儲油罐的變位識別與罐容表標定的數學模型

1、儲油罐的變位識別與罐容表標定的數學模型摘要：本文研究儲油罐的變位對罐容表的影響問題，利用微積分理論知識，采用截面面積積分求體積的方法，建立儲油罐油量與油位高度之間的關系模型，運用matlab編程求解，從而分析、討論儲油罐變位前、后對罐容表的影響。首先研究問題中兩端平頭的小橢圓形儲油罐，討論其變位前、后對罐容表的影響。在變位前對儲油罐沿著油面水平截面得到矩形，對矩形積分建立儲油量與油位高度之間的關系模型I，即 ,代入幾何參數，給出了正常的罐容表對應值，再將附件1所給的油位高度代入模型中，得到相應的儲油量，并與實際的儲油量相比，誤差在0.35之內，從而檢驗模型的正確性；變?yōu)楹?，建立積分模型II，得

2、到縱向傾斜（）時的罐容表的修定值，與正常情況下的罐容表標定值相比較，分析變位對罐容表的影響，隨著油位示數的增大，對體積的影響先增后減。然后研究問題中兩端為球冠體的儲油罐變?yōu)楹髮奕荼淼挠绊憽Ｔ趦τ凸逕o變位時，將儲油罐分為兩部分，中間的柱體部分在模型I的基礎上求解，兩端的球罐體沿水平方向積分求解，將各部分結果求和，得到無變位時儲油量與油位高度的關系模型III；在發(fā)生變位（縱向傾斜 a和橫向傾斜 b）后，考慮到，儲油罐可能出現一端有油和兩端有油的情況，我們將儲油罐分為三部分，找到兩種情況下油位示數的臨界值，先考慮縱向變位，得到儲油量與油位高度、變位參數 的關系，然后將油位示數與b 的關系代入其中，

3、得到模型IV，即 ，利用附件2中的數據確定變位參數得到,從而建立了變位后罐容表的修定值，由模型III得到罐容表正常情況下的標定值，與其進行比較。并且利用附件2中的數據對模型進行了檢驗，驗證了模型的可行性。文中模型采用截面面積積分的方法具有一定的理論基礎，而且針對不同的情況，采取不同的截法，方法簡單、可行，可以應用于實際生活當中。最后文中提出了模型的改進方向，在實際生活中，可以考慮儲油罐厚度對模型的影響，提高模型的準確性。關鍵詞： 微積分模型 matlab 截面 變位1.問題重述1.1問題的實際意義通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和

4、油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖。1.2要解決的問題用數學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小

5、橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數據如附件1所示。請建立數學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b ）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據（附件2），根據你們所建立的數學模型確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數據來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。2.問題分析

6、本題要研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。依據題意，考慮到無論是儲油罐的變位識別還是罐容表的標定，都得從罐內儲油量與油位高度的變化情況出發(fā)，也就是要建立兩者之間的數學關系，并且分為變位前、后兩種情況。由題中所給的示意圖，并聯(lián)系實際生活，我們采用截面面積積分法求油品體積。2.1關于問題（1）的分析首先，在無變位時，沿水平方向截油罐，運用微積分知識，建立模型。在變位（即縱向傾斜）時，沿垂直油罐的方法截油罐，建立微積分模型。然后，使用matlab軟件積分求解，得到有無變位時油量與油位高度的表達式，結合附件1所給的數據，對模型進行檢驗。其次，將不同的代入模型、中，計算得到正常的罐容表對應值和變

7、位后罐容表的修正值。最后，根據罐容表正常的對應值和變位后的修正值，在matlab中建立直角坐標系，繪制儲油量與油位高的關系曲線圖，分析比較在縱向傾斜a時，對罐容表的影響。2.2關于問題（2）的分析題中要求建立罐體變位后標定罐容表的數學模型,尋找罐內儲油量與油位高度及變位參數之間的關系。在問題的基礎上，我們仍然建立微積分模型，采用截面面積積分法解決。第一步:考慮罐體無變位的情況，將罐體分為兩部分，一部分為柱體，根據模型可以求解；另一部分是兩端的冠球體，沿水平方向截取，將面積進行積分計算體積，再將兩部分體積求和。第二步：考慮罐體縱向偏轉a角度的情況，由于油罐可能出現兩端有油和一端有油的情況，所以我

8、們將油罐分為三部分，左、右端的球冠體和中間的柱體，尋找各部分油位示數之間的關系，便可不必考慮上述問題。對于左、右兩端都沿水平方向截取，分別對截面面積進行積分求得體積。中間柱體部分的油量與油位高度的關系可代入模型求得。同樣將三部分體積求和，得到罐內實際儲油量與縱向變位參數a和油位高度的關系模型III。第三步：考慮罐體同時縱向傾斜a角度和橫向偏轉b角度的情況，建立顯示油高和b的關系式，將此關系式代入第二步最終結果，得到模型IV，即罐內實際儲油量與縱向變位參數a、橫向變位b和油位高度的關系。最后將附件2中的實際檢測數據、代入模型IV中的結果，確定變位參數a、b的值，建立罐容表的標定值，再用模型，得到

9、的無變化情況下罐容表的標定值，進行分析比較，并利用附件2的實際檢測數據，分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性。3.符號說明符 號涵 義小橢圓油罐截面的長半軸小橢圓油罐截面的短半軸儲油罐的長度罐內油品液面高度罐內油品體積罐內油品截面面積變位后油品截面高度圓柱體底面半徑球體半徑球冠體中圓柱的長度 4.模型假設 儲油罐罐體變位僅由地基變形引起，不考慮罐體自身變形等因素； 同一儲油罐在罐體變位前、后罐內油品的體積不變； 油品和油罐的體積不受壓強、溫度等多方面的影響； 液體的流速對液體體積的干擾很小，對數據的檢測誤差不大。5.模型建立與求解5.1儲油罐油位高度與罐容表標定模型（第一問）1.儲油罐罐體無變位

10、時的油位高度與罐容表標定模型I如圖(1)所示，沿水平方向截油罐,截面如圖為矩形xL 圖 (1) 圖 而橢圓柱底面示意圖如圖所示：圖 則橢圓方程為：，解得：。設是截面矩形的面積，則對截面面積關于積分， 可得出油罐內油的體積， 即求解積分，從而得到油量與油位高度的表達式 給式代入不同的油位高度H,計算得到正常的罐容表對應值,如下表:正常情況下罐容表對應值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.015.294750.411240.5470.812951.8250.0214.938110.421282.0320.822992.5390.0327.373590.431323.7

11、450.833032.9660.0434.3580.441365.6730.843073.0910.0558.598260.451407.8020.853112.8990.0676.83110.461450.1190.863152.3740.0796.567580.471492.610.873191.4990.08117.67570.481535.2630.883230.2580.09140.0480.491578.0640.893268.6340.1163.5940.516210.93306.6080.11188.20.511664.060.913344.1620.12213.90850.5

12、21707.2290.923381.2780.13240.550.531750.4970.933417.9350.14268.10780.541793.850.943454.1140.15296.53390.551837.2750.953489.7930.16325.78440.561880.7620.963524.9490.17355.81920.571924.2970.973559.5610.18386.60110.581967.8690.983593.6030.19418.09570.592011.4650.993627.050.2450.27060.62055.07313659.875

13、0.21483.09590.612098.6811.013692.050.22516.54290.622142.2771.023723.5450.23550.58490.632185.8481.033754.3260.24585.19630.642229.3841.043784.3610.25620.3530.652272.871.053813.6120.26656.03170.662316.2961.063842.0380.27692.21040.672359.6491.073869.5960.28728.86790.682402.9161.083896.2370.29765.98360.6

14、92446.0861.093921.9090.3803.5380.72489.1451.13946.5520.31841.51210.712532.0821.113970.0980.32879.88760.722574.8831.123992.470.33918.64660.732617.5351.134013.5780.34957.77190.742660.0271.144033.3150.35997.24670.752702.3431.154051.5470.361037.0550.762744.4731.164068.1090.371077.180.772786.4011.174082.

15、7720.381117.6070.782828.1141.184095.2080.391158.320.792869.5981.194104.8510.41199.3050.82910.841.24110.1462.儲油罐罐體變位（即縱向傾角為a）時的油位高度與罐容表標定模型II油罐縱向變位后如圖所示： 圖 圖 沿垂直于油罐的方向截油罐，截得的截面如圖所示，圖中橢圓方程為，解得：。設為截面油的高度,為探針處截面油的高度(即顯示油高)，則 ，將代入上式得: 設截面面積為，積分得出：，對截面面積關于積分，可得出油的體積，即 對上式兩邊積分得：將式代入上式中得： 給式代入不同的顯示油高，計算得到縱向

16、變位后的罐容表對應值，如下表：縱向變位后罐容表的修定值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.013.50.411004.950.812703.550.026.30.423468.290.822745.490.03100.431084.530.832787.220.0414.80.441124.790.842828.740.0520.70.451165.340.852870.020.0627.90.461206.160.862911.060.0736.30.471247.230.872951.830.0846.10.481288.560.882992.330.0957

17、.40.491330.110.893032.530.170.10.51371.880.93072.430.1184.40.511413.850.9131120.12100.30.521456.020.923151.230.13117.70.531498.350.933190.110.14136.90.541540.850.943228.610.15157.80.551583.50.953266.720.16180.30.561626.280.963304.420.172040.571669.190.973341.690.18228.90.581712.210.983378.510.19254.

18、90.591755.320.993414.860.2281.90.61798.5213450.720.21309.80.611841.81.013486.060.22338.50.621885.131.023520.870.23368.10.631928.511.033555.110.24398.50.641971.931.043588.770.25429.70.652015.371.053621.810.26461.50.662058.821.063654.20.274940.672102.281.073685.910.28527.10.682145.711.083716.920.29560

19、.90.692189.131.093747.170.3595.20.72232.51.13776.640.31630.10.712275.821.113805.270.32665.60.722319.081.123833.010.33701.50.732362.271.133859.820.347380.742405.371.143885.620.35774.90.752448.371.153910.330.36812.20.762491.261.163933.860.378500.772534.021.173956.060.38888.20.782576.641.183976.660.399

20、26.70.792619.121.193995.540.4965.70.82661.421.24012.745.2儲油罐罐體變位后油位高度與罐容表標定模型（第二問）第一步：無變位時罐容表內的油的體積與顯示油高之間的關系模型III 我們將罐體分為兩部分，一部分為柱體，一部分為油罐兩端的冠球體。設兩端冠球體內的油量為，柱體內油量為,則儲油罐內油量。1 先求因為無變位時兩端冠球體的油量相等，所以我們只需計算一端的油量，則。（這里我們只計算右端冠球體如圖所示），沿水平方向截球冠體，截面如圖所示： 圖 圖 設探針顯示高度為（即無變位時的油面高度），圓柱底面半徑為，球冠體的半徑為,截面所在圓的半徑為，由圖

21、可知 ， ，根據題意，如圖可得出。將球體補全如圖： 圖 圖 可得 （為冠球體的半徑）截面面積 則2.求由于模型一是求無變位時橢圓柱內的油量與的關系，而現在要求圓柱體內油量與的關系，所以我們可以利用模型一得出：圓柱的截面面積 則 給式代入不同的顯示油高，計算得到無變位時球冠體的罐容表對應值如下表：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.1578.41.122852.60.21658.81.2258190.33127.61.328803.30.44911.71.431779.80.56961.81.534722.90.69237.61.637607.40.711703.71.740408.40

22、.814327.81.843100.90.917079.71.945660.2119930.5248061.5第二步：縱向變位后罐容表內的油的體積與顯示油高之間的關系模型IV將罐體分為左端球冠體、右端球冠體與柱體三部分，設它們中的油量分別為、，則儲油罐內油量1.求：左端球冠體如圖所示： 設球冠內油高為，探針顯示高度為，柱體底面半徑為，則 沿水平方向截得截面如圖所示（截面圓半徑為）：則 ，截面面積 則將式代入上式中得：2.求：與左端球冠體方法相同，設球冠內油高為，探針顯示高度為，截面圓半徑為，則截面面積 將代入上式中得：3.求：由于模型二是求縱向變位后橢圓柱內油量與的關系，而現在要求圓柱內油量與

23、的關系，所以利用模型二得出： （是截面油的高度）截面面積 則，即縱向變位后油量與之間的關系如下：第三步：橫向變位后, 與顯示油高之間的關系設為顯示高度，為實際高度，為圓柱底面半徑 圖 圖當時，由圖知：，當時，由圖知: ，則可得出橫向偏轉后與之間的關系為：由第二、三步的結果得出顯示高度與縱向偏轉、橫向偏轉之間的關系模型：因為橫向偏轉不影響實際的油位高度，但是顯示油高會變化，可以將橫向偏轉中的實際油高代入縱向偏轉中，最后得出罐內油的體積與顯示高度、之間的關系。（關系式見附錄）將附件二中的數據代入上述關系式中可得出，。變位后罐容表的修定值：油位高度/m油量/L油位高度/m油量/L0.1320.71.

24、119382.30.21031.31.221991.60.32216.31.324629.40.43737.51.427277.10.55511.51.529916.10.67490.61.632528.50.796391.735096.50.811927.11.837602.30.9143291.940028.4116821.3242357.26.模型結果分析與模型實驗6.1利用附件1實際檢測數據來分析實驗模型I、II先計算出實際結果與模型結果的差值，再用差值與實際值的比分析誤差，通過 MATLAB編程得到無變位時實際油量與計算油量的誤差表，如下：油位高度/mm實際油量/L計算油量/L誤差值

25、油位高度/mm實際油量/L計算油量/L誤差值159.02312322.880.034872665.6722622340.90.034881176.14362374.630.03489677.6323122392.70.034905192.59412426.360.034854678.542315.832396.60.034877208.5462478.130.034913690.532365.832448.40.034901223.93512529.850.034863690.822367.062449.60.03487238.97562581.610.034893702.852417.062

26、501.40.034894253.66612633.350.034886714.912467.062553.10.034876268.04662685.080.034864727.032517.062604.90.034898282.16712736.850.034902739.192567.062656.60.03488296.03762788.580.034882751.422617.062708.30.034864309.69812840.330.034889763.72666.9827600.034878323.15862892.060.034872764.162668.832761.

27、90.034873336.44912943.80.034868776.532718.832813.70.034894349.57962995.540.034865788.992768.832865.40.034878362.5610121047.30.034881801.542818.832917.20.034897375.4210621099.10.034934814.192868.832968.90.034882388.1611121150.80.034892826.952918.833020.70.034901400.7911621202.60.03494839.832968.83307

28、2.40.034886413.3212121254.30.034901852.843018.833124.10.034871425.76126213060.0348658663068.833175.90.03489438.1213121357.80.034909879.323118.833227.60.034875450.413621409.50.034875892.823168.833279.40.034893462.6214121461.20.034844892.843168.913279.50.034898474.78146215130.034884906.533218.913331.2

29、0.034884486.8915121564.70.034854920.453268.913382.90.034871498.9515621616.50.034891934.613318.913434.70.034888510.9716121668.20.034864949.053368.913486.40.034875522.95166217200.034898963.83418.913538.20.034891534.917121771.70.034871978.913468.913589.90.034878546.8217621823.50.034904994.433518.913641.70.034894558.7218121875.20.0348791010.433568.913693.40.034882570.61186219270.0349091026.993618.913745.10.03487582.4819121978.70.0348851044.253668.913796.90.034885594.3519622030.40.0348621062.373718.91384