函數(shù)的最值經(jīng)典例題

1、函數(shù)的最值根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在已知函數(shù)x2+ax +b沁3廠百是否存在實數(shù)a、b、c,使f(x)同時滿足下列三個條件:(1 )定義域為R的奇函數(shù)；(2)在1, :上是增函數(shù)；(3 )最大值是1 若存在，求出 a、b、c;若不存在，說明理由.分析：本題是解決存在性的問題，首先假設(shè)三個參數(shù) a、b、c存在，然后用三個已給條件逐一確定a、b、c的值.解：f (x)是奇函數(shù)=f (0) = 0=Tog3 b = 0,. b = 1.又 f ( -x)二-f (x)，即 log32x ax 1x -ex 1x2 + ax +1log3TH2 .x 1 - ax2x 1 -exx21 ex z

2、2 八 22 22(x 1) -axx21 ax= (x21)22 2-exa2 二 e2 = a = e 或 a 二-c ,但 a 二 e 時，f (x) = 0 ,不合題意；故 a 二-c .這時X2 cx 1f(x)=lo2在1,7 上是增函數(shù)，且最大值是1 x +cx +1x2 ex +1r設(shè)u(x)=x在1：上是增函數(shù)，且最大值是3u (x)2 2(2x c)(x cx 1) _(2x c)(x -cx 1)(x2 +cx+1)22c(x2 -1)(x2cx 1)22c(x 1)(x-1)(x2 cx 1)2 ，時 x2 -10= u (x)0，故 c 0 ；又當(dāng) X ： -1 時，

3、u (x) 0 ；當(dāng) X (-1,1)時，u(X)： 0 ；故 c 0 ,又當(dāng) x ： -1 時，u(X)0 ,當(dāng) x ( -1,1)時，u(X)： 0 .所以u(x)在(-：，-1)(1：)是增函數(shù)，在(1 , 1)上是減函數(shù).又；x 1 時，x2 -cx 1 ： x2 ex 1,u(x) 1,. x = -1 時 u(x)最大值為 3.1 e 11 -c 1=3, e =1,a = -1 -經(jīng)驗證:a = _1,b=1,c=1時，f(x)符合題設(shè)條件，所以存在滿足條件的 a、b、e,即 a = -1, b = 1, e = 1.說明：此題是綜合性較強的存在性問題，對于拓寬思路，開闊視野很有

4、指導(dǎo)意義.此題若用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無技可施若用求導(dǎo)數(shù)的方法解決就迎刃而解. 因此用導(dǎo)數(shù)法解決有關(guān)單調(diào)性和最值問題是很重要的數(shù)學(xué)方法切不可忘記.供水站建在何處使水管費最少例 有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足 D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站 C建在岸邊何處才能使水管費用最省？分析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件 間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求

5、導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值， 可確定點C的位置.解：解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點xkm，貝UBD =40, AC =50 -x, BC = . BD2 CD2 = x2 402又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有y =3a(50 x) 5a 、x2 402 (0 ： x 50).5axy=-3a + 彳 22 .令 y = 0,解得 x = 30.Px2 +402在(0, 50) 上, y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在x = 30 (km)處取得最小值，此時 AC = 50 - x = 20 (km).供水站建在A、D之間

6、距甲廠20km處，可使水管費用最省.解法二：設(shè) BCD，則 BC =40 cotd(0).sin 日2 AC =50 -40 cotr .設(shè)總的水管費用為f (旳，依題意，有405 3cos 日f (可=3a(50 -40 coL) 5a150a 40asin3令 f （二）=0，得 cos：-.5一3根據(jù)問題的實際意義，當(dāng)c os時，函數(shù)取得最小值，此時54 3sin日=一，二cotT = ，二AC =50 40cot日=20 (km),即供水站建在 A、D之間距甲廠20km處，可5 4使水管費用最省.說明：解決實際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出 問題

7、的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題，選擇合 適的數(shù)學(xué)方法求解對于這類問題，學(xué)生往往忽視了數(shù)學(xué)語言和普通語言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解 決應(yīng)用問題的最大思維障礙.運算不過關(guān)，得不到正確的答案，對數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路， 在此正需要我們依據(jù)問題本身提供的信息，利用所謂的動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的變換途徑和 方法，并從中進(jìn)行一番選擇.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例 求下列函數(shù)的最值:1.f(x) =3x x3,( 3 豈x 乞3);2.兀jif (x) = sin 2x -x,(-亍 _ x _ J ；3.2b2f (x) =

8、 a ,(0 : x : 1,a 0, b 0) x 1 -x分析：函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間a,b 1上函數(shù)的最值時，只需求出函數(shù) f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值，然后與端點處函數(shù)值進(jìn)行比較即可.解：1. f (x)=3-3x2，令 f(x)=0,得 x 二 1 , f (1) =2, f (-1) =2 .又 f(-. 3) =0, f (3) =18. f(X)max =2, f (x)min 一 -18.2. f (x) =2cos2x -1，令 f (x) = 0 ,得 xJT 6，5、ji、- fi=-f16丿26 6丿n兀又f一

9、1 =f-1 = 一2丿2， 2丿2JI f (x)max,f(X)min =兀2令 f (x) =0，即 bX 二a +ba當(dāng)0 : x時，a +b., af (x) ： 0 ,當(dāng)xa +b1 時，f(x) 0 函數(shù)f（x）在點x二處取得極小值，也是最小值為 a +b2 .2.2 2 2/a 、2a bb x -a (1 -x)3. f (x)二x2(1X)2X2(1X)22 2 2 2x -a (1 -x) =0，解得f - (a b)1 即f (x)min 二(a b)2 a b4 函數(shù)定義域為，當(dāng)X，（-1,1）時,f (x)十X1 - x2令 f (X) =0 ,解得 X=- , f

10、 y = 0設(shè) f (x)二 xy 二丄 x、2x -x2 (0 ： x 遼 2).2當(dāng) 0 ：x ： ：2 時,f （x）=扣2x X2 + ：（1_x 12 Ia. 2x xx（3-2x）2.2x - x2令 f （x） =0 ,得又f(2)=0,.函數(shù)f (x)的最大值為8即x y的最大值為3.38解法二：由 x2 _2x，4y2即當(dāng)3、. 3xs，廠丁時，3.3=0得（x1）2 4y2 = 1（x0, y 0）,1設(shè) x 1 = cos ： , y sin ： （0 ：:：二）,21 . 1x ysin 二（1 cos_：J，設(shè) f （： ） sin 二（1 - cos）,2 2則 f （_：i）=丄-sin2 ： 亠（1 cos_：i） cos： 121 2 （2 cos :2+ cos 一 1） = （cos1）fcos】 2丿COS ： = -1 或 cos：=20 ： ： ： . ：f 住