冪級(jí)數(shù)求和及其應(yīng)用

1、冪級(jí)數(shù)求和及其應(yīng)用摘要本文在學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)及冪級(jí)數(shù)求和的基本性質(zhì)基礎(chǔ)上，對(duì)冪級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題引進(jìn)了8種方法，對(duì)冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題主要介紹了在數(shù)學(xué)和物理上的8個(gè)應(yīng)用。本文先從冪級(jí)數(shù)求和的兩種最基本和最簡(jiǎn)單的方法入手，在這兩種方法的基礎(chǔ)上緊接著引進(jìn)基本初等函數(shù)等方法，實(shí)現(xiàn)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體到抽象，由一般到特殊的過(guò)度，進(jìn)而運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的其他知識(shí)和通過(guò)查閱大量資料，簡(jiǎn)單的介紹了構(gòu)造函數(shù)方程的三種方法，最后重點(diǎn)介紹了冪級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)和物理上的8個(gè)實(shí)際應(yīng)用，即數(shù)學(xué)上的4個(gè)應(yīng)用和物理學(xué)上的四個(gè)應(yīng)用。關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù)；和函數(shù)；收斂區(qū)間 Several Methods about the Sum of Power Ser

2、ies Abstract.This paper study the power series and the power series summation, the basic properties of the foundation, on the power series and introduced the summation of 8 method, the power series of the application of mainly introduced in mathematical and physical eight applications. This paper fi

3、rst from the power series summation of two of the most basic and the simplest method of the two methods in based on the introduction of basic elementary function then and other methods, the realization from simple to complex, from the concrete to the abstract, from common to special excessive, and t

4、hen use the higher mathematics knowledge and the other by consulting a large number of material, simple introduces structural function equation of the three methods, finally introduced the power series in mathematics and physics of the eight practical application, namely mathematical four applicatio

5、n and physics on the four applications. key words：power series; And functions; Convergence intervalII目錄摘要IAbstractII前言11.冪級(jí)數(shù)求和的方法11.1逐項(xiàng)微分法11.2逐項(xiàng)積分法31.3拆項(xiàng)組合法41.4部分和極限法51.5 基本初等函數(shù)法71.6代數(shù)方程法【8】91.7微分方程法【9】101.8逐級(jí)遞推法112.冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用122.1冪級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用122.2冪級(jí)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用14結(jié)束語(yǔ)15參考文獻(xiàn)16前言?xún)缂?jí)數(shù)及其求和是數(shù)學(xué)分析中最重要的內(nèi)容之一，在高等數(shù)學(xué)中也有著廣

6、泛的應(yīng)用，而冪級(jí)數(shù)的收斂及其求和也是高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，因此對(duì)冪級(jí)數(shù)的收斂及其求和的研究不僅有著重要的理論意義，還有著重大的實(shí)踐意義，無(wú)論是在高等數(shù)學(xué)中還是在科學(xué)計(jì)算中，不管是在經(jīng)濟(jì)管理還是在實(shí)際生活中都有著廣泛的應(yīng)用. 本文討論冪級(jí)數(shù)的結(jié)構(gòu)為，通過(guò)舉具體例子，引進(jìn)了冪級(jí)數(shù)求和的8種方法，最后主要介紹了冪級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用，包括4個(gè)數(shù)學(xué)上的應(yīng)用和4個(gè)物理學(xué)上的應(yīng)用。1.冪級(jí)數(shù)求和的方法1.1逐項(xiàng)微分法設(shè)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)微，若為內(nèi)任意一點(diǎn)，那么在可導(dǎo)，且【2】先對(duì)冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后利用等比數(shù)列求和的知識(shí)，對(duì)新冪級(jí)數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)通過(guò)多次求導(dǎo)多次返回求積最終可求得原函數(shù)。不過(guò)值得我

7、們注意的在實(shí)際求冪函數(shù)的過(guò)程中，往往通過(guò)一次求導(dǎo)或求積是不能達(dá)到預(yù)期結(jié)果的，因此有時(shí)要通過(guò)兩次或多次求導(dǎo)或求積才能求出原函數(shù)的和函數(shù)。例1.給定冪級(jí)數(shù)確定它的收斂半徑與收斂區(qū)間；求出它的和函數(shù)。解：記，因?yàn)?，所以，而是收斂區(qū)間。如果，那么原級(jí)數(shù)都是收斂的，因此收斂域是。由逐項(xiàng)微分定理，。故，。例2.給定冪數(shù)級(jí)，確定它的收斂半徑與收斂區(qū)間；求出它的和函數(shù)。解：記，因?yàn)樗允諗堪霃?，?dāng)時(shí)級(jí)數(shù)為發(fā)散。收斂區(qū)域?yàn)?。?duì)任意，有，而，所以。1.2逐項(xiàng)積分法逐項(xiàng)積分的原理【1】：設(shè)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)微，若為內(nèi)任意一點(diǎn)，那么在可導(dǎo)，且在與這個(gè)區(qū)間上可積且可逐項(xiàng)積分【2】，即 ，然后對(duì)該式求導(dǎo)即可，但是

8、有時(shí)需要先多次積分再多次求導(dǎo)得到原函數(shù)。逐項(xiàng)積分的性質(zhì)【2】：函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)積分的組成的新的函數(shù)冪級(jí)數(shù)的和： ，且該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為。例1.請(qǐng)求的的和【3】解：由題意是收斂區(qū)間。記，對(duì)先求積:又所以故,.1.3裂項(xiàng)求和法 觀(guān)察冪級(jí)數(shù)的特征，找出已知冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式，把冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式拆裂成若干我們熟悉的冪級(jí)數(shù)，再通過(guò)適當(dāng)?shù)闹匦陆M合這些冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式，然后綜合利用冪函數(shù)的各種求和方法，分別計(jì)算出所拆得的各項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，最后把各拆得的分項(xiàng)冪項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)相加即得所求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。例1.請(qǐng)你判斷的收斂性，并求其和.解：令，所以的收斂半徑為1.由于（，又當(dāng)時(shí)， 即：的和函數(shù)為 ，例2.

9、求的和函數(shù)。解：易知此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 1.4部分和極限法無(wú)窮冪級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)【4】：記無(wú)窮冪級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列為，如果收斂于，即: ,則稱(chēng)無(wú)窮冪級(jí)數(shù)收斂，記為無(wú)窮冪級(jí)數(shù)的和，則記作.因此，我們可以根據(jù)無(wú)窮冪級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)可得出一個(gè)重要的推理：對(duì)于無(wú)窮冪級(jí)數(shù)，要想求出其和，一個(gè)重要的前提是該無(wú)窮冪級(jí)數(shù)的部分和極限存在，因此我們就可以采用：只要取該無(wú)窮冪級(jí)數(shù)的部分和極限并求之，那么該極限就是無(wú)窮冪級(jí)數(shù)的和，對(duì)于冪級(jí)數(shù)，設(shè)前項(xiàng)和為，則：.例1.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)【5】。解：記部分和，則 所以因?yàn)椋?.5 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式的結(jié)論：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

10、此種方法要求我們數(shù)學(xué)以上常用的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，在實(shí)際進(jìn)行冪級(jí)數(shù)求和的過(guò)程中，我們要注意培養(yǎng)觀(guān)察分析類(lèi)比歸納的數(shù)學(xué)思想，綜合運(yùn)用冪級(jí)數(shù)的泰勒展開(kāi)式的性質(zhì)進(jìn)行巧妙求解，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。例1.求和函數(shù)解：易知收斂域?yàn)?。，注意到。所?例2.求的和函數(shù)【6】。解：，而， ，所以，收斂域?yàn)椤?1.6代數(shù)方程法【8】通過(guò)觀(guān)察冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，運(yùn)用所學(xué)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)對(duì)所求冪級(jí)數(shù)作適當(dāng)變形，該法的主線(xiàn)是始終以?xún)缂?jí)數(shù)的和為變量找出符合題意的代數(shù)方程。此法的一般步驟為：第一步，令所求冪級(jí)數(shù)的和為；第二步：對(duì)適當(dāng)變形，建立代數(shù)方程。第三步：利用所學(xué)知識(shí)解代數(shù)方程。這樣巧妙的利用轉(zhuǎn)化思想把冪級(jí)數(shù)求和問(wèn)題分解為求解

11、新的所列出的代數(shù)方程得問(wèn)題，從而使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，進(jìn)而求得我們想要的結(jié)果。例1. 用代數(shù)方程法求的和函數(shù)。解： 為收斂域，令，則：，于是：，因此：，1.7微分方程法【9】通過(guò)觀(guān)察冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，設(shè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為，首先對(duì)冪級(jí)數(shù)求一階導(dǎo)，二階導(dǎo)高階導(dǎo)以后，然后耐心的找出冪級(jí)數(shù)和函數(shù)以及所有的一階導(dǎo)，二階導(dǎo)高階導(dǎo)所滿(mǎn)足的微分方程，然后利用解常微分方程的知識(shí)易求解該微分方程，實(shí)現(xiàn)逐級(jí)求解微分方程，一步步返回原來(lái)的方程，最終求得原來(lái)的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。例1. 求冪級(jí)數(shù)的和。解：收斂區(qū)間是.記，則 顯然：滿(mǎn)足如下等式： 易簡(jiǎn)單解得解：1.8逐級(jí)遞推法此種方法適用的前提是存在一個(gè)階

12、函數(shù)列且該階函數(shù)列的和函數(shù)存在且能用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求出來(lái)，首先假設(shè)等于冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，分別求出時(shí)和時(shí)的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，通過(guò)觀(guān)察利用冪級(jí)數(shù)性質(zhì)定理和特征，構(gòu)造符合題意的一列函數(shù)列，這樣先求，由求出求出，由求出，最后由求出，這樣一步一步地返回原來(lái)的各遞推方程，通過(guò)逐級(jí)遞推或逆向求解每個(gè)遞推方程的和函數(shù)最終可求得原始的符合題目意思的冪級(jí)數(shù)和函數(shù)。例1.試確定冪級(jí)數(shù)的收斂域及利用逐級(jí)遞推法求出其和函數(shù)【10】。解：令，那么根據(jù)題意：顯然易知：冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槿绻?如果，令= ，其中，那么設(shè)，其中，那么設(shè)，其中，那么因此：，逐步向上逆遞推得： 因此：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，2.冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用2.1冪級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)上的

13、應(yīng)用2.1.1購(gòu)房分期付款問(wèn)題職工小張年初向銀行貸款萬(wàn)元用于購(gòu)房，銀行貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)算，若這筆貸款要分十年等額還清，每年年初還一次，并且從借款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，若每年應(yīng)還元，求年利率。解：設(shè)年利率為，分年還清：第年應(yīng)還元，此次欠款全部還清；第年應(yīng)還元，過(guò)年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為元，第年應(yīng)還元，過(guò)年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為元，第年應(yīng)還元，過(guò)年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為元，由題意： ，2.1.2解釋函數(shù)問(wèn)題在高中我們就學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)，我們知道該函數(shù)在數(shù)學(xué)中非常重要，我們也知道是以為底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)，其中，可是你知道是怎么計(jì)算出來(lái)的嗎?請(qǐng)解釋。解：因?yàn)?，令?/p>

14、所以只需取七位小數(shù)得：2.1.3數(shù)學(xué)中的極限計(jì)算問(wèn)題在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用羅比達(dá)法則或等量代換來(lái)計(jì)算函數(shù)的極限，但是有些極限卻不能用羅比達(dá)法則或等量代換來(lái)計(jì)算，例如，那么你能用冪級(jí)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決該問(wèn)題嗎？解：因?yàn)椋?，?.1.4證明復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式對(duì)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，若,則其和；如果收斂，那么絕對(duì)收斂；因?yàn)?，所以絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂收斂。定義: 復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)為易證它在整個(gè)復(fù)平面上絕對(duì)收斂 當(dāng)時(shí), 它與實(shí)指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式一致.當(dāng)時(shí)， （歐拉公式）利用歐拉公式可得復(fù)數(shù)的指數(shù)形式2.2冪級(jí)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用2.2.1物理學(xué)中的精算問(wèn)題現(xiàn)欲制造一精密物理儀器，已知該儀器的高與厚度滿(mǎn)足如下關(guān)系：（

15、其中厘米）請(qǐng)問(wèn)該物理儀器的高為多少？請(qǐng)求出高的近似值并估算誤差，誤差不超過(guò)。解：利用，先把角度化為弧度，因?yàn)椋?所以。2.2.2物理學(xué)中能量公式的解釋與證明問(wèn)題愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論理論中，有著名的質(zhì)能方程，而牛頓理論有動(dòng)能方程。由于低速情況下，牛頓理論已經(jīng)獲得巨大的成功。因此新的理論不能否定牛頓理論在低速情況下的正確性，所以當(dāng)時(shí)，質(zhì)能方程要與牛頓理論相融洽。當(dāng)然質(zhì)能方程中的質(zhì)量是動(dòng)質(zhì)量，根據(jù)相對(duì)論有可見(jiàn)當(dāng)物體低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，能量有兩部分：一部分為以靜質(zhì)量形式存在的“固有能量”，另一部分是動(dòng)能，這部分退化為牛頓動(dòng)能理論的形式。是物體的靜質(zhì)量。上面的而在忽略高階小項(xiàng)時(shí)之所以把拆開(kāi)，而忽略之后的部分

16、在于這樣容易開(kāi)根號(hào)，當(dāng)然還可以任意得選擇忽略高階小項(xiàng)，最后還是得到相同結(jié)果，或者干脆只留下，因?yàn)閺纳厦娴慕Y(jié)果可以看出，速度遠(yuǎn)小于光速時(shí)動(dòng)能相比與固有能是很小的，但這不是我們討論的目的。2.2.3物理學(xué)中的阻斷漏電流問(wèn)題物理學(xué)中MOS管溝道夾斷時(shí)漏電流公式為此時(shí)繼續(xù)增大漏源電壓就會(huì)引起所謂的“溝道長(zhǎng)度調(diào)制效應(yīng)”，既有這時(shí)上面的公式中的就要被取代，但是由于不知道具體是多少，所以直接代入意義不大。當(dāng)認(rèn)為，則有代入上式，有 ，這里是溝道剛夾斷時(shí)的漏電流。而是一個(gè)與工藝有關(guān)的參數(shù)，那么有什么依據(jù)？如下，溝道長(zhǎng)度調(diào)制效應(yīng)圖如下：當(dāng)認(rèn)為時(shí)（圖1實(shí)際上對(duì)有所夸張），則與近似成線(xiàn)性關(guān)系，因此當(dāng)通過(guò)實(shí)測(cè)或仿真得到

17、MOS晶體管的輸出特性曲線(xiàn)后可以據(jù)曲線(xiàn)近似得到的值。結(jié)束語(yǔ)實(shí)際求解中，冪級(jí)數(shù)的求收斂區(qū)間或求收斂域的方法多種多樣，實(shí)際求解的難度也并沒(méi)有我們想象中的容易或簡(jiǎn)單，對(duì)我們大腦的變通性靈活運(yùn)用性的要求都非常高，而對(duì)于冪級(jí)數(shù)的求和的實(shí)際問(wèn)題通常來(lái)說(shuō)也是很麻煩的，有很多種不同的方法，無(wú)論是從變通性上講還是從靈活性上來(lái)談都很不簡(jiǎn)單，但無(wú)論哪種方法也僅對(duì)某類(lèi)冪級(jí)數(shù)求和可行，因此對(duì)冪級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題一般沒(méi)有普適的行得通的通用的方法。除了本文介紹8種常見(jiàn)方法以外，還有幾種方法如：柯西方法，差分算子求和法，微分算子求和法，升冪除法等。由于本人能力有限，還需要不斷學(xué)習(xí)，僅對(duì)文中的8種方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，并通過(guò)具體例子強(qiáng)化之，達(dá)到舉一反三，以求對(duì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的問(wèn)題能起到一點(diǎn)幫助。值得一提的是，由于冪級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的變化和技巧性非常強(qiáng)，實(shí)際求和時(shí)往往要求我們要注意綜合運(yùn)用各種方法，把冪級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們已知和熟悉的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)問(wèn)題以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。參考文獻(xiàn)1 解烈軍.求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的微分方程方法J.高等數(shù)學(xué)研究,2009,12(3):41-43.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第三版)M.北京:高等教育出版社,2001，44-58.3 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)附冊(cè)一學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解(配第六版教材)M.北京:高等教