第22章量子力學基礎

1、第22章量子力學基礎 一、德布羅意物質波德布羅意認為不僅光具有波粒二象性，實物粒子也具有波粒二象性。描述實物粒子波函數(shù)中的、與實物粒子的能量E和動量p的德布羅意關系： 戴維孫-革末電子衍射實驗，約恩孫電子雙縫干涉實驗都證實了電子具有的波動性。二、海森伯不確定關系由于微觀粒子具有波粒二象性，我們就無法同時精確地測定微觀粒子坐標與動量，海森伯提出了如下的不確定關系：1、動量-坐標不確定關系 2、時間-能量不確定關系 三、波函數(shù) 微觀粒子具有波粒二象性，它不同于經(jīng)典的波也不同于經(jīng)典的粒子，要描述微觀粒子群體隨時間的變化，引入波函數(shù)。波函數(shù)確定后，微觀粒子的波粒二象性就能得到準確的描述。波函數(shù)是微觀粒

2、子的態(tài)函數(shù)。1、波函數(shù)的物理意義：某一時刻在空間某一位置粒子出現(xiàn)的幾率正比于該時刻該位置波函數(shù)的平方，或，即幾率密度 2、波函數(shù)的歸一化條件 3、波函數(shù)的標準條件，單值有限連續(xù)。四、薛定諤方程薛定諤方程是量子力學的基礎方程，由它可解出粒子的波函數(shù)1、自由粒子：，2、勢場中粒子： *非定態(tài)：式中，為哈密頓算符。定態(tài)：五、薛定諤方程應用實例1、一維勢箱：金屬中電子、原子核中質子勢能分布的理想化模型。它的勢函數(shù) 阱內一維定態(tài)薛定諤方程 解得滿足邊界條件（標準條件）歸一化條件的解的波函數(shù) 能量 當n=1時為基態(tài)能量 ，也叫零點能。相應各量子數(shù)n的波函數(shù)，幾率密度和能級分布如圖：2、一維勢壘： 半導體中

3、p-n結處電子和空穴勢能分布的簡化模型。3、隧道效應： 粒子越過或穿透高于其總能量的勢壘。4、原子、分子運動的量子化特征：原子振動能量：分子轉動能力：5、電子角動量：軌道角動量：，自旋角動量：，6、氫原子的定態(tài)：氫原子中電子的定態(tài)薛定諤方程 解出來的波函數(shù)滿足有限單值連續(xù)的標準條件可得下表中的四個量子數(shù)。 四個量子數(shù)表征氫原子中電子狀態(tài)的特征，如表所列：名稱可取數(shù)值主要作用主量子數(shù)n正整數(shù)1，2，3確定電子能量的主要部分角量子數(shù)在n給定以后，可取n個值，即0，1，2（n-1）相應常用s、p、d、f表示確定電子的角動量磁量子數(shù)在給定以后，可取或個值，即0，確定角動量在外磁場方向的投影自旋量子數(shù)只

4、取兩個值，確定電子的自旋角動量沿某一方向上的投影原子中不可能有兩個或兩個以上的電子具有完全相同的量子態(tài)，或者說一個原子中任何兩個電子不可能具完全相同的四個量子數(shù)。3、能量最小原理原子系統(tǒng)中每個電子趨向占有最低能級，當原子系統(tǒng)的總能量為最小時原子最穩(wěn)定。 六、多電子原子1、四個量子數(shù) 2、泡利不相容原理七、經(jīng)典粒子和微觀粒子描述比較經(jīng)典粒子微觀粒子狀態(tài)描述，一組量子數(shù)運動圖象確定的動量、位置和軌跡確定的幾率分布基礎規(guī)律牛頓定律薛定諤方程粒子狀態(tài)取決于力函數(shù)取決于勢能函數(shù)力學量特征連續(xù)變化本征量量子化，非本征量不確定固體量子理論基礎一、晶體分子、原子按一定的周期性作規(guī)則排列的固體稱為晶體。1、按結

5、合鍵分：離子晶體、共價晶體、分子晶體、金屬晶體、氫鍵晶體。2、按導電性分：導體、半導體、絕緣體。二、電子波函數(shù)1、周期性勢場：2、布洛赫波函數(shù)：，三、電子的能態(tài)1、能帶：N個相近能級組成，對應原子能級。2、禁帶：能帶之間的禁區(qū)，電子不可能具有禁區(qū)能量。四、電子運動1、速度：2、加速度：3、有效質量：五、半導體1、本征導電性。2、雜質導電性：n型半導體、p型半導體。六、超導BCS理論【例22-1】原子從某一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)，發(fā)射出中心波長為，譜線寬度的光子，試估算：（1）此光子的動量不確定度；（2）此光子的位置不確定度；（3）原子處在激發(fā)態(tài)的壽命；（4）該激發(fā)態(tài)的能量寬度。【解】（1）光子的動量

6、 光子動量的不確定度 （2）由不確定關系 得光子位置的不確定度 （3）原子在激發(fā)態(tài)的壽命 （4）激發(fā)態(tài)的能量寬度可由不確定關系 來估算得 【例22-2】試用下列3種方法計算寬為a的無限深一維勢阱中質量為m的粒子的最小能量（零點能）：（1）德布羅意波的駐波條件；（2）不確定關系式；（3）薛定諤方程?！窘狻浚?）要達到穩(wěn)定狀態(tài)，德布羅意波在勢阱中應形成駐波，能量最小時駐波的波長為2a，該勢阱中粒子的動量 相應的能量 （2）由測不準關系 ，取粒子的動量p與動量的測不準量為同一數(shù)量級，即 得粒子的能量 （3）根據(jù)薛定諤方程求解 即 令 ，原方程可寫成：方程的解為：由邊界條件 得： 得：由此得 ，又因為

7、上面已令 因此 得 最小時 n=1 得 【例22-3】氫原子處于2p態(tài)，當它在外磁場中，考慮到軌道磁矩與外磁場的相互作用，討論該狀態(tài)的能級分裂情況，并計算躍遷發(fā)出光子的頻率?！窘狻繗湓犹幵谕獯艌鲋校捎诳臻g量子化，電子軌道角動量相對外磁場方向有各種可能的取向，電子軌道磁矩也有相應的不同取向，導致氫原子與外磁場之間不同的相互作用勢能，使氫原子電子軌道磁矩 電子磁矩與外磁場相互作用能 的可能取值有個，磁矩與外磁場相互作用能也出現(xiàn)個可能值。對應于氫原子2p態(tài)與外磁場的相互作用能有三個不同值，分別為；，。1s能級不變化，2p能級分裂為三個能級，相鄰之間能級的能量差為。原先由2p躍遷至1s的一條譜線分

8、裂成為三條譜線，如圖22-3所示。其頻率分別為：原頻率 【例22-4】一維無限深阱中有10個電子，電子質量為m，勢阱寬度為。若忽略電子間的相互作用，應用量子物理的基本原理計算系統(tǒng)處于最低能量時，勢阱中電子的最大能量?！窘狻勘绢}討論一維無限深勢阱中的電子排布。電子波在無限深勢中傳播，由于兩勢阱壁的反射，形成穩(wěn)定的駐波，類同與例22-2（1），可導出在勢阱中電子能量 處于勢阱中電子的狀態(tài)是由電子的能態(tài)和電子的自旋態(tài)決定的。根據(jù)泡利不相容原理，每個能級上只能有自旋方向相反的兩個電子，所以系統(tǒng)處于最低能量時，勢阱中10個電子由最低能級開始依次逐級充填，如圖所示。顯然，勢阱中最大能量電子的量子數(shù)n=5，

9、得： 【例22-5】如圖22-5a所示為簡化的金屬表面附近的電子勢能曲線和電子能級圖。若在垂直金屬表面方向上加一勻強電場，指向金屬表面，使金屬中的自由電子向外逃逸。（1）畫出電子在外電場中的總勢能曲線；（2）試從量子力學效應定性解釋電子從金屬中逃逸的原因。 【解】（1）外加磁場沿x 負方向，電子在外電場的電勢能，由此可畫出電子在外電場中的勢能曲線及電子在外電場中的金屬表面處的總勢能曲線圖22-5b。（2）加上外電場后，原無限寬勢能曲線變?yōu)樽冇邢迣挼膭輭?，根?jù)量子力學隧道效應，電子將穿過勢壘逃逸金屬【例22-6】21cm譜線是由銀河系中氫原子發(fā)射的，它對應于電子的自旋從平行于氫原子中質子自旋方向

10、一下子變?yōu)榉雌叫蟹较驎r的能量變化。試計算質子所產(chǎn)生的磁場?！窘狻侩娮幼孕啪?設質子產(chǎn)生的磁場為，自旋磁矩與磁場的相互作用能 自旋方向從與平行變?yōu)榕c反平行，從變?yōu)椋瑒t能量的變化為 題意中表明銀河系中氫原子發(fā)射的譜線波長，可知 解上兩式： 得：【例22-7】一個CO分子，它的兩個原子沿著它們的中心連線相對質心作一維振動。已知鍵合的勁度系數(shù)，C和O的質量分別為，。試計算：（1）相對振動的頻率；（2）相鄰兩個振動能級的間距。【解】（1）設CO分子中C與O原子間距為，系統(tǒng)在振動過程中C、O的坐標分別為和，如圖22-7所示。據(jù)牛頓定律 （1） （2）C和O之間的鍵合作用力 式中為C、O對平衡位置的相對位

11、移。將（1）、（2）式改寫成 （3） （4）（4）式減（3）式改寫成為： 因此，諧振動圓頻率 式中 為C、O兩體系統(tǒng)的約化質量。代入已知數(shù)據(jù)，得到CO分子中兩原子相對振動的頻率。 （2）根據(jù)諧振子的能量公式： 相鄰兩個振動能級的能量 【例22-8】試列出二維無限深方勢阱的薛定諤方程，并解出能級和波函數(shù)。【解】二維無限深勢阱的薛定諤方程為： （1）設波函數(shù)有兩個獨立函數(shù)乘積組成，并將E寫成為，則（1）式可改寫成 （2）（2）式也可寫成：若能使 （3） （4）則可以找到的解，由于波函數(shù)滿足單值條件也就是找到了原方程（1）的解了。由（3）（4）式，仿照一維無限深方勢阱，我們可得： 式中1，2，3 式

12、中1，2，3得：相應還可求得能量： ， ， 22.1 在3K溫度下中子的動能等于，求其德布羅意波長。22.2 一個電子和一個光子均具有的波長，試求它們的動量、能量（包括靜能）和動能。22.3 證明玻爾理論中氫原于中的電子軌道是電子德布羅意波長的整數(shù)倍。22.5 以速度運動的電子射入場強為的勻強電場中加速，為使電子波長，電子在此場中應該飛行多長的距離？22.6 圖中所示為電子波干涉實驗示意圖，S為電子束發(fā)射源，發(fā)射出沿不同方向運動的電子，F(xiàn)為極細的帶強正電的金屬絲，電子被吸引后改變運動方向，下方的電子折向上方，上方的電子折向下方，在前方交叉區(qū)放一電子感光板A，、分別為上、下方電子束的虛電子源，底

13、板A離源S的距離為D，設，電子的動量為p，試求：（1）電子幾率密度最大的位置；（2）相鄰暗條紋的距離（近似計算）。22.7 設電子的位置不確定度為，計算它的動量的不確定度；若電子的能量約為1keV，計算電子能量的不確定度。22.8 氫原子的吸收譜線的譜線寬度為，計算原子處在被激發(fā)態(tài)上的平均壽命。22.9 若紅寶石發(fā)出中心波長的短脈沖信號，時距為，計算該信號的波長寬度。22.10 He-Ne激光器發(fā)出的紅光沿x方向傳播，譜線寬度，計算其波列長度。22.11 設粒子作圓周運動，試證其不確定性關系可以表示為，式中為粒子角動量隊不確定度，為粒子角位置的不確定度。22.13 計算一維無限深勢阱中基態(tài)粒子

14、處在x=0到x=L/3區(qū)間中的幾率。設粒子的勢能分布函數(shù)為： 22.14 在一維勢箱中運動的粒子，它的一個定態(tài)波函數(shù)如圖a所示，對應的總能量為4eV，若它處于另一個波函數(shù)（如圖b所示）的態(tài)上時，它的總能量是多少？粒子的零點能是多少？22.15 一個質子放在一維無限深阱中，阱寬。（1）質子的零點能量有多大？（2）由n=2態(tài)躍遷到n=1態(tài)時，質子放出多大能量的光子？22.16 在一維無限深勢阱中自由運動的粒子的勢能曲線如圖所示。（1）寫出其薛定諤方程；（2）寫出解該方程所應用的邊界條件；（3）畫出對應于量子數(shù)n=1，2，3時的幾率密度曲線。22.17 圖中所示為一有限深勢阱，寬為a，高為U。（1）

15、寫出各區(qū)域的定態(tài)薛定諤方程和邊界條件；（2）比較具有相同寬度的有限深勢阱和無限深勢阱中粒子的最低能量值的大小。22.18 若CO分子中兩原子以頻率作相對振動。（1）計算分子振動的零點能和能級間距；（2）設CO分子處在3000K溫度下，計算處于第一與第二激發(fā)態(tài)上的分子數(shù)之比。22.19 已知氫原子的基態(tài)波函數(shù)為，寫山基態(tài)電子位于半徑為的球內的幾率的積分式。22.20 對應于氫原子中電子軌道運動，試計算n=3時氫原子可能具有的軌道角動量。22.21 氫原子處于的激發(fā)態(tài)時，原子的軌道角動量在空間有哪些可能取向？并計算各種可能取向的角動量與z軸的夾角？ 22.23 在鈉光譜中，主線系的第一條譜線（鈉黃

16、線）是由3p-3s之間的電子躍遷產(chǎn)生的，它由兩條譜線組成，波長分別為和。試用電子自旋來解釋產(chǎn)生雙線的原因。23.l 設晶體常數(shù)為的一維晶體中，電子布洛赫波函數(shù)為 （1）寫出附近的電子波函數(shù)；（2）寫出附近的電子波函數(shù)。23.2 設一維晶體的電子布洛赫波函數(shù)中的k取下列值： ，。（1）若n為偶數(shù)，的空間周期是什么？（2）若n為奇數(shù)，的空間周期又是什么？23.3 已知，的價帶上方禁帶寬度分別等于2.42eV和7.60eV，試確定這些晶體可以吸收的電磁波波長的最大值。23.4 制造半導體元件的純凈鍺所含雜質原子的比例約為，若將鍺的結構當作立方形點陣，晶體常數(shù)為0.5nm。試估算兩相鄰雜質原子間的距離

17、。23.5 n型半導體Si中含有雜質磷P原子。在計算施主能級時，作為初級近似，可看作一個電子圍繞離子實運動，好似一個浸沒在無限大電介質Si中的一個類氫原于。已知Si的相對介電常數(shù)，求此半導體的施主基態(tài)能級。23.6 釩V是一類超導體，天然釩中占99.76，占0.24，它們的同位素質量分別為50.9440u和49.9472u。已知天然釩的轉變溫度為5.300K，試根據(jù)超導體的同位素效應：（M為同位素質量，為轉變溫度，C為常量），計算釩的轉變溫度。 答案22.1 14.622.2 電子：， 光子：，22.5 30.1cm 22.6（1） （2）22.7 ，22.8 0.63s 22.9 22.10

18、 400 km22.12（d） 22.13 0.195 22.14 ，22.15（1） （2）22.18（1） （2）22.19 22.20 0， 22.21 ，23.1（1） （2）23.2（1） （2） 23.3 ，23.4 23.5 23.8 提示：22.1 22.2 電子 可判斷 時，光速 可求 ， 光子 ，22.3 參閱教材P.20922.6 利用代入雙縫干涉條紋公式22.7 將其微分 又 可得：22.8 又 得 因為 又 22.9 同22.8 22.17（1） 邊界條件 （2）有限深勢阱中的零點能小。22.18（1）零點能 能級間距 （2）能量按玻耳茲曼分布 22.23 由于電子自旋與軌道磁矩相互耦合作用，處于、相同狀態(tài)時，由于自旋不同，附加的相互作用能不同，產(chǎn)生能級分裂。鈉黃光是3p3s之間的躍遷，對3p態(tài)，其中能態(tài)比的能態(tài)高，分裂成兩能級3p（1）和3p（2），而3S態(tài)不分裂，這樣就產(chǎn)生了如圖所示的鈉黃光的雙重譜線。23.1（1）23.2（1）由布洛赫波函數(shù)知。因為的空