中南大學(xué)線性代數(shù)試卷

1、考試試卷1閉卷考試時(shí)間：100分鐘一、填空題（本題15分，每小題3分）1、設(shè)為四階方陣，其中為的第個(gè)列向量,令，則 。2、設(shè)為三階方陣，為的伴隨矩陣，且，則 。3、設(shè)，且，則 。 4、若階方陣有特征值，則必有特征值 。 5、若二次型經(jīng)正交變換化為，則 。二、選擇題（本題15分，每題3分）1、設(shè)是階方陣，則的必要條件是（ ）。（a）中兩行（列）元素對應(yīng)成比例； （b）中有一行元素全為零； （c）任一行元素為其余行的線性組合； （d）必有一行元素為其余行的線性組合。2、設(shè)是階對稱陣，是階反對稱陣，則下列矩陣中反對稱矩陣是（）（a）； （b）； （c）； （d）。3、設(shè)向量組當(dāng)（ ）時(shí)，向量組線性相

2、關(guān)。（a）5（b）4（c）3（d）24、設(shè)為矩陣，是非齊次線性方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解向量， 為任意常數(shù)，則非齊次線性方程組的通解為（ ）。（a） ； （b） ； （c）； （d）。5、設(shè)方陣是正定矩陣，則必有（ ）。 （a）； （b）； （c）； （d）。三、（本題8分） 計(jì)算行列式 ，其中。四、（本題12分） 設(shè)，且，求矩陣及， 其中為的伴隨矩陣，為單位矩陣。五、（本題14分） 設(shè)向量組不能由向量組線性表示。 （1）求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組； （2）求的值； （3）將向量用線性表示。六、（本題14分） 設(shè)齊次線性方程組（）為，已知齊次線性方程組（）的通解為。（1）求方程組（）的基礎(chǔ)解系；（

3、2）問方程組（）和（）是否有非零公共解？若有，則求出所有非零公共解，若沒有，則說明理由。七、（本題14分） 設(shè)矩陣，（1）已知的一個(gè)特征值為 求； （2）求方陣，使為對角陣。八、（本題8分） 試證明：階矩陣的最大特征值為，其中。參考答案一、填空題（本題15分，每題3分） 1、0； 2、； 3、4； 4、； 5、1。二、選擇題（本題15分，每題3分） 1、d； 2、b； 3、a； 4、c； 5、b.三、（本題8分） 解：從第一行開始，每行乘后逐次往下一行加，再按最后一行展開得：原式=。四、（本題12分）解：由，得：，可逆，故；由于，。五、（本題14分） 解：（1） 令，則線性無關(guān)， 故是向量組的

4、一個(gè)極大無關(guān)組；（2）由于4個(gè)3維向量 線性相關(guān)，若線性無關(guān)，則可由線性表示，與題設(shè)矛盾；于是線性相關(guān)，從而。（3）令，。六、（本題14分）解：（1） ，所以方程組（）的基礎(chǔ)解系為：；（2）設(shè)，即，故上述方程組的解為，于是方程組（）和（）所有非零公共解為：。七、（本題14分）解：（1），將代人上式，得；（2）由（1）得，顯然為實(shí)對稱陣，而令，顯然也是實(shí)對稱陣，是單位陣，由，得的特征值，屬于對應(yīng)的特征向量為，單位化：，屬于對應(yīng)的特征向量為， 單位化：，取，則有。八、（本題8分）證明：由 得的特征值，故的最大特征值是。考試試卷2閉卷考試時(shí)間：100分鐘一、填空題（本題15分，每小題3分）1、若n階

5、行列式零元素的個(gè)數(shù)超過n（n-1）個(gè)，則行列式為 。2、若a為4階矩陣，且=，則= 。3、設(shè)a=，且r（a）=3，則k= 。 4、已知向量,=（1,2,3），=（1，），設(shè)a=，則a= 。 5、設(shè)a為n階方陣，為a的伴隨矩陣，e為n階單位陣，若a有特征值必有特征值 。二、選擇題（本題15分，每題3分）1、設(shè)a，b,c為n階方陣，e為n階單位陣，且abc=e，則下列各式中（ ）不成立。 （a） cab=e (b) (c) bca=e (d)2、設(shè)a,b均為n階非零矩陣，且ab=o，則它們的秩滿足（ ）。 （a）必有一個(gè)等于零 （b）都小于n (c) 一個(gè)小于n，一個(gè)等于n （d）都等于n3、下列

6、命題中正確的是（ ）（a）在線性相關(guān)的向量組中，去掉若干個(gè)向量后所得向量組仍然線性相關(guān)（b）在線性無關(guān)的向量組中，去掉每個(gè)向量的最后若干分量后仍然線性無關(guān)（c）任何n+k個(gè)n維向量（k）必然線性相關(guān)（d）若只有全為零時(shí)，等式才成立，且線性無關(guān)，則線性無關(guān)4、設(shè)，則=（ ）時(shí)，有為的基 （a） （b） （c） （d）5、設(shè)二次型的矩陣為，且此二次型的正慣性指數(shù)為3，則（ ）（a） k8 ( b) k7 (c) k6 (d) k5三、（10分）計(jì)算n階行列式,并求該行列式展開后的正項(xiàng)總數(shù)。四、（10分） 設(shè)=,且，求矩陣，其中的伴隨矩陣，為單位矩陣。五、（本題14分） 設(shè)有向量組 ，(1)求該向量

7、組的秩；(2)求該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余向量分別用求得的最大無關(guān)組線性表出。六、（本題14分） 設(shè)向量，（1）求3階方陣的特征值與特征向量；（2）求一正交矩陣為對角矩陣。七、（本題14分）設(shè)矩陣，（1）問；（2）當(dāng)a是正交矩陣時(shí)，求方程組的解。八、（本題8分） 證明：線性無關(guān)的充要條件是 其中。參考答案一、 填空：（每小題3分，共計(jì)15分）1、0 ； 2、； 3、 -3；4、 ； 5、。二、選擇：（每小題3分，共計(jì)15分）1、d 2、b 3、c 4、d 5、a三、（本題10分）（練習(xí)冊p117）解： ， 設(shè)展開式中正、負(fù)項(xiàng)總數(shù)分別為則，于是正項(xiàng)總數(shù)為。四、（本題10分）解：由，得：,

8、 可逆，故 ； 由于 。五、（本題14分）解：將矩陣化為最簡形階梯形矩陣 ， （1）； （2）為所求的一個(gè)最大線性無關(guān)組，且。六、（本題14分）解： a=，（1） a的特征值為0,0,3； 由ax=0得對應(yīng)的0的特征向量為k,k,l為不全為零的任意常數(shù)，由得對應(yīng)3的特征向量為c，c為任意非零常數(shù)。（2） 將正交化，得，再單位化，得，將單位化得，為所求正交陣。使 七、（本題14分）解：（1）若a是正交矩陣，則a的列向量兩兩正交，故有解得時(shí)a是正交矩陣。 （2） 八、（本題8分） 證：記矩陣 由于，從而得線性無關(guān)?？荚囋嚲?閉卷考試時(shí)間：100分鐘一、填空題（本題15分，每小題3分）1、設(shè)，矩陣，

9、則 。2、設(shè)為階矩陣，如果有階可逆矩陣，使 成立，則稱與相似。3、元非齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件是 。 4、已知二次型，則二次型對應(yīng)的矩陣。 5、設(shè)4階方陣滿足：，(其中是單位矩陣)，則的伴隨矩陣必有一個(gè)特征值為 。二、選擇題（本題15分，每題3分）1、已知4階方陣的伴隨矩陣為，且的行列式，則（ ）。 （a） 81 (b) 27 (c) 12 (d) 9 2、設(shè)、都是階方陣，且與有相同的特征值，并且、都有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則（ ）。 （a） 與相似 (b) (c) ，但 (d) 與不一定相似，但3、設(shè)階方陣為正定矩陣，下面結(jié)論不正確的是（ ）（a）可逆 （b）也是正定矩陣（c）

10、（d）的所有元素全為正4、若階實(shí)方陣，為階單位矩陣，則（ ）。（a） （b） （c） （d）無法比較與的大小5、設(shè)，其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的為（ ）。（a） ( b) (c) (d) 三、（10分）計(jì)算階行列式，的主對角線上的元素都為，其余位置元素都為，且。四、（10分） 設(shè)3階矩陣、滿足關(guān)系：，且，求矩陣。五、（10分） 設(shè)方陣滿足（其中是單位矩陣），求。六、（12分） 已知向量組： ，(1)求向量組的秩；(2)求向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，并把不屬于該最大無關(guān)組的其它向量用該最大無關(guān)組線性表出。七、（14分）設(shè)矩陣與矩陣相似，（1）求；（2）求正交矩陣，使。八、（14分） 設(shè)

11、有線性方程組為（1）證明：若兩兩不等，則此方程組無解；（2）設(shè)，且已知是該方程組的兩個(gè)解，其中，寫出此方程組的通解。參考答案二、 填空：（每小題3分，共計(jì)15分）1、； 2、； 3、；4、 ； 5、。二、選擇：（每小題3分，共計(jì)15分）1、b 2、a 3、d 4、c 5、c三、（本題10分）（見教材p44習(xí)題第5題）解：后面列都加到第1列，得四、（本題10分）解：。五、（本題10分）(見練習(xí)冊p118第五大題第1小題和典型題解p173例7)解： ，或。六、（本題12分）(見教材p89習(xí)題3第2題，或典型題解p178例6)解：將矩陣化為最簡形階梯形矩陣 ， （1）； （2）為所求的一個(gè)最大線性無關(guān)組，且，。七、（本題14分）(見典型題解p190例14)八、（本題14分）(見