11探索勾股定理（二） (2)

1、教學(xué)時(shí)間第二課時(shí)課 題1.1.2 探索勾股定理(二)教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法.2.運(yùn)用勾股解決一些實(shí)際問題.(二)能力訓(xùn)練要求1.學(xué)會用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力.2.在拼圖過程中，鼓勵學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識.(三)情感與價(jià)值觀要求利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻(xiàn).借助對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育.并在拼圖的過程中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點(diǎn)勾股定理的證明及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)勾股定理的證明.教學(xué)方法教師引導(dǎo)和學(xué)生自主探索相結(jié)合的方法.在用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的過

2、程中.教師要引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)想，將形的問題與數(shù)的問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生自主探索，大膽地聯(lián)系前面知識，推導(dǎo)出勾股定理，并自己嘗試用勾股定理解決實(shí)際問題.教具準(zhǔn)備1.每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一張硬紙板；2.投影片三張：第一張：問題串(記作1.1.2 A)；第二張：議一議(記作1.1.2 B)；第三張：例題(記作1.1.2 C).教學(xué)過程.創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課師我們曾學(xué)習(xí)過整式的運(yùn)算，其中平方差公式(a+b)(ab)=a2b2；完全平方公式(ab)2=a22ab+b2是非常重要的內(nèi)容.誰還能記得當(dāng)時(shí)這兩個(gè)公式是如何推出的？生利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則從公式的左邊就可以推出右邊.例如(a+b)(ab)=a2ab+a

3、bb2=a2b2，所以平方差公式是成立的.生還可以用拼圖的方法來推出.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2.我們可以用一個(gè)邊長為a的正方形，一個(gè)邊長為b的正方形，兩個(gè)長和寬分別為a和b的長方形可拼成如下圖所示的邊長為(a+b)的正方形，那么這個(gè)大的正方形的面積可以表示為(a+b)2；又可以表示為a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2.師由此我們可以看出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)中的結(jié)論非常直觀.上一節(jié)課我們已經(jīng)通過數(shù)格子通過一些特例大膽地猜想出了勾股定理.同時(shí)又利用一些特例驗(yàn)證了勾股定理，但我們注意到我們不可能拿所有的直角三角形一一驗(yàn)證，靠一些特例歸納、猜想出來的結(jié)論不一定正確.

4、因此我們需要用另一種方法說明直角三角形三邊的關(guān)系.講授新課1.拼一拼出示投影片(1.2.2 A) (1)在一張硬紙板上畫4個(gè)如右圖所示全等的直角三角形.并把它們剪下來.(2)用這4個(gè)直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個(gè)含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用它說明勾股定理嗎？(對于上面2個(gè)問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，將形與數(shù)的問題聯(lián)系起來.鼓勵學(xué)生大膽的拼擺，只要符合要求，教師都應(yīng)予以鼓勵，然后在小組內(nèi)交流，同時(shí)提示學(xué)生根據(jù)自己拼出的圖形，聯(lián)系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼圖推證方法說明勾股定理).生我拼出了如下圖所示的圖形，中間是一個(gè)邊長為c的正方形.觀察圖形我們不難發(fā)現(xiàn)，大的正方形

5、的邊長是(a+b).要利用這個(gè)圖說明勾股定理，我們只要用兩種方法表示這個(gè)大正方形的面積即可.大正方形面積可以表示為：(a+b)2，又可以表示為：ab4+(ba).對比這兩種表示方法，可得出c2=ab4+(ba).化簡、整理得c2=a2+b2.因此我們得到了勾股定理.生我拼出了和這個(gè)同學(xué)不一樣的圖，如下圖所示，大正方形的邊長是c，小正方形的邊長為ba，利用這個(gè)圖形也可以說明勾股定理.因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e也有兩種表示方法，既可以表示為c2，又可以表示為ab4+(ba)2.對比兩種表示方法可得c2=ab4+(ba)2.化簡得c2=a2+b2.同樣得到了勾股定理.師真棒！同學(xué)們用拼圖的方法，大膽地驗(yàn)證了

6、勾股定理.利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn).在后面的課題學(xué)習(xí)中，我們還要繼續(xù)研究它.在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的了.有人做過統(tǒng)計(jì)，說有五百余種.1940年，國外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書.其實(shí)，勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是幽默地想讓人注意，勾股定理的證明簡直到了每天一種的地步.生老師，我在查資料時(shí)，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國的一個(gè)總統(tǒng)有關(guān)系，是這樣嗎？師是的.1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他提出的一個(gè)勾股定理的證明.據(jù)他說，這是一種思想體操，并

7、且還調(diào)皮地聲稱，他的這個(gè)證明是得到兩黨議員“一致贊同的”.由于1881年加菲爾德當(dāng)上了美國第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個(gè)證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話.生能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎？師可以.如下圖所示.這就是這位總統(tǒng)用兩個(gè)全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個(gè)同學(xué)用全等的四個(gè)直角三角形拼出來的圖形對比一下，有聯(lián)系.生總統(tǒng)拼出的圖形恰好是第一個(gè)同學(xué)拼出的大正方形的一半.師同學(xué)們不妨自己從上圖中推導(dǎo)出勾股定理.生上面的圖形整體上拼成一個(gè)直角梯形.所以它的面積有兩種表示方法.既可以表示為(a+b)(a+b)，又可以表示為ab2+c2.對比兩種表示方法可得 (a+b)(a+b)= ab2+

8、c2.化簡，可得a2+b2=c2.師很好.同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法.2.議一議師前面我們討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系.那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？出示投影片(1.1.2 B )觀察上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個(gè)三角形的三邊關(guān)系是否滿足a2+b2=c2.師上圖中的ABC和ABC是什么三角形？生ABC，ABC在小方格紙上，不難看出ABC中，BCA90； ABC中，ABC，BCA，BAC都是銳角，所以ABC是鈍角三角形，ABC是銳角三角形.師ABC的三邊上“長”出三個(gè)正方形.誰來幫我數(shù)一下每個(gè)正方形含有幾個(gè)小格子.生以b為邊長的正方形

9、含有9個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積b2=9個(gè)單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積a2=8個(gè)單位面積；以c為邊長的正方形中含有29個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積c2=29個(gè)單位面積.a2+b2=9+7=16個(gè)單位面積，c2=29個(gè)單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a2+b2c2.師銳角三角形ABC中，如何呢？生以a為邊長的正方形含5個(gè)小格子，所以a2=5個(gè)單位面積；以b為邊長的正方形含有8個(gè)小格子，所以b2=8個(gè)單位面積；以c為邊長的正方形含9個(gè)小格子，所以c2=9個(gè)單位面積.由此我們可以算出a2+b2=5+8=13個(gè)單位面積.在銳角三角形ABC中，a2+b2c2

10、.師通過對上面兩個(gè)圖形的討論可進(jìn)一步認(rèn)識到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2+b2=c2(其中a、b是直角邊，c為斜邊)這樣的關(guān)系.生老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形ABC中，雖然a2+b2c2，但它們之間也有一種關(guān)系a2+b2c2；在銳角三角形ABC中，a2+b2c2.它們恒成立嗎？師這位同學(xué)很善于思考，的確如此.同學(xué)們課后不妨驗(yàn)證一下，你一定會收獲不小.3.例題講解出示投影片(1.1.2 C)例1飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？例2如下圖所示，某人在B處通過平面鏡看見在B正上方5米處的

11、A物體，已知物體A到平面鏡的距離為6米，問B點(diǎn)到物體A的像A的距離是多少？例3在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來；水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？師生共析例1分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢?，C、B點(diǎn)是兩個(gè)時(shí)刻飛機(jī)的位置，C是直角，可以用勾股定理來解決這個(gè)問題.解：根據(jù)題意，得RtABC中，C=90，AB=5000米，AC=4800米.由勾股定理，得AB2=AC2+BC2.即50002=BC2+48002，所以BC=1400米.飛機(jī)飛行1400米用了10秒，那么它1小時(shí)飛行的距離為1400660=504

12、000米=504千米，即飛機(jī)飛行的速度為504千米/時(shí).評注：這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，經(jīng)過分析，問題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形第三邊的問題，這雖是一個(gè)一元二次方程的問題，學(xué)生可嘗試用學(xué)過的知識來解決.同時(shí)注意，在此題中小孩是靜止不動的.例2分析：此題要用到勾股定理，軸對稱及物理上的光的反射知識.解：如例2圖，由題意知ABA是直角三角形，由軸對稱及平面鏡成像可知：AA=26=12米，AB=5米；在RtAAB中，AB2=AA2+AB2=122+52=169=132米所以AB=13米，即B點(diǎn)到物體A的像A的距離為13米.評注：本題是以光的反射為背景，涉及到勾股定理、軸對稱等知識.由此可見，數(shù)學(xué)是物理的

13、基礎(chǔ).例3分析：在此問題中，要注意水草的長度與水深的關(guān)系，還要注意水草站立時(shí)和吹到一邊，它的長度是不變的.解：根據(jù)題意，得到下圖，其中D是無風(fēng)時(shí)水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BCAD.所以在RtACB中，AB2=AC2+BC2，即(AC+3)2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5.所以這里的水深為4.5分米.評注：在幾何計(jì)算題中，方程的思想十分重要.課時(shí)小結(jié)這節(jié)課，我們用拼圖的方法驗(yàn)證了勾股定理，并運(yùn)用勾股定理解決了生活中的實(shí)際問題.課后作業(yè)1.課本P11，習(xí)題1.2.2.收集關(guān)于勾股定理的證明方法.活動與探究如右圖，木長二丈，它的一周是3尺，生長在木下的葛藤纏木七周，上端恰好與木齊，問葛藤長多少？過程：從表面上看，這道題與勾股定理無關(guān)系.但是如果你用一張直角三角形的紙片約一支圓柱形鉛筆上纏繞，就會發(fā)現(xiàn)；這里的葛藤之長相當(dāng)于