量子力學(xué)作業(yè)答案

1、量子力學(xué)量子力學(xué)3/lesson/QuantumMechanics3/lesson/QuantumMechanics習(xí)題習(xí)題1.1.緒論緒論(1/3)(1/3) ( (常量常量) )并近似計(jì)算并近似計(jì)算 的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。n1.1 1.1 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值對(duì)由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)應(yīng)的波長(zhǎng) 與溫度與溫度 成反比，即成反比，即n證明：證明：(1)(1)求能量密度求能量密度(2)(2)求極值求極值1.1.緒論緒論(2/3)(

2、2/3)n1.2 1.2 在在 0 0 K 附近，鈉的價(jià)電子能量約為附近，鈉的價(jià)電子能量約為 3 3 電子伏，求其德布電子伏，求其德布羅意波長(zhǎng)。羅意波長(zhǎng)。n解：解：設(shè)自由設(shè)自由電電子的動(dòng)能為子的動(dòng)能為 E，速度遠(yuǎn)小于光速，則，速度遠(yuǎn)小于光速，則 。根據(jù)。根據(jù)德布羅意波長(zhǎng)的定義，有德布羅意波長(zhǎng)的定義，有1.1.緒論緒論(3/3)(3/3)n1.3 1.3 氦原子的動(dòng)能是氦原子的動(dòng)能是 E = = 3 3kT/2 /2 ( ( k 為玻耳茲曼常數(shù)為玻耳茲曼常數(shù)) )，求，求 T=1 =1 K 時(shí)，氦原子的德布羅意波長(zhǎng)。時(shí)，氦原子的德布羅意波長(zhǎng)。n解：解：設(shè)動(dòng)能為設(shè)動(dòng)能為 E 的氦原子的速度遠(yuǎn)小于光

3、速，則的氦原子的速度遠(yuǎn)小于光速，則 。根據(jù)。根據(jù)德布羅意波長(zhǎng)的定義，有德布羅意波長(zhǎng)的定義，有2.2.波函數(shù)和薛定諤方程波函數(shù)和薛定諤方程(1/4)(1/4)n2.1 2.1 證明在定態(tài)中，概率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)證明在定態(tài)中，概率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)n證明：證明：(1)(1)定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù)(2)(2)概率流密度概率流密度概率流密度是坐標(biāo)的函數(shù)，不顯含時(shí)間，因此與時(shí)間無(wú)關(guān)概率流密度是坐標(biāo)的函數(shù)，不顯含時(shí)間，因此與時(shí)間無(wú)關(guān)2.2.波函數(shù)和薛定諤方程波函數(shù)和薛定諤方程(2/4)(2/4)n2.2 2.2 由下列兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算概率流密度：由下列兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算概率流密度：從所得結(jié)果說(shuō)明從所得結(jié)果說(shuō)明

4、表示向外傳播的球面波，表示向外傳播的球面波， 表示向內(nèi)表示向內(nèi)( (即向原點(diǎn)即向原點(diǎn)) )傳播的球面波傳播的球面波n解：解： (1)(1)用到的公式用到的公式(2)(2)由由 , , 計(jì)算概率流密度計(jì)算概率流密度分析分析n 與與 同向：概率向外流動(dòng)。同向：概率向外流動(dòng)。 與與 反向：概率流向原點(diǎn)反向：概率流向原點(diǎn)n-, , 的大小與的大小與 有關(guān)，與方位角無(wú)關(guān)：在有關(guān)，與方位角無(wú)關(guān)：在相同徑向坐相同徑向坐標(biāo)標(biāo) 的曲面的曲面( (即球面即球面) )上，概率流密度相等上，概率流密度相等： 是向外傳播的球面波，是向外傳播的球面波， 是向原點(diǎn)傳播的球面波是向原點(diǎn)傳播的球面波2.2.波函數(shù)和薛定諤方程波

5、函數(shù)和薛定諤方程(3/4)(3/4)n2.3 2.3 一個(gè)粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)一個(gè)粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子能級(jí)和對(duì)應(yīng)的動(dòng)，求粒子能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)波函數(shù)n解：解：(1)(1)定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程(2)(2)解方程解方程n歸一化歸一化 n能級(jí)能級(jí) 2.2.波函數(shù)和薛定諤方程波函數(shù)和薛定諤方程(3/4)(3/4)(3)(3)分析分析n 波函數(shù)和概率密度波函數(shù)和概率密度：節(jié)點(diǎn)數(shù)：節(jié)點(diǎn)數(shù) = = n - - 1 1n 能級(jí)能級(jí) 2.2.波函數(shù)和薛定諤方程波函數(shù)和薛定諤方程(4/4)(4/4)n證明：證明：(1) (2.6.-14)(1) (2.6.-14)式的波函數(shù)式的波函數(shù)(2)(2)歸一

6、化歸一化分析：歸一化常數(shù)與勢(shì)阱寬度分析：歸一化常數(shù)與勢(shì)阱寬度 a 的平方根成反比，也就是概的平方根成反比，也就是概率幅與率幅與 a 成反比。成反比。a 與粒子坐標(biāo)的測(cè)量有關(guān)，與粒子坐標(biāo)的測(cè)量有關(guān)，1/ 1/a 與動(dòng)量的與動(dòng)量的測(cè)量有關(guān)；越小，表示坐標(biāo)越容易測(cè)量，但動(dòng)量越難測(cè)量測(cè)量有關(guān)；越小，表示坐標(biāo)越容易測(cè)量，但動(dòng)量越難測(cè)量n2.4 2.4 證明證明(2.6.-14)(2.6.-14)式中的歸一化常數(shù)是式中的歸一化常數(shù)是3.3.量子力學(xué)中的力學(xué)量量子力學(xué)中的力學(xué)量(1/6)(1/6)n3.1 3.1 一維諧振子處在基態(tài)一維諧振子處在基態(tài) ，求，求(1) (1) 勢(shì)能的期望值勢(shì)能的期望值(2)

7、(2) 動(dòng)能的期望值動(dòng)能的期望值(3) (3) 動(dòng)量的概率分布函數(shù)動(dòng)量的概率分布函數(shù)n解：解： (1) (1) 勢(shì)能的期望值勢(shì)能的期望值(2) (2) 動(dòng)能的期望值動(dòng)能的期望值(3) (3) 按動(dòng)量的本征函數(shù)展開(kāi)一維諧振子的基態(tài)按動(dòng)量的本征函數(shù)展開(kāi)一維諧振子的基態(tài)分析：分析： 基態(tài)的動(dòng)能與勢(shì)能相等，各占總能量的一半；基態(tài)的動(dòng)能與勢(shì)能相等，各占總能量的一半；動(dòng)量越大，其概率分布越小，在零附近的概率最大動(dòng)量越大，其概率分布越小，在零附近的概率最大3.3.量子力學(xué)中的力學(xué)量量子力學(xué)中的力學(xué)量(2/6)(2/6)(4) (4) 動(dòng)能的期望值動(dòng)能的期望值(5) (5) 動(dòng)量的概率分布函數(shù)動(dòng)量的概率分布函

8、數(shù)(3) (3) 最可幾的半徑最可幾的半徑(1) (1) 的期望值的期望值n3.2 3.2 氫原子處在基態(tài)氫原子處在基態(tài) ，求，求(2) (2) 勢(shì)能勢(shì)能 的期望值的期望值n解：解： (0) (0) 波函數(shù)正交歸一化波函數(shù)正交歸一化，令，令(1) (1) r 的期望值的期望值(2) (2) 勢(shì)能勢(shì)能 的期望值的期望值3.3.量子力學(xué)中的力學(xué)量量子力學(xué)中的力學(xué)量(3/6)(3/6)(3) (3) 最可幾的半徑最可幾的半徑(4) (4) 動(dòng)能的期望值動(dòng)能的期望值(5) (5) 動(dòng)量的概率分布函數(shù)動(dòng)量的概率分布函數(shù)分析：分析： 最可幾的半徑最可幾的半徑對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)勢(shì)能的期望值勢(shì)能的期望值基態(tài)能級(jí)基態(tài)能級(jí)

9、 = = 動(dòng)能的期望值動(dòng)能的期望值 + + 勢(shì)能期望值勢(shì)能期望值最可幾的半徑最可幾的半徑不等于不等于半徑的期望值半徑的期望值最可幾的動(dòng)量最可幾的動(dòng)量不對(duì)應(yīng)不對(duì)應(yīng)動(dòng)能的期望值動(dòng)能的期望值3.3.量子力學(xué)中的力學(xué)量量子力學(xué)中的力學(xué)量(4/6)(4/6)n3.6 3.6 設(shè)設(shè) 時(shí)，粒子的狀態(tài)為時(shí)，粒子的狀態(tài)為求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能n解：解： (1) (1) 確定未知常數(shù)確定未知常數(shù) A(2) (2) 平均動(dòng)量平均動(dòng)量(3) (3) 平均動(dòng)能平均動(dòng)能分析：分析： 由由箱歸一化箱歸一化得到未知常數(shù)，然后具體分析中令得到未知常數(shù)，然后具體分析中令箱長(zhǎng)箱長(zhǎng)趨于無(wú)限大趨于

10、無(wú)限大 ；對(duì)稱(chēng)一維波函數(shù)的平均動(dòng)量；對(duì)稱(chēng)一維波函數(shù)的平均動(dòng)量為零為零，平，平均動(dòng)能均動(dòng)能不為零不為零3.3.量子力學(xué)中的力學(xué)量量子力學(xué)中的力學(xué)量(5/6)(5/6)n3.6 3.6 的另一解法，利用的另一解法，利用n解：解： (1) (1) 求求 y y( (x) ) 的復(fù)數(shù)形式的復(fù)數(shù)形式(2) (2) 求求(3) (3) 求求(4) (4) 求求3.3.量子力學(xué)中的力學(xué)量量子力學(xué)中的力學(xué)量(6/6)(6/6)n3.11 3.11 求第求第3.63.6題中粒子位置和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系題中粒子位置和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系n解：解： (1) (1) 坐標(biāo)的期望值坐標(biāo)的期望值(2) (2) 坐標(biāo)平方的期望值坐標(biāo)平方的期望值(3) (3)