熟練掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算教學(xué)課件

1、ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下累次積分計(jì)算DdyxfV),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd badcbadcDdydxyxfdxdyyxfdxdyyxfdcbaDyxf),(),(),(,),(上連續(xù)，則在若即：矩形區(qū)域上的二重積分可以化為任何一種次序的累次積分即：矩形區(qū)域上的二重積分可以化為任何一種次序的累次積分此時(shí)，選擇哪種次序就看此時(shí)，選擇哪種次序就看被積函數(shù)被積函數(shù)（積分要簡單）（積分要簡單）一一.矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算dcbadcb

2、adxyxfdydyyxfdx),(),( 1 , 0 1 , 0,1DdxdyxyxD其中求dxdyxyxD1dyxyxdx10101)1 (111010 xydxydx10)1ln(dxx10)1ln()1 (xx10dx. 12ln2解解:先對先對y積分積分,后對后對x積分積分先對先對x積分積分,后對后對y積分積分dxdyxyxD110101dxxyxdydxxydyy)111 (11010dyyyy)1ln(11110=?例例1.上連續(xù)，在若,)()(),(dcbaDyxyxfDdxdyyx)()(則特殊的特殊的,.)()(dcbadyydxx例例2.計(jì)算二重積分.10 10,，其中D

3、dxdyeDyx解解:dyedxedxdyeyxDyx1010.) 1(2 e二二、一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算且在D上連續(xù)時(shí), 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則當(dāng)被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yx

4、f均非負(fù)均非負(fù)DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號變號時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計(jì)算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd1D2D3D321DDDD則 X-型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)直線與區(qū)域邊界相

5、交不多于兩個(gè)交點(diǎn). Y-型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).3D2D1D.321DDDD(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域 , (如右圖)在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下,將二重積分化為累次積分計(jì)算的步驟將二重積分化為累次積分計(jì)算的步驟: (1)先畫出區(qū)域先畫出區(qū)域D的圖形；的圖形； (2)根據(jù)圖形特點(diǎn)確定積分順序根據(jù)圖形特點(diǎn)確定積分順序,是先對是先對x積分積分還是先對還是先對y積分積分; (3)確定區(qū)域確定區(qū)域D的坐標(biāo)應(yīng)滿足的不等式的坐標(biāo)應(yīng)滿足的不等式,從而確從而確定積分的上定

6、積分的上、下限下限,化二重積分為累次積分化二重積分為累次積分.注意注意:(1)最后的積分限一定是常數(shù)；最后的積分限一定是常數(shù)； (2)先對什么變量積分，積分限一定是另一個(gè)變量先對什么變量積分，積分限一定是另一個(gè)變量的函數(shù)的函數(shù)(或常數(shù)或常數(shù))。xy211xy o221d y例例3. 計(jì)算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2

7、xy21 y.1, 2所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域及及雙雙曲曲線線 xyxyx是由直線其中計(jì)算DdyxD,22解解xxo12xy 2 x1 xyDy積分后對積分先對xy,) 1 ( xyxDx121: xxDdyyxdxdyx1222122 49)(213 dxxx例4.積分后對積分先對yx,)2(2 x1D2D221yy1xy 1 xyxoy2須分段表達(dá)！的左邊界注意：)(1yxD即即21DDD 21121:1xyyD 221:2xyyD Ddyx 22dyyydyyy)31138()131138(21251212 212221212122yydxyxdydxyxdy49 比較可見比較可見,此題

8、選此題選擇先對擇先對y積分較簡積分較簡便便.xoyxy 2 x1 xy22 yD*D64272dxyxdyyy12221?:*22 Ddyx 問問例例5. 計(jì)算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 對稱軸垂直求由兩個(gè)半徑相等且其.V的體積相交的圓柱面所圍立體解解的的方方程程為為設(shè)設(shè)兩兩圓圓柱柱面面222222azxayx oxyz22xa

9、z 2210:xayaxoD例6.于于是是得得到到 122188DdxaVV 2202208xaadyxadx3022316)(8adxxaa 例例7. 計(jì)算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, dyey2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例

10、例8.例例9. 計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224說明說明: 有些累次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.例例10. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xx

11、yD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy步驟步驟：(1)先根據(jù)已知累次積分寫出積分區(qū)域并作圖；先根據(jù)已知累次積分寫出積分區(qū)域并作圖； (2)根據(jù)積分區(qū)域及圖寫出邊界曲線的方程；根據(jù)積分區(qū)域及圖寫出邊界曲線的方程； (3)根據(jù)邊界曲線的方程寫出另一積分次序。根據(jù)邊界曲線的方程寫出另一積分次序。改變累次積分的次序改變累次積分的次序xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例11.xy 222xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例12.ax

12、y2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例13.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例14. dyey2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyye

13、y ).21(61e 例15.解解 dxexy不能用初等函數(shù)表示不能用初等函數(shù)表示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例16.二二.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下 二重積分化為累二重積分化為累次積分的方法次積分的方法 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21yxxyxdycyxD則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1x

14、yy )(2xyy xybaD計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應(yīng)用換元公式設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題思考題 1)(xdyyf不不能能直直接接積積出出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf思考題

15、解答思考題解答故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂 點(diǎn)分別為點(diǎn)分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區(qū)域的三角形閉區(qū)域 . . 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域, ,化為先對

16、化為先對y后對后對x的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _. _. 5 5、將二次積分、將二次積分 22221),(xxxdyyxfdx改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._. 6 6、將二次積分、將二次積分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._. 7 7、將二次積分、將二次積分 2ln

17、1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改換積分次序改換積分次序, , 應(yīng)為應(yīng)為_._.二二、畫畫出出積積分分區(qū)區(qū)域域, ,并并計(jì)計(jì)算算下下列列二二重重積積分分: : 1 1、 Dyxde , ,其其中中D是是由由1 yx所所確確定定的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 2 2、 Ddxyx )(22其其中中D是是由由直直線線 xyxyy2, 2 及及所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其其中中D: : 20 , 11 yx. .三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線由直線, 2 yxxy 和和x軸所圍成軸所圍成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求該求該薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz ,