數(shù)列求和種方法方法全例子多

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應的練習）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內容，又是學習高等數(shù)學的基礎.在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定 的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學和數(shù)學競賽試題來談談數(shù)列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求

2、和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Sn n（aan） na! n（n2 22、等比數(shù)列求和公式：Snna1a1(1 qn)1 qn13、Snkn(n1)k 12n.3r1 “25、Snkn(n1)k 12h1,23例1已知log3X求X XXlog23(q 1)n214、Snkn(n 1)(2 n 1)k 16n X的前n項和.代（q i）解：由log3 x1log 2 3log 3 xlog 32由等比數(shù)列求和公式得SnX X2 X3（利用常用公式）例 2設 Sn= 1+2+3+ +n, n N*,求 f(n)解：由等差數(shù)列求和公式得SnSnf(n

3、) (n 32)Sn 1164n 34 -nx(1 xn)=1 xSn1 1(1 -)20 = 1 -丄1 2n1 -2(n 32)Sn 11n(n 1),2-2-34n 641 8 2 (n ).n50的最大值.Sn150當.n 8，即 n= 8 時，f (n)maxV81501-(n 1)( n 2)2（利用常用公式）題 2 .若 12+2 2+ +(n-1)2= an3+bn2+cn，貝V a=,b =,c=二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列設xSn1x3x25x37x4(2n1

4、)xn 一得(1x)Sn12x 2x22x32x42xn 1(2n1)xn解：由題可知，(2n 1)xn1的通項是等差數(shù)列2n 1的通項與等比數(shù)列 xn 1an bn的前 n的通項之積(設制錯位)(錯位相減)例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1 再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1 X)Snn 11 2xS-(2n1)xnSn(2n 1)xn 1(2n1)xn (1 x)(1 x)22 46例4求數(shù)列一，-2 2算前n項的和.解:由題可知,設Sn2Sn2 1 23 12 n歹的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列4224一得（11）Sn2_6_236尹22練習題1 已知答案

5、:Sn2n孑2n盯2 2 2T2 T3 T42 2 2 n 22* 12 2nnn 12 2f 的通項之積，求數(shù)列 an的前（設制錯位）（錯位相減）n項和Sn.答案：，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n 個 （a1an).0 1 2 例 5 求證： Cn0 3Cn1 5Cn2(2n 1)Cnn(n 1)2n證明： 設 Sn Cn0 3C1n5Cn2(2n1)Cnn三、反序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前 n 項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序）把式右邊倒轉過來得Sn(2n1)Cnn (2n1)Cnn 13Cn1 Cn0反序）又由Cm nCnn m 可得Sn(2n1)Cn0 (2

6、n1)Cn1n 1 n3CnCn.n 1 n nCnCn ) 2(n 1) 2反序相加）01+得 2Sn (2n 2)(Cn0 C1nSn(n1)2 2sin 2 88sin 289 的值2 2 2例 6求 sin 1 sin 2 sin 3解：設 S sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 89 .將式右邊反序得2S sin 2 89sin 2 8822sin23sin22sin 2 1.（反序）sin 1 .又因為 sinxcos(90x),sin22x cos x 1+得（反序相加）2S (sin 2 12 cos 1 )(sin 2 22cos 2 )(sin

7、 2 892cos 89 )=89S= 44.5題 1 已知函數(shù)的值.=右邊（2）求解：（ 1 ）先利用指數(shù)的相關性質對函數(shù)化簡，后證明左邊（ 2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結論可知，兩式相加得：所以練習、求值:四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可14, 2a(Aag1例7求數(shù)列的前n項和：11,a1 解：設 Sn (11)(4)a將其每一項拆開再重新組合得1Sn (1a當a= 1時,Sn7,7)當a 1時,1F)(1a(3n1)n 211L (3n 1)n1丄 a例8求數(shù)列n(n+1)

8、(2n+1)的前n項和.解：設 akk(k 1)(2k 1)2k33k2(丄n 1 a(3n1)n3n 2)3n 2)(分組)(分組求和)(3n 1)n2nSn k(k 1)(2kk 11)n(2 k313k2k)將其每一項拆開再重新組合得nn32Sn= 2k33 k2k 1k 1(分組)=2(1323n3) 3(1222n2) (1 2n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 22n(n 1) (n 2)2五、裂項法求和（分組求和）這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目

9、的.通項分解（裂項）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n )2(2n 1)(2 n1)1 1(2n2n 1)(5)an1n(n 1)(n2)2 n(n 1)(n1)(n 2)ann 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n1)12n1n 2n 1，則 Sn1(n 1)2n n1(n 1)2n(7)(8)an(An B)(A n C)C B( AnAnan例9求數(shù)列12 .2.3的前n項和.解：設an（裂項）則Sn（裂項求和）=C-2-1)(3例10在數(shù)列an中,an，又b-，求數(shù)列b

10、 n的前n項的和.a n a n 1解:an 6 n n2 - 數(shù)列b n的前1)1Sn8(12_1n2-n項和(23)8nn 1(14)4(丄n七（裂項）（裂項求和）111cos0 C0S1cos1 cos2cos 88cos 89111cos0 cos1cos1 cos2cos88cos 89si n1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos 88cos 891(tan 1tan 0 ) (tan 2tan1 )(tan 3=8(1n例11求證:解：設S Stan 2 ) tan 89sin1)cos1sin21（裂項）（裂項求和

11、）tan 88 1 (tan 89sin 1tan 0 )=sin 1cot1 =哼sin 1原等式成立練習題1.答案：練習題2。答案:六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值.解：設 Sn= cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179cosn cos(180 n )找特殊性質項）二 Sn=(cosi + cos179 + ( cos89 + cos91

12、=0) + ( cos2 + cos1 78) + ( cos3 ) + cos90+ cos177） + （合并求和）例 13數(shù)列an: ai1,a23,a32,an 2an 1an ，求 S2002.解：設 S2002= aia2a3a2002由 a11, a23,a32, an 2 anan可得a6k 1a6k2 a6k 3a6k 4 a6k 5a6k 60找特殊性質項）S2002= a1a2a3a2002合并求和）= (a1a2a3a6) (a7a8 a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6 )= a1999a2000a2001a2002= a6k 1a6k 2a6ka6k 4=5例

13、 14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，a5a69,求 log 3ailog3 a2log 3 a10 的值 .解：設 Snlog 3 a1 log 3 a2log 3 a10由等比數(shù)列的性質 m n p qamanapaq找特殊性質項）和對數(shù)的運算性質loga Mlogaloga M NSn(log 3 a1log 3 a10 ) (log 3 a2log3 a9)(log 3 a5 log3 a6)合并求和）= (log 3 a1a10 ) (log 3 a2 a9 )(log 3 a5a6)= log 3 9log39log3 9練習、求和：練 習 題 1 設答案： 2 .練習題 2 .若

14、Sn = 1-2+3-4+(-1)n-1 n，則 S17+S33 + S 50 等于 ()A.1 B.-1 C.0 D .2答案：解：對前 n 項和要分奇偶分別解決， 即： Sn=A練習 題 3100 2-99 2+98 2-97 2+ +2 2-1 2的值是A .5000 B.5050 C.10100 D.20200解：并項求和，每兩項合并，原式 =(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結構及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來 求數(shù)列的前 n 項和，是一個重要的方法 .15求 1 11111111

15、1之和.n個1解：由于11111-9999l(10kk個 19k個 19二 1 11111111 1n個11 11 213=-(1091)-(10 1)99(10 1)=1(10110210310n)丄(1991)（找通項及特征）!(10n 1)（分組求和）91 11)n個11 10(10n 1)910 1=丄(10n1 10819n)例16已知數(shù)列an: an(n(n 1)(anan 1）的值.解：(n 1)(anan 1 )8(n1)( n 1)(n3)(n 2)( n 4)（找通項及特征）(n 2)(n4)(n（設制分組）(n8(n4）（裂項）(n 1)(an an 1)1(七）（分組、裂項求和）4(1133提高練習：1.已知數(shù)列設數(shù)列anbn中，Sn是其前n項和,an 12an( n 1,2,并且）,Sn 1求