山西大學(xué)附中高三（9月）第一學(xué)期模塊診斷文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、山西大學(xué)附中20152016學(xué)年第一學(xué)期高三（9月）模塊診斷數(shù)學(xué)（文）試題考查時間：110分鐘 一.選擇題（每小題3分,滿分36分,每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是題目要求的）1.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z a.1 b. c. d. 22.設(shè)集合，集合，則等于（ ）a b c d3.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的的比值（ ） a.1 b.c. d.4.已知，則（ ）a b c d5.已知命題:函數(shù)的最小正周期為；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱.則下列命題是真命題的是（ ）ab c d6.已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于的概率為（

2、）否開始n=1輸入xn= n +1x= 3x +1輸入x輸出x結(jié)束是 a bcd7.若兩個正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d.8.點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則取值范圍是 a . b c d9.一個幾何體的三視圖如上右圖，則其表面積為（ ）a bc d10.已知為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積比值為3，則的值為（ ）a. b. c. 2 d. 3 11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，過的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若，且則該雙曲線的離心率為( )a、b、c、2d、12.已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d.

3、二.填空題（每題4分,滿分16分）13.已知點(diǎn)在曲線上，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.14.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則 .15.把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為 .16.已知拋物線c：y2= 2px (p 0)的焦點(diǎn)為f， 過點(diǎn)f傾斜角為60的直線l與拋物線c在第一、 四象限分別交于a、 b兩點(diǎn)， 則的值等于_.三.解答題（本大題5個小題，共48分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17（本小題滿分8分）設(shè)abc的內(nèi)角a、b、c的對邊長分別為a、b、c，設(shè)s為abc的面積，滿足.（）求b；（）若，設(shè)，求函數(shù)的解析式和最大值.18（

4、本小題滿分10分）心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)， 某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué) （男30女20）， 給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題， 讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表：（單位： 人）（） 能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？（） 經(jīng)過多次測試后， 甲每次解答一道幾何題所用的時間在57分鐘， 乙每次解答一道幾何題所用的時間在68分鐘， 現(xiàn)甲、 乙各解同一道幾何題， 求乙比甲先解答完的概率附表及公式19（本小題滿分10分）19. (本小題滿分10分)如圖， 在直三棱柱中，分別是和的中點(diǎn)， 已知，（）

5、求證： b1d平面aed；（）求三棱錐a-b1de的體積 ； 20（本小題滿分10分）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且直線與軸交于點(diǎn)c.（1）求證：成等比數(shù)列；（2）設(shè),試問是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.21（本小題滿分10分）已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得與同時成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；1.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z a.1 b. c. d. 2【答案】b【解析】試題分析：法一：因?yàn)椋苑ǘ阂驗(yàn)?，所以考點(diǎn)：復(fù)數(shù)模的運(yùn)算.2.設(shè)集合，集合，則等于（ ）a b c d【答案】d【解析】

6、試題分析：由題可知，解得，故集合，解得，故集合，即，因此選d?？键c(diǎn)：集合的交并補(bǔ)運(yùn)算（文科）3.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的的比值（ ） a.1 b.c.d.【答案】d考點(diǎn)：由莖葉圖求中位數(shù)及平均數(shù).（理科）3.甲乙兩人從門課程中各選修兩門，則甲乙所選的課程中至少有門不相同的選法共有（ ）a30種 b36種 c60種 d72種【答案】a【解析】試題分析：由題可知，至少有門不相同的選法包括有一門不相同的課程和兩門都不相同的課程，因此共有種；考點(diǎn)：排列組合4.已知，則（ ）a b c d【答案】d【解析】試題分析：由題可知，于是，根據(jù)，有；考點(diǎn)：三角函

7、數(shù)和差化積誘導(dǎo)公式5.已知命題:函數(shù)的最小正周期為；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱.則下列命題是真命題的是（ ）a b c d【答案】b【解析】試題分析：由題可知，根據(jù)倍角公式可得，周期，因此 的周期為，命題是假命題；函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，而由的圖象向右平移1個單位即可得到的圖象，故關(guān)于對稱，即命題為真命題；因此選b考點(diǎn)：倍角公式函數(shù)的奇偶性與對稱性6.已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于的概率為（ ）否開始n=1輸入xn= n +1x= 3x +1輸入x輸出x結(jié)束是 a bcd【答案】b【解析】試題分析：由題可知，當(dāng)輸入時，進(jìn)過循環(huán)，輸出，當(dāng)輸入時，進(jìn)入循環(huán)，輸出，當(dāng)輸入時，進(jìn)

8、入循環(huán)，輸出，當(dāng)開始輸入大于4的時候，輸出的x均滿足題意，因此輸出的不小于的概率為；考點(diǎn)：程序框圖（文科）7.若兩個正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） a. b. c. d.【答案】b【解析】試題分析：由題可知，即，于是有，故，化簡得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；考點(diǎn)：均值不等式的應(yīng)用（理科）7.已知，則展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）a b c d【答案】c【解析】試題分析：由題可知，于是，即原式變?yōu)椋瑒t項(xiàng)為，因此項(xiàng)的系數(shù)為；考點(diǎn)：定積分運(yùn)算二項(xiàng)式定理8.點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則取值范圍是 a . b c d【答案】a【解析】試題分析：由題意可得：，該不等式組表示的可行域如下圖所示

9、： 所以，表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，所以.考點(diǎn)：線性規(guī)劃的應(yīng)用.9.一個幾何體的三視圖如上右圖，則其表面積為（ ）a bc d【答案】a【解析】試題分析：由三視圖知：該幾何體是一個正方體截去四個三棱錐，如圖所示.所以該幾何體的表面積是，故選a考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，過的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若，且則該雙曲線的離心率為( )a、b、c、2d、【答案】a考點(diǎn)：求雙曲線的離心率.doabce11.已知為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積比值為3，則的值為（ ）a. b. c. 2 d. 3 【答案】a【解析】試題分析：由題可知，建立直角坐

10、標(biāo)系，設(shè)正三角形的邊長為2，則,根據(jù)，于是有，化簡可得，即，由直線方程可得，的面積與的面積比值為3，即的高與的高比值為3，由點(diǎn)到直線的距離公式知，即，解得，即；考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算點(diǎn)到直線的距離公式12.已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c.【解析】考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用.第卷（共90分）二、填空題（每題4分，滿分16分，將答案填在答題紙上）13.已知點(diǎn)在曲線上，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.【答案】.14.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則 .【答案】【解析】試題分析：因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?/p>

11、得：（舍去）或，所以，所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、等差數(shù)列的性質(zhì)；3、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)15.把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則的最小值為 .【答案】【解析】試題分析：，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移（個單位，得到函數(shù)的圖象，所以，即，所以，解得：，因?yàn)?，所以?dāng)時，所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：1、二倍角的正弦公式；2、降冪公式；3、輔助角公式；4、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)16.已知拋物線c：y2= 2px (p 0)的焦點(diǎn)為f， 過點(diǎn)f傾斜角為60的直線l與拋物線c在第一、 四象限分別交于a、 b兩點(diǎn)， 則的值等于_.【答案】3【解析】試題分析：根據(jù)拋物線的性質(zhì)，設(shè)

12、，又，聯(lián)立可解得，可得，則考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)三、解答題 （本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.（本小題滿分12分）設(shè)abc的內(nèi)角a、b、c的對邊長分別為a、b、c，設(shè)s為abc的面積，滿足.（）求b；（）若，設(shè)，求函數(shù)的解析式和最大值.【答案】(i)；（ii）（），【解析】試題分析：（i）先利用三角形的面積公式和余弦定理可得，進(jìn)而可得的值，再利用角的取值范圍即可得得值；（ii）先利用三角形的內(nèi)角和可得角的取值范圍，再利用正弦定理可得和的值，代入，利用輔助角公式可得的解析式，進(jìn)而利用角的取值范圍可得的最大值試題解析：（）由已知及三角形面積公式和余弦定理得

13、2分，又 4分所以 5分（）由（）知，abc的內(nèi)角和，又得6分由正弦定理，知， 7分 8分所以 10分當(dāng)，即時，取得最大值 12分考點(diǎn)：1、余弦定理；2、三角形的面積公式；3、特殊角的三角函數(shù)值；4、正弦定理；5、兩角差的正弦公式；6、輔助角公式；7、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)18.心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)， 某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué) （男30女20）， 給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題， 讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表：（單位： 人）（） 能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？（） 經(jīng)過多次測試

14、后， 甲每次解答一道幾何題所用的時間在57分鐘， 乙每次解答一道幾何題所用的時間在68分鐘， 現(xiàn)甲、 乙各解同一道幾何題， 求乙比甲先解答完的概率（理科做）（） 現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、 乙兩女生被抽到的人數(shù)為x， 求x的分布列及數(shù)學(xué)期望e （x） 附表及公式【答案】（）有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)（）（）的分布列為：1.【解析】試題分析：（）利用表中數(shù)據(jù)計(jì)算得，則根據(jù)統(tǒng)計(jì)有知識知有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)（）這是一個幾何概型問題，設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時間分別為分鐘，則擴(kuò)容畫出基本事件滿足的區(qū)域，設(shè)事件為“乙比甲先做完此

15、道題” 則滿足的區(qū)域?yàn)?由幾何概型 即可求出乙比甲先解答完的概率（）首先由題意可知可能取值為，這是一個超幾何分布，易得的分布列及數(shù)學(xué)期望e （x）試題解析：()由表中數(shù)據(jù)得的觀測值所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān).）()設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時間分別為分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?如圖所示) 設(shè)事件為“乙比甲先做完此道題” 則滿足的區(qū)域?yàn)橛蓭缀胃判?即乙比甲先解答完的概率為.()由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有種；恰有一人被抽到有種；兩人都被抽到有種可能取值為，1的分布列為：.考點(diǎn)：檢驗(yàn)，幾何概型，超幾何分布19.

16、如圖， 在直三棱柱中，分別是和的中點(diǎn)， 已知，（） 求證： b1d平面aed；(文科做)（）求三棱錐a-b1de的體積 ； (理科做)（） 求二面角b1-ae-d的余弦值【答案】（） （） ；（）【解析】試題分析：（） 建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計(jì)算利用直線與平面垂直的判定定理可證（）由（）分別求出平面和平面一個法向量；利用空間兩個向量的夾角公式即可求出二面角的余弦值（）利用等體積法變換頂點(diǎn)可得試題解析：（）依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，? 因?yàn)?，所以，? 又，且，故平面. （）由（）知為平面的一個法向量. 設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋杂?，?/p>

17、，令y=1，得x=2，z=-2.即.， 二面角的余弦值為.（）由，可得，即又，得，由由（）知且為三棱錐的高，故 考點(diǎn)：利用空間向量解決有關(guān)問題，椎體的體積20 (本題滿分10分)已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且直線與軸交于點(diǎn)c.（1）求證：成等比數(shù)列；（2）設(shè),試問是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）略；（2）1.【解析】試題分析：(1)根據(jù)拋物線的定義以及性質(zhì)表示線段的距離，然后利用三角形相似得到進(jìn)而說明成等比數(shù)列；（2）根據(jù)條件,，表示出，計(jì)算的值即可得要求的到結(jié)論.試題解析：（1）證明：設(shè)聯(lián)立，則 設(shè)則-3分解得， 由相似比得，所以成等比數(shù)列.（也可以用弦長公式證明）-6分（2）由,，得，即得：，-9分則-1