合oo1Cl/2l/2xy軸以角速度軸以角速度 恒速旋轉(zhuǎn)恒速旋轉(zhuǎn))sin,cos(teytex 由于離心慣性力，軸產(chǎn)由于離心慣性力，軸產(chǎn)生動撓度生動撓度 OO1= ftoCo1yxexfy圓盤俯視圖圓盤俯視圖粘性阻尼力正比于圓盤粘性阻尼力正比于圓盤形心形心 O1 的速度的速度質(zhì)心質(zhì)心C的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：軸沿軸沿 x 和和 y 方向的橫向方向的橫向剛度

14、：剛度：348lEIk 形心形心 O1 的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x, y）單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速oo1Cl/2l/2xy)sin,cos(teytex 質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)心運(yùn)動定理：toCo1yxexfy圓盤俯視圖圓盤俯視圖粘性阻尼力正比于圓盤粘性阻尼力正比于圓盤形心形心 O1 的速度的速度質(zhì)心質(zhì)心C的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速xckxtexdtdm )cos(22軸沿軸沿 x 和和 y 方向的橫向方

15、向的橫向剛度：剛度：348lEIk yckyteydtdm )sin(22即：即： tmekyycymtmekxxcxmsincos22 右端項(xiàng)可看作激振力旋轉(zhuǎn)矢量右端項(xiàng)可看作激振力旋轉(zhuǎn)矢量 在在 x 和和 y 方向上的投影，作用點(diǎn)方向上的投影，作用點(diǎn)C，方，方向沿向沿CO1tieme2oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圓盤俯視圖圓盤俯視圖單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速設(shè)：設(shè)：tmekyycymtmekxxcxmsincos22 mk /0 )2/(0mc 0/ s22221)2()1 (ss

16、s 21112sstg 0：轉(zhuǎn)子不轉(zhuǎn)動而作橫向自由振動時(shí)的固有頻率：轉(zhuǎn)子不轉(zhuǎn)動而作橫向自由振動時(shí)的固有頻率可得：可得： )sin()cos(1111teytex2122)(eyx 可見，形心可見，形心O1的運(yùn)動軌跡為一個(gè)圓的運(yùn)動軌跡為一個(gè)圓22yxf 1e 2222)2()1 (sses 動撓度：動撓度：oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圓盤俯視圖圓盤俯視圖tmekyycymtmekxxcxmsincos22 mk /0 )2/(0mc 0/ s22221)2()1 (sss 21112sstg 可見，當(dāng)阻尼比可見，當(dāng)阻尼比 較小時(shí)，即使轉(zhuǎn)子平衡得很好較小時(shí)，即使轉(zhuǎn)子平衡得很好(e

17、 很小很小)，動撓，動撓度度 f 也會相當(dāng)大，容易使軸破壞，這樣的轉(zhuǎn)速稱為也會相當(dāng)大，容易使軸破壞，這樣的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速，為：，為：形心形心O1的動撓度：的動撓度：22221)2()1 (ssesef 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速當(dāng)當(dāng) s=1 時(shí)：時(shí)：2ef mkf 0用每分鐘轉(zhuǎn)速表示：用每分鐘轉(zhuǎn)速表示：min)/(260rnff oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圓盤俯視圖圓盤俯視圖 tmekyycymtmekxxcxmsincos22 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動

18、/ 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速22221)2()1 (sss 21112sstg 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1 s0 即即有：有：11 1 )sin()cos(1111teytex可得：可得： teytexsincos)sin,cos(teytex 質(zhì)心質(zhì)心C的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：可見，這時(shí)質(zhì)心的坐標(biāo)為（可見，這時(shí)質(zhì)心的坐標(biāo)為（0，0）質(zhì)心質(zhì)心C與旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)中心O重合重合圓盤和彎曲的軸都繞著質(zhì)心圓盤和彎曲的軸都繞著質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)自動定心現(xiàn)象自動定心現(xiàn)象例：葉片模擬試驗(yàn)臺例：葉片模擬試驗(yàn)臺葉片質(zhì)量葉片質(zhì)量 158 kg轉(zhuǎn)軸：長轉(zhuǎn)軸：長 610mm，直徑，直徑 120

19、mm 彈性模量彈性模量 E2.07 x 107 N/cm2材料比重材料比重 7.810-3 kg/cm3求：臨界轉(zhuǎn)速求：臨界轉(zhuǎn)速305 mm305 mm120 mm解：解：轉(zhuǎn)軸質(zhì)量轉(zhuǎn)軸質(zhì)量與葉片相比與葉片相比不能忽略不能忽略kgm8 .53108 . 761412322 由瑞利法，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為葉片質(zhì)量與轉(zhuǎn)軸等效質(zhì)量的和，即：由瑞利法，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為葉片質(zhì)量與轉(zhuǎn)軸等效質(zhì)量的和，即：kgmmm1 .1848 .533517158351721 軸的橫向剛度：軸的橫向剛度：cmNlEIk/1043. 46461121006. 2484863473 臨界轉(zhuǎn)速：臨界轉(zhuǎn)速：min/148001 .18410010

20、43. 4302606rmkn 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 工程中的受迫振動問題工程中的受迫振動問題 / 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 任意周期激勵的響應(yīng)前面討論的強(qiáng)迫振動，都假設(shè)了系統(tǒng)受到激勵為簡諧激勵，但前面討論的強(qiáng)迫振動，都假設(shè)了系統(tǒng)受到激勵為簡諧激勵，但實(shí)際工程問題中遇到的大多是周期激勵而很少為簡諧激勵實(shí)際工程問題中遇到的大多是周期激勵而很少為簡諧激勵 假定粘性阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力：假定粘性阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力： )()(TtFtFT 為周期為周期 傅立葉級數(shù)展開：傅立葉級數(shù)展開： 1110)sincos(2)(nnnt

21、nbtnaatFT21記基頻：記基頻：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng)TnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(222nnnbacnnnbatg1記：記：n 的偶函數(shù)的偶函數(shù)n 的奇函數(shù)的奇函數(shù) 110)sin(2nnntnca為任一時(shí)刻為任一時(shí)刻 1110)sincos(2)(nnntnbtnaatF運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程 ： 110)sin(2nnntnca1110)sincos(2nnntnbtnaakxxcxm 疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ：1110)sin()cos(2

22、)(nnnnnnntnkbtnkakatx2222)2()1 (1nssnn 01smk022112snsntgn 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng) 12222110)2()1 ()sin()cos(2nnnnnnssnktnbtnaka不計(jì)阻尼時(shí)：不計(jì)阻尼時(shí)： 122110)1 (sincos2)(nnnsnktnbtnakatxka20代表著平衡位置代表著平衡位置 當(dāng)當(dāng) 作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形 20a周期激勵通過傅氏變換被表示成了一系列頻率為基頻整數(shù)倍的周期激勵通過傅氏變換被表示成了一系列頻率為基頻整數(shù)倍的簡諧

23、激勵的疊加，這種對系統(tǒng)響應(yīng)的分析被成為簡諧激勵的疊加，這種對系統(tǒng)響應(yīng)的分析被成為諧波分析法諧波分析法 1110)sincos(2)(nnntnbtnaatF復(fù)數(shù)形式表示復(fù)數(shù)形式表示 由歐拉公式由歐拉公式 ：)(21cos111tintineetn)(2sin111tintineeitn TntdtntFTa1cos)(2n的偶函數(shù)的偶函數(shù)n的奇函數(shù)的奇函數(shù)nnaannbb單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng) TntdtntFTb1sin)(2,2nnnibaF 200aF 記：記：則：則：22nnnnnibaibaFntinneFtF1)(周期激勵

24、的復(fù)數(shù)形式：周期激勵的復(fù)數(shù)形式： TnnndttnitntFTibaFsin)cos(12112T（?。ㄈ?） 221)(1TTtindtetFT TtindtetFT1)(1 11011222ntinnnntinnneibaeibaa其中：其中：ntinneFtF1)(系統(tǒng)運(yùn)動方程系統(tǒng)運(yùn)動方程 ： ntinneFkxxcxm1 與教材（與教材（2.3.3）相同）相同 221)(1TTtinndtetFTF疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：ntninneAx)(122112snsntgn 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng)ntnin

25、neniAx)(11 ntninnenAx)(2121 求導(dǎo)求導(dǎo) ：代入運(yùn)動方程代入運(yùn)動方程 ：ntinnntninnneFekAnicAnmAn11)(1212ninFeicnmnkAn)(1212ninFensisnkAn )21 (22niinFeenssnkAnn 2222)2()1 (01s0200212 kmmckc得得 ：nnnFkA1 2222)2()1 (1nssnn 因此有因此有 ：ntninneAx)(122112snsntgn 系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng) ：ntinneFakxxcxm120 nnnFkA1 2222)2()1 (1nssnn ntninneFnssnkx)(22

26、221)2()1 (1 和和 分別為第分別為第n次諧波激勵所對應(yīng)的振幅放大因子和相位差次諧波激勵所對應(yīng)的振幅放大因子和相位差 nn單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng)例：例：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵 求系統(tǒng)響應(yīng)求系統(tǒng)響應(yīng) TtTFTtFtF2,20,)(00)(tF0F0F0T2/Tt單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng)610 1 . 00 解：解：激勵的周期：激勵的周期： 0122 T0彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率 610激勵力的基頻激勵力的基頻 ：T260

27、11110)sincos(2)(nnntnbtnaatFTnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(2因因 a0 一周期內(nèi)總面積為一周期內(nèi)總面積為0 =0T, 02Ttn1cos2T區(qū)間區(qū)間 內(nèi)，內(nèi)， 關(guān)于關(guān)于 為反為反對稱，對稱， 而而 關(guān)于關(guān)于 對稱對稱)(tF=0 11sinnntnb)(tF0F0F0T2/Tt單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng) 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(22, 0T區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi))(tF4T關(guān)于關(guān)于為對稱為對稱 tn1sin4T而而n取偶數(shù)時(shí)

28、，取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于關(guān)于反對稱反對稱 ,2TT區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi))(tF43T關(guān)于關(guān)于為對稱為對稱 tn1sin43T而而n取偶數(shù)時(shí)，取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于關(guān)于反對稱反對稱 0nb6 , 4 , 2n因此因此)(tF0F0F0T2/Tt單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng) 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(2當(dāng)當(dāng) n 取奇數(shù)時(shí)取奇數(shù)時(shí) 0nb6 , 4 , 2nnFtdtnFTtdtntFTbTTn04010014sin8sin)(2 5 , 3 , 1n于是，周期性激勵于是，周期性激勵 F(t) 可寫為：可寫為： 5 , 3 , 11

29、011sin14sin)(nnntnnFtnbtF)5sin513sin31(sin41110 tttF單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)任意周期激勵的響應(yīng))5sin513sin31(sin4)(1110 tttFtF5 , 3 , 110)sin(4nnntnkFx則有：則有：2222)2()1 (1nssnnn 22112snsntgn 01s其中：其中： 當(dāng)不計(jì)阻尼時(shí)：當(dāng)不計(jì)阻尼時(shí)： 5 , 3 , 11220sin)1 (14ntnsnnkFx系統(tǒng)運(yùn)動方程系統(tǒng)運(yùn)動方程 ：)(tFkxxcxm 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 任意周期激勵的響應(yīng)

30、任意周期激勵的響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng) 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng) 對于脈沖激勵情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應(yīng)而不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對于脈沖激勵情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應(yīng)而不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 單位脈沖力可利用狄拉克（單位脈沖力可利用狄拉克（Dirac）分布函數(shù)）分布函數(shù)(t) 表示表示 函數(shù)也稱為函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)，定義為：，定義為： )()(0)( ttt且且1)(dtt)(t的圖象用位于時(shí)刻的圖象用位于時(shí)刻、長度為長度為 1 的有向線段表示的有向線段表示 )(tt10單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由

31、度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)函數(shù)：函數(shù)： )()(0)( ttt1)(dtt)(t 是一個(gè)廣義函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù)可以看作矩形脈沖、脈沖面積為可以看作矩形脈沖、脈沖面積為 1 而脈沖寬度而脈沖寬度趨于零時(shí)的極限趨于零時(shí)的極限 即：即： )(lim)(0 tt=為其它ttt 0)(1其中：其中：)(t也可以定義為其它形狀的面積為也可以定義為其它形狀的面積為 1 的脈沖的脈沖 量綱：量綱：1/秒秒 )(tt10)(tt01單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng) 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì): )()()(fdtttf特別地，當(dāng)時(shí)刻特別地，當(dāng)時(shí)刻

32、 t = 0 時(shí)，有時(shí)，有 ：)0()()(fdtttf實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常 f (t) 在在0t時(shí)才有意義時(shí)才有意義 tfdtttf0)()()(沖量為沖量為0I的脈沖力可借助的脈沖力可借助函數(shù)表示為：函數(shù)表示為： )()(0tItF 當(dāng)當(dāng) I0 =1 時(shí)，為單位脈沖力時(shí)，為單位脈沖力 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)因而有：因而有： 現(xiàn)求處于零初始條件下的系統(tǒng)對單位脈沖力的響應(yīng)現(xiàn)求處于零初始條件下的系統(tǒng)對單位脈沖力的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)記：記： 0+、0- 為單位脈沖力的前后時(shí)刻為單位脈沖力的前后時(shí)刻 運(yùn)動微分方程與初始條件

33、可合寫為：運(yùn)動微分方程與初始條件可合寫為： 0)0(, 0)0()(xxtkxxcxm 或或脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) dttkxdtdtxcdtxm)( 乘乘dt ：xd0 dxdtx 在脈沖力作用的瞬間，位移來在脈沖力作用的瞬間，位移來不及變化，但速度可產(chǎn)生突變不及變化，但速度可產(chǎn)生突變 0 xdx令：令：dttxmd)()(tt00-0+單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)dttxmd)(兩邊在區(qū)間兩邊在區(qū)間-00t內(nèi)對時(shí)間積分：內(nèi)對時(shí)間積分： 0000)(dtxmdtt )0()0(1xmxmmx1)0(在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這

34、一瞬在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這一瞬間，位移則來不及有改變，即有：間，位移則來不及有改變，即有：x(0+) = x(0-) 又當(dāng)又當(dāng) t 0+ 時(shí)，脈沖力作用已經(jīng)結(jié)束，所以時(shí)，脈沖力作用已經(jīng)結(jié)束，所以 t 0+ 時(shí)，有：時(shí)，有： mxxkxxcxm1)0(, 0)0(0 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)質(zhì)量越大，質(zhì)量越大， 越小越小)0( x 質(zhì)量越小，質(zhì)量越小， 越大越大)0( x mxxkxxcxm1)0(, 0)0(0 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)即初始位移為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)即初始位移為零，而初始速度為零，而初始速度為 1/m

35、的自由振動的自由振動 記為記為 h(t) temthtxdtdsin1 )()(0無阻尼系統(tǒng)：無阻尼系統(tǒng)： tmthtx00sin1 )()( 若單位脈沖力不是作用在時(shí)刻若單位脈沖力不是作用在時(shí)刻 t = 0，而是作用在，而是作用在 t =時(shí)刻：時(shí)刻： )(sin1 )()(0 temthdtd解為：解為： 如果系統(tǒng)在如果系統(tǒng)在 t=時(shí)刻受到?jīng)_量為時(shí)刻受到?jīng)_量為 I0 的任意脈沖力作用，則系統(tǒng)的任意脈沖力作用，則系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)可用脈沖響應(yīng)函數(shù)表示為暫態(tài)響應(yīng)可用脈沖響應(yīng)函數(shù)表示為 ：tthItx),()(0單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng))sincos

36、()(00000txxtxetxdddt 任意非周期激勵的響應(yīng)任意非周期激勵的響應(yīng) 當(dāng)處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激振力時(shí)，當(dāng)處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激振力時(shí)，可以將激振力可以將激振力 F(t) 看作一系列脈沖力的疊加看作一系列脈沖力的疊加 對于時(shí)刻對于時(shí)刻 t =的脈沖力的脈沖力系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量：系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量：mdF)( 并引起并引起 t 各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng) 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) ：dthFdx)()(dt)(tF單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)其沖量為：其沖量為：dF)(由線性系統(tǒng)的疊加原理，系

37、統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)應(yīng)等于系統(tǒng)由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對任意激振力的響應(yīng)應(yīng)等于系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間t0內(nèi)各個(gè)脈沖響應(yīng)的總和內(nèi)各個(gè)脈沖響應(yīng)的總和 tdthFtx0)()()(得：得：杜哈梅杜哈梅(Duhamel)積分積分 tdtddteFm0)()(sin)(10)(sin1 )()(0 temthdtdtdthFtx0)()()(利用卷積性質(zhì)：利用卷積性質(zhì)： tdhtFtx0)()()(若有初始條件，則：若有初始條件，則： tdtddddtdteFmtxxtxetx0)(0000)(sin)(1 )sincos()(00若阻尼為零，則：若阻尼為零，則： tdtFmtxtxtx000000

38、00)(sin)(1)sincos()(單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng) tdtddteFm0)()(sin)(10例：無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例：無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)在在（0，t0）時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用求：求： 系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)解法一解法一：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng) tdtFmtx000)(sin)(1)( tdtmQ0

39、000)(sin)cos1 (0200tmQ )cos1 (00tkQ 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt00tt （1） 時(shí)時(shí)單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng) 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt tdtFmtx000)(sin)(1)()(sin0)(sin10000000 tttdtdtQmcos)(cos1000000tttQm cos)(cos0000tttkQ 0tt （2） 時(shí)時(shí)單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng) 000 , 00,)(ttttQtF

40、)(tF0Q00tt0tt （2） 時(shí)時(shí)cos)(cos)(0000tttkQtx 00tt （1） 時(shí)時(shí))cos1 ()(00tkQtx 00000000 , cos)(cos0 ),cos1 ()(tttttkQtttkQtx因此，系統(tǒng)響應(yīng)：因此，系統(tǒng)響應(yīng)：單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)解法二解法二：)(tF0Q00tt 00000000 , cos)(cos0 ),cos1 ()(tttttkQtttkQtx當(dāng)當(dāng)t t0 時(shí)激振力已經(jīng)去除，此時(shí)系統(tǒng)將以時(shí)刻時(shí)激振力已經(jīng)去除，此時(shí)系統(tǒng)將以時(shí)刻t =t0 時(shí)的位移和時(shí)的位移和速度為初始條件做自由

41、振動，稱為速度為初始條件做自由振動，稱為殘余振動殘余振動t t0 時(shí)的響應(yīng)可以求解如下時(shí)的響應(yīng)可以求解如下先求得先求得t =t0 時(shí)刻的位移和速度：時(shí)刻的位移和速度： )cos1 ()(0000tkQtx sin)(00000tkQtx t t0 時(shí)的響應(yīng)：時(shí)的響應(yīng)：)(sin)()(cos)()(0000000tttxtttxtx )(sin sin)(cos )cos1 (0000000000tttkQtttkQ cos)(cos0000tttkQ 例例：試確定一個(gè)自由度系統(tǒng)對圖中施力函數(shù)的無阻尼響應(yīng)：試確定一個(gè)自由度系統(tǒng)對圖中施力函數(shù)的無阻尼響應(yīng) tttttQttQtF221211, 0

42、,0,)()(tF1Q2Q01tt2t單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)10tt （1） 時(shí)時(shí) tdtFmtx000)(sin)(1)( tdtmQ0001)(sin)cos1 (0201tmQ )cos1 (01tkQ )(tF1Q2Q01tt2t tttttQttQtF221211, 0,0,)(單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)解法一：解法一：21ttt（2） 時(shí)時(shí) tdtFmtx000)(sin)(1)()(sin)(sin111020010 tttdtQdtQm)(cos1 cos)(cos110

43、02010010ttQtttQm )(cos1 cos)(cos1020101ttkQtttkQ )(tF1Q2Q01tt2t tttttQttQtF221211, 0,0,)(單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)tt 2（3） 時(shí)時(shí) tdtFmtx000)(sin)(1)()(tF1Q2Q01tt2t tttttQttQtF221211, 0,0,)()(sin)(sin1211020010 tttdtQdtQm)(cos)(coscos)(cos1102002010010ttttQtttQm )(cos)(coscos)(cos102020101t

44、tttkQtttkQ 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng)解法二：解法二：)(tF1Q2Q01tt2t)(tF1Q01tt)(tF2Q01tt2t=+)(tF0Q00tt一個(gè)自由度系統(tǒng)對矩形沖量的無阻尼反應(yīng)：一個(gè)自由度系統(tǒng)對矩形沖量的無阻尼反應(yīng)： )2( ,cos)(cos) 1 (0 ),cos1 ()(00000000tttttkQtttkQtxt0：矩形沖量持續(xù)的時(shí)間：矩形沖量持續(xù)的時(shí)間單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng))(tF1Q2Q01tt2t)(tF1Q01tt)(tF2Q01tt2t=+)(tF0Q00tt應(yīng)用（應(yīng)用（1）式：）式： )2( ,cos)(cos) 1 (0 ),cos1 ()(00000000tttttkQtttkQtx10tt （1） 時(shí)時(shí))cos1 ()(01tkQtx 單自由度系統(tǒng)受迫振動單自由度系統(tǒng)受迫振動 / 非周期激勵的響應(yīng)非周期激勵的響應(yīng))(tF1Q2Q01tt2t)(tF1Q01tt)(tF2Q01tt2t=+)(tF0Q00tt對于對于Q1的反應(yīng)，應(yīng)用（的反應(yīng)，應(yīng)用（2）式：）式： )2( ,cos)(cos) 1 (0 ),cos1 ()(0000000