概率論隨機(jī)變量及分布ppt課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章 隨機(jī)變量及其概率分布35 二維隨機(jī)變量及其概率分布二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)定義 假設(shè) 和 是樣本空間 上的隨機(jī)變量，那么稱(chēng) ， 為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。 記積事件 的概率YY,)()(yYxXPyYxXP)()(yYxXXX 設(shè) 和 是實(shí)變量，稱(chēng)為二維隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，記作 ，即 ,yYxXP),(YXx),(yxF,),(yYxXPyxFy 分布函數(shù)的性質(zhì)1. 2. 是 、 的不減函數(shù)；假設(shè) 固定，那么有 ；假設(shè) 固定，那么有 ；),(yxF1),(0yxF1),(lim,0),(limyxFyxFyxyx0),(limyxFx0),(limyxFyxxyy

2、4. ),(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP)0),(),(),(),(11211222yxFyxFyxFyxF 2. 邊緣分布函數(shù)定義 設(shè) 的分布函數(shù)是 ， 稱(chēng) 為 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)， 記作 ；類(lèi)似地， 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù))(xFX),(YX),(YX),(YX),(,xFYxXP),(yxF),(,)(yFyYXPyFYXY例1 知隨機(jī)變量 的取值是 (0,0)、 (0,2)、(1,0)、(1,2) ，且有 求 的分布函數(shù)、 關(guān)于 和 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)。),(YX),(YX),(YX),(YXX412, 1,830, 1812,

3、0,410, 0YXPYXPYXPYXPY解 的分布函數(shù) =假設(shè) ,那么 =0；假設(shè) ，那么 =1 / 4；假設(shè) ，那么 = 3 / 8；假設(shè) ，那么 = 5 / 8；假設(shè) ，那么 = 1，),(YX,yYxXP),(yxF),(yxF),(yxF),(yxF),(yxF),(yxFyxyxyxyxyorx2 ,120 ,12 , 1020 , 1000 的分布函數(shù)yxyxyxyxyorxyxF2,1, 120,1, 8/52, 10, 8/320, 10,4/100,0),(),(YX 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù) 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)),(YX),(YXxxxYxXPxF1, 110,8/30,0

4、,),(yyyyF2, 120,8/50,0),(XY3. 二維離散型隨機(jī)變量的概率分布定義 假設(shè)隨機(jī)變量 的取值是 ，那么 是離散型的，稱(chēng)為 的概率分布或分布律，也稱(chēng)為隨機(jī)變量 與 的結(jié)合分布律。),(YX),(YX),(YX,.2 , 1, ),(jiyxji,.2 , 1,jipyYxXPijjiXY ， 的分布律可以表示為XXYY.21nyyy.21mxxx.212222111211mnmmnnppppppppp假設(shè)是二維離散型r.v. 的分布律，那么有12),(YX,.2 , 1,jipyYxXPijji1,.2 , 1,011ijijijpjip二維離散型r.v. 的分布函數(shù),),

5、(jixxyyyYxXPyYxXPyxFij ),(YX二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律 關(guān)于 的邊緣分布律 關(guān)于 的邊緣分布律,.2 , 1,.1ippxXPjijii,.2 , 1,.1jppyYPiijji),(YX),(YXXY例2 盒中有3只白球，2只紅球。第一次 從中任取2球不放回，第二次再?gòu)氖Ｓ?球中任取1球。用 和 分別表示第 一次和第二次取到的白球數(shù)，求 的分布律、 的分布函數(shù)、 關(guān)于 、關(guān)于 的邊緣分布 律和邊緣分布函數(shù)。XY),(YX),(YX),(YXXY解 的能夠取值是0，1，2； 的能夠 取值是 0，1 。YX1011, 2,510, 2521, 1,510, 110

6、11, 0,00, 0YXPYXPYXPYXPYXPYXP 的分布律是 0 1),(YXXY10/15/15/25/110/10210510, 11311251213CCCCCYXP 的分布函數(shù)是),(YXyxyxyxyxyxyxyYxXPyxF1,2,110,2,5/21,21,10/710,21,5/11, 10,10/11, 1,0,),( 關(guān)于 的邊緣分布律是 0 1 2 P 關(guān)于 的邊緣分布律是 0 1 P ),(YX),(YXXYYX103531015352 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)是 關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)是XxxxxxFX2,121,10/710,10/10,0)(YyyyyFY1,

7、 110,5/20,0)(),(YX),(YX4. 二維延續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布定義 設(shè) 是二維r.v. 的分布 函數(shù)，假設(shè)存在非負(fù)函數(shù) ，對(duì)任 意實(shí)數(shù) 、 有 那么 為延續(xù)型二維隨機(jī)變量，稱(chēng) 為 的概率分布密度函數(shù)， 或 與 的結(jié)合分布密度函數(shù)。 ),(YX),(YX),(YX),(yxF xydudvvufyxF),(),(),(yxf),(yxfXYxy分布密度函數(shù)的性質(zhì)12在 的延續(xù)點(diǎn)處，有3假設(shè)G是平面區(qū)域，那么有1),(,0),( dxdyyxfyxf),(yxf),(),(2yxfyxFyxdxdyyxfGYXPG),(),( 關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù) 關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù))

8、,(YX),(YXXdyyxfxfX),()(YdxyxfyfY),()(例3 設(shè) 的分布密度函數(shù)是求：1常數(shù) c；2),.(.YXvrothersyxxcyyxf,010 , 0,1),(221,3YXP解 1 42)1 (2)21(11),(1002100220102carctgxcdxxcdxyxcdxdyxcydxdyyxf 4c26132121)1 (2)()1 (2)1 (4),(21,3303022103022302102321 arctgxxdxdxyxdxdyxydydxyxfYXP例4 知二維r.v. 的分布密度函 數(shù) 求：123 關(guān)于 、關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù)。 Y),

9、(YX),(YXothersxyeyxfx,00,),(;21, 1;2, 1YXPYXPX解 111010101001221),(2, 1 edxexedxxedxdyedxdyyxfYXPxxxxx21212/1012/1012/1012/11211)(),(21, 1 eeyeedyeedydxedydxyxfYXPyyyx3 關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù)),(YXothersxxeothersxdyedyyxfxfxxxX,00,00,),()(0X 關(guān)于 的邊緣分布密度函數(shù)),(YXothersyeothersydxedxyxfyfyyxY,00,00,),()(Y5. 兩個(gè)常用分布1均

10、勻分布 設(shè)G是平面有界區(qū)域，G的面積為A。假設(shè)隨機(jī)變量 的分布密度函數(shù)是那么稱(chēng) 在區(qū)域G上服從均勻分布。),(YX),(YXothersGyxAyxf,0),( ,1),(2正態(tài)分布假設(shè)隨機(jī)變量 的分布密度函數(shù)是其中 ，那么稱(chēng) 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記作),(YX),(YX yxeyxfyyxx,121),(22222121212122)1(212211, 0, 021,222211).;,;,(),(222211NYX 當(dāng) 時(shí)， 的分布密度函數(shù)是),(YX0yxeeeyxfyxyx,212121),(22222121222221212)(22)(12121 可以證明，假設(shè)那么有 但是，假設(shè)

11、那么 未必服從正態(tài)分布。).;,;,(),(222211NYX),(, ),(222211NYNX),(, ),(222211NYNX),(YX6. 隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義 假設(shè)對(duì)恣意實(shí)數(shù) 有那么稱(chēng)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立。 由二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)的定義可以得到 假設(shè)對(duì)恣意實(shí)數(shù) 有那么隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立。yx,yx,yYPxXPyYxXPYYXX)()(),(yFxFyxFYX 對(duì)于離散型隨機(jī)變量 ，可以得到 與 相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì) 的一切能夠的取值 ，有),(YX,jijiyYPxXPyYxXPXY),(YX),(jiyx 對(duì)于延續(xù)型隨機(jī)變量 ， 與 相互獨(dú)立的充分必

12、要條件是對(duì)任意實(shí)變量 ，有),()(),(yfxfyxfYX),(YXXY),(yx例5 知二維隨機(jī)變量 的分布律 是 0 1 1 2 問(wèn) 與 能否相互獨(dú)立？ ),(YXXXYY411212161解 關(guān)于 、關(guān)于 的邊緣分布律分別是 1 2 0 1 P 2 / 3 1 / 3 P 1 / 4 3 / 4有),(YX11211, 101610, 1YPXPYXPYPXPYXPXYYX 與 相互獨(dú)立。12411, 2021210, 2YPXPYXPYPXPYXPXY例6 設(shè)隨機(jī)變量 的分布密度函數(shù)是1求常數(shù)C；2計(jì)算 ；3 與 能否相互獨(dú)立？),(YXothersxyxxcxyxf,021, 20

13、,),(21, 2YXPXY解 1 C = 1 / 2cdxxcdxycxdxdycxdydxyxfxxxx22),(1203202221220 2247247676121),(1, 21041031023221012 ydyydyxdydxxdydxyxfYXPyyyy3 othersxxothersxdyxdyyxfxfxxX,020,41,020,21),()(3212 與 不相互獨(dú)立。 )()(),(yfxfyxfYXothersyyyyothersydxxydxxdxyxfyfyyyY,021, )8(6110,67,021,2110,21),()(332222XY例7 知隨機(jī)變量

14、與 相互獨(dú)立，服從0，1上的均勻分布， 。求1 的分布密度函數(shù)；2解 由知， 的分布密度函數(shù)是XXX),(YXY) 1 , 0( NY.1,21YXPothersxxfX,010, 1)( 的分布密度函數(shù)是1 與 相互獨(dú)立，有 的分布密度函數(shù) X),(YXyeyfyY,21)(22YY)()(),(yfxfyxfYXothersyxeyxfy,0, 10,21),(22242. 0) 1 (2121),(1,21122102112 dyedxdxdyyxfYXPy可以證明，假設(shè)且 與 相互獨(dú)立，那么有),(, ),(222211NYNX),(),(222121222121NYXNYXXY例8 知隨機(jī)變量 且 與 相互獨(dú)立。1寫(xiě)出隨機(jī)變量 的分布密度函數(shù) ；2計(jì)算 。) 1 , 3(, )3 , 8(NYNXXY),(YX),(yxfYXP解 1 與 的分布密度函數(shù)分別是且 與 相互獨(dú)立， yeyfxexfyYxX,21)(,321)(2)3(6)8(22XXYY 的分布密度函數(shù)是),(YXyxeeeyxfyxyx,32121321),(6)3(3)8(2)3(6)8(2222 2 9938. 0)5 . 2()250(1)0(1010)4 , 5(FYXPYXPYXPNY