MBA管理類021——阿羅的不可能定理

1、管理系列 mba管理類021阿羅的不可能定理一、 阿羅的不可能定理（arrows impossibility theorem）阿羅不可能定理是由1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的獲得者之一阿羅首先陳述和證明的。 1951年肯尼斯約瑟夫阿羅（kenneth jarrow)在他的現(xiàn)在已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)典著作的社會(huì)選擇與個(gè)人價(jià)值一書(shū)中，采用數(shù)學(xué)的公理化方法對(duì)通行的投票選舉方式能否保證產(chǎn)生出合乎大多數(shù)人意愿的領(lǐng)導(dǎo)者或者說(shuō)“將每個(gè)個(gè)體表達(dá)的先后次序綜合成整個(gè)群體的偏好次序”進(jìn)行了研究。結(jié)果，他得出了一個(gè)驚人的結(jié)論：絕大多數(shù)情況下是不可能的！更準(zhǔn)確的表達(dá)則是：當(dāng)至少有三名候選人和兩位選民時(shí)，不存在滿足阿羅公理的選舉

2、規(guī)則?；蛘咭部梢哉f(shuō)是：隨著候選人和選民的增加，“程序民主”必將越來(lái)越遠(yuǎn)離“實(shí)質(zhì)民主”。從而給出了證明一個(gè)不可思議的定理：假如有一個(gè)非常民主的群體，或者說(shuō)是一個(gè)希望在民主基礎(chǔ)上作出自己的所有決策的社會(huì)，對(duì)它來(lái)說(shuō)，群體中每一個(gè)成員的要求都是同等重要的。一般地，對(duì)于最應(yīng)該做的事情，群體的每一個(gè)成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個(gè)公正而一致的程序，能把個(gè)體的偏好結(jié)合起來(lái)，達(dá)成某種共識(shí)。這就要進(jìn)一步假設(shè)群體中的每一個(gè)成員都能夠按自己的偏好對(duì)所需要的各種選擇進(jìn)行排序，對(duì)所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。阿羅不可能定理的孕育和誕生。阿羅不可能定理的證明并不難，但是需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯思維。關(guān)于這個(gè)定理

3、還有一段情節(jié)頗為曲折的故事。 阿羅在大學(xué)期間就迷上了數(shù)學(xué)邏輯：讀四年級(jí)的時(shí)候， 波蘭大邏輯學(xué)家塔斯基(tarski) 到阿羅所在的大學(xué)講了一年的關(guān)系演算， 阿羅在他那里接觸到諸如傳遞性、排序等概念 在此之前 阿羅對(duì)他所著迷的邏輯學(xué)還是全靠自學(xué)呢后來(lái)， 阿羅考上研究生在哈羅德霍特林（harold hotelling)的指導(dǎo)下攻讀數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué) 他發(fā)現(xiàn)，邏輯學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中大有用武之地 就拿消費(fèi)者的最優(yōu)決策來(lái)說(shuō)吧， 消費(fèi)者從許多商品組合中選出其最偏好的組合、這正好與邏輯學(xué)上的排序概念吻合。又如廠商理論總是假設(shè)廠商追求利潤(rùn)最大化， 當(dāng)考慮時(shí)間因素時(shí)， 因?yàn)閷?lái)的價(jià)格是未知的 廠商只能力圖使基于期望價(jià)格的期望

4、利潤(rùn)最大化。我們知道、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中的企業(yè)一般是由許多股東所共同擁有100個(gè)股東對(duì)將來(lái)的價(jià)格可能有100種不同的期望，相應(yīng)地根據(jù)期望利潤(rùn)進(jìn)行諸如投資之類的決策時(shí)便有100種方案。那么， 問(wèn)題如何解決呢?一個(gè)自然的辦法是由股東(按其占有股份多少)進(jìn)行投票表決， 得票最多的方案獲勝 這又是一個(gè)排序問(wèn)題阿羅所受的邏輯訓(xùn)練使他自然而然地對(duì)這種關(guān)系的傳遞性進(jìn)行考察 結(jié)果輕而易舉地舉出了一個(gè)反例。阿羅第一次對(duì)社會(huì)選擇問(wèn)題的嚴(yán)肅思考就這樣成為他學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)廠商理論的一個(gè)副產(chǎn)品不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣，但同時(shí)也成為他進(jìn)一步研究的障礙 因?yàn)樗X(jué)得這個(gè)悖論素未謀面但又似曾相識(shí)。事實(shí)上這的確是一個(gè)十分古老的悖

5、論， 是由法國(guó)政治哲學(xué)家、概率理論家貢多賽在1785年提出的 但是阿羅那時(shí)對(duì)貢多賽和其他原始材料一無(wú)所知， 于是暫時(shí)放棄了進(jìn)一步的研究。這是1947年。 次年， 在芝加哥考爾斯(cowles)經(jīng)濟(jì)研究委員會(huì)， 阿羅出于某種原因?qū)x擇政治學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣： 他發(fā)現(xiàn)在某些條件下，“少數(shù)服從多數(shù)”的確可以成為一個(gè)合理的投票規(guī)則。但是一個(gè)月后， 他在政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志里發(fā)現(xiàn)布萊克(black)的一篇文章已捷足先登， 這篇文章表達(dá)了同樣的思想看來(lái)只好再一次半途而廢了。阿羅沒(méi)有繼續(xù)研究下去其實(shí)還有另一層的原因，就是他一直以 嚴(yán)肅的 經(jīng)濟(jì)學(xué)研究為己任， 特別是致力于運(yùn)用一般均衡理論來(lái)建立一個(gè)切實(shí)可行的模型作為

6、經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析的基礎(chǔ) 他認(rèn)為在除此以外的“旁門(mén)左道中深究下去會(huì)分散他的精力。1949年夏天， 阿羅擔(dān)任蘭德公司(rand)的顧問(wèn)。這個(gè)為給美國(guó)空軍提供咨詢而建立起來(lái)的公司那時(shí)的研究范圍十分廣泛，包括當(dāng)時(shí)尚屬鮮為人知的對(duì)策論。職員中有個(gè)名叫赫爾墨(helmer) 的哲學(xué)家試圖將對(duì)策論應(yīng)用于國(guó)家關(guān)系的研究， 但是有個(gè)問(wèn)題令他感到十分棘手： 當(dāng)將局中人詮釋為國(guó)家時(shí)，盡管個(gè)人的偏好是足夠清楚的， 但是由個(gè)人組成的集體的偏好是如何定義的呢?阿羅告訴他， 經(jīng)濟(jì)學(xué)家已經(jīng)考慮過(guò)這個(gè)問(wèn)題， 并且一個(gè)恰當(dāng)?shù)男问交枋鲆呀?jīng)由伯格森(bergson)在1938年給出。伯格森用一個(gè)叫做社會(huì)福利函數(shù)的映射來(lái)描述將個(gè)人偏好匯

7、集成為社會(huì)偏好的問(wèn)題， 它將諸個(gè)人的效用組成的向量轉(zhuǎn)化為一個(gè)社會(huì)效用 雖然伯格森的敘述是基于基數(shù)效用概念的， 但是阿羅告訴赫爾墨， 不難用序數(shù)效用概念加以重新表述。于是赫爾墨順?biāo)浦郏?請(qǐng)阿羅為他寫(xiě)一個(gè)詳細(xì)的說(shuō)明，當(dāng)阿羅依囑著手去做時(shí)， 他立即意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題跟兩年來(lái)一直困擾著他的問(wèn)題實(shí)際上是一樣的。既然已經(jīng)知道“少數(shù)服從多數(shù)“一般來(lái)說(shuō)不能將個(gè)人的偏好匯集成社會(huì)的偏好， 阿羅猜測(cè)也許會(huì)有其他方法。幾天的試探碰壁之后， 阿羅懷疑這個(gè)問(wèn)題會(huì)有一個(gè)不可能性的結(jié)果。果然， 他很快就發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)結(jié)果； 幾個(gè)星期以后， 他又對(duì)這個(gè)結(jié)果作進(jìn)一步加強(qiáng)。阿羅不可能定理就這樣呱呱墜地了。 從1947年萌發(fā)胚芽到1

8、950年開(kāi)花結(jié)果，阿羅不可能定理的問(wèn)世可謂一波三折， 千呼萬(wàn)喚始出來(lái)， 而且頗有點(diǎn) 無(wú)心插柳的意味。但是，正是在這無(wú)心背后的對(duì)科學(xué)鍥而不舍的追求，才使邏輯學(xué)在社會(huì)科學(xué)這塊他鄉(xiāng)異壤開(kāi)出一朵千古留芳的奇葩 這不能不說(shuō)是耐人尋味的。二、阿羅的不可能定理的內(nèi)容阿羅的不可能定理源自孔多塞的“投票悖論”，早在十八世紀(jì)法國(guó)思想家孔多塞就提出了著名的“投票悖論”：假設(shè)甲乙丙三人，面對(duì)abc三個(gè)備選方案，有如圖的偏好排序。 甲（a b c） 乙（b c a） 丙（c a b） 注：甲（a b c）代表甲偏好a勝于b，又偏好b勝于c。 1.若取“a”、“b”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下： 甲（a b ） 乙（b

9、 a ） 丙（a b ） 社會(huì)次序偏好為（a b ） 2.若取“b”、“c”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下： 甲（b c ） 乙（b c ） 丙（c b ） 社會(huì)次序偏好為（b c ） 3.若取“a”、“c”對(duì)決，那么按照偏好次序排列如下： 甲（a c ） 乙（c a ） 丙（c a ） 社會(huì)次序偏好為（c a ） 于是我們得到三個(gè)社會(huì)偏好次序（a b ）、（b c ）、（c a ），其投票結(jié)果顯示“社會(huì)偏好”有如下事實(shí)：社會(huì)偏好a勝于b、偏好b勝于c、偏好c勝于a。顯而易見(jiàn)，這種所謂的“社會(huì)偏好次序”包含有內(nèi)在的矛盾，即社會(huì)偏好a勝于c,而又認(rèn)為a不如c！所以按照投票的大多數(shù)規(guī)則，不能得出合

10、理的社會(huì)偏好次序。 阿羅不可能定理說(shuō)明，依靠簡(jiǎn)單多數(shù)的投票原則，要在各種個(gè)人偏好中選擇出一個(gè)共同一致的順序，是不可能的。這樣，一個(gè)合理的公共產(chǎn)品決定只能來(lái)自于一個(gè)可以勝任的公共權(quán)利機(jī)關(guān)，要想借助于投票過(guò)程來(lái)達(dá)到協(xié)調(diào)一致的集體選擇結(jié)果，一般是不可能的。三、阿羅的不可能定理的推理及學(xué)者的評(píng)價(jià)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定，每個(gè)個(gè)體至少有3個(gè)供排列的選項(xiàng)，可以用各種味道的餅干為選項(xiàng)的例子，如，香草餅干(v)、巧克力餅干(c)和草莓餅干(s)，每一個(gè)人要形成一個(gè)序列，表示出他對(duì)3種味道的喜愛(ài)程度，如vsc，表示這個(gè)人最喜歡香草餅干，其次是草莓餅干，最后是巧克力餅干。設(shè)有甲乙丙三人作選擇，他們的個(gè)人偏好為： 甲：

11、vcs 乙： csv 丙： svc 表1 投票悖論 投票者對(duì)不同選擇方案的偏好次序 甲vcs 乙csv 丙svc 用民主的多數(shù)表決方式，如果三個(gè)人都能充分表達(dá)自己的意見(jiàn)，則結(jié)果必然如下所示： 首先，在v和c中選擇，甲、丙喜歡v，乙喜歡c； 然后，在c和s中選擇，甲、乙喜歡c，丙喜歡s； 最后，在v和s中選擇，乙、丙喜歡s，甲喜歡v。 這樣三個(gè)人的最終表決結(jié)果如下： vc，cs，sv可見(jiàn)，利用少數(shù)服從多數(shù)的投票機(jī)制，將產(chǎn)生不出一個(gè)令所有人滿意的結(jié)論，這就是著名的“投票悖論”(paradox of voting)。這個(gè)投票悖論最早是由康德?tīng)栙?coudorcet，marquis de)在l8世紀(jì)提

12、出的，因而該悖論又稱為“康德?tīng)栙愋?yīng)”，而利用數(shù)學(xué)對(duì)其進(jìn)行論證的則是阿羅。 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，即：假設(shè)群體s上有m個(gè)個(gè)體成員，群體中出現(xiàn)的各種事件構(gòu)成一個(gè)集合x(chóng)，每個(gè)個(gè)體對(duì)每一事件都有自己的態(tài)度，即每個(gè)人都對(duì)集合x(chóng)有一個(gè)偏好關(guān)系 i=1，2，m。即可以按自己的偏好為事件排序。定義群體的偏好為：其中p是一種由每個(gè)個(gè)體偏好得出群體偏好的規(guī)則。按這個(gè)規(guī)則從個(gè)體排序(偏好)得到群體排序(偏好)，而且這個(gè)排序符合民主社會(huì)的民主決策的各種要求。注意這個(gè)排序是自反的，即如果ab，那么，bb，bc，則有ac；并且還是完全的，即要么ab，要么ba，二者只有其一而且必有其一。這首先要考察一下民主社會(huì)的民主決策的各種

13、要求是什么，阿羅用4個(gè)公理(有時(shí)表述為5條，把公理1分為兩條)表述出這些要求。他用的是數(shù)學(xué)方法，符號(hào)化的公理和數(shù)理邏輯的證明方法，為了簡(jiǎn)單地說(shuō)明問(wèn)題，我們采用了自然語(yǔ)言解釋。 公理1 個(gè)體可以有任何偏好；而且是民主選擇每個(gè)社會(huì)成員都可以自由地按自己的偏好進(jìn)行選擇(數(shù)學(xué)上稱為原則u無(wú)限制原則： i，u=1，2， ，m在x上的定義方式無(wú)任何限制)。 公理2 不相干的選擇是互相獨(dú)立的；(數(shù)學(xué)上稱為原則i 獨(dú)立性原則：對(duì)于x中的兩個(gè)事件x和y，對(duì)它們做出的偏好判斷與x中的任何其他事件無(wú)關(guān))。 公理3 社會(huì)價(jià)值與個(gè)體價(jià)值之間有正向關(guān)聯(lián)；(數(shù)學(xué)上稱為原則p一致性原則：如果對(duì)x中的兩個(gè)事件x和y，對(duì)于所有的

14、i都有x iy，那么x sy。這里x iy不成立。就是說(shuō)，每人都有同樣明確態(tài)度的兩件事，社會(huì)也應(yīng)該有同樣的態(tài)度。) 公理4 沒(méi)有獨(dú)裁者不存在能把個(gè)體偏好強(qiáng)加給社會(huì)的可能。(數(shù)學(xué)上稱為原則d 非獨(dú)裁原則：不存在某個(gè)i，使得阿羅證明，滿足這4條公理表述的要求的民主決策的規(guī)則是不存在的，就是著名的“阿羅不可能性定理”：如果x中的事件個(gè)數(shù)不小于3，那么就不存在任何遵循原則u，p，i，d的規(guī)則(稱為“社會(huì)福利函數(shù)”)。這表明滿足所有一般條件的民主選擇要么是強(qiáng)加的，要么就是獨(dú)裁的結(jié)果。 換句話說(shuō)，阿羅不可能性定理指出，多數(shù)規(guī)則(majorily rule)的一個(gè)根本缺陷就是在實(shí)際決策中往往導(dǎo)致循環(huán)投票。

15、在得多數(shù)票獲勝的規(guī)則下，每個(gè)人均按照他的偏好來(lái)投票。不難看出，大多數(shù)人是偏好x勝于y，同樣大多數(shù)人也是偏好y勝于z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應(yīng)當(dāng)是可以傳遞的(transitivity)，即大多數(shù)人偏好x勝于z。但實(shí)際上，大多數(shù)人偏好z勝于x。因此，以投票的多數(shù)規(guī)則來(lái)確定社會(huì)或集體的選擇會(huì)產(chǎn)生循環(huán)的結(jié)果。結(jié)果，在這些選擇方案中，沒(méi)有一個(gè)能夠獲得多數(shù)票而通過(guò)，這就是“投票悖論”，它對(duì)所有的公共選擇問(wèn)題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規(guī)則都難以避開(kāi)這兩難境地。 那么，能不能設(shè)計(jì)出一個(gè)消除循環(huán)投票，做出合理決策的投票方案呢?阿羅的結(jié)論是：根本不存在一種能保證效率、尊重個(gè)人偏好、并且不依賴程序(a

16、genda)的多數(shù)規(guī)則的投票方案。簡(jiǎn)單地說(shuō)，阿羅的不可能定理意味著，在通常情況下，當(dāng)社會(huì)所有成員的偏好為已知時(shí)，不可能通過(guò)一定的方法從個(gè)人偏好次序得出社會(huì)偏好次序，不可能通過(guò)一定的程序準(zhǔn)確地表達(dá)社會(huì)全體成員的個(gè)人偏好或者達(dá)到合意的公共決策。 這個(gè)結(jié)果是令人震動(dòng)的：一個(gè)社會(huì)不可能有完全的每個(gè)個(gè)人的自由 否則將導(dǎo)致獨(dú)裁；一個(gè)社會(huì)也不可能實(shí)現(xiàn)完全的自由經(jīng)濟(jì) 否則將導(dǎo)致壟斷。人們對(duì)社會(huì)的認(rèn)識(shí)達(dá)到一個(gè)新的高度。因此阿羅的不可能定理一經(jīng)問(wèn)世便對(duì)當(dāng)時(shí)的政治哲學(xué)和福利經(jīng)濟(jì)學(xué)產(chǎn)生了巨大的沖擊，甚至招來(lái)了上百篇文章對(duì)他的定理的駁斥。李特爾、薩繆爾森試圖以與福利經(jīng)濟(jì)學(xué)不相干的論點(diǎn)來(lái)駁倒阿羅的不可能定理，但又遭到肯普

17、、黃有光和帕克斯的反駁，他們甚至建立了在給定個(gè)人次序情況下的不可能性結(jié)果。 事實(shí)上，阿羅的不可能性定理經(jīng)受住了所有技術(shù)上的批評(píng)，其基本理論從來(lái)沒(méi)有受到重大挑戰(zhàn)，可以說(shuō)是無(wú)懈可擊的，于是阿羅不可能定理似乎成為規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的一個(gè)不可逾越的障礙。怎樣綜合社會(huì)個(gè)體的偏好，怎樣在理論上找到一個(gè)令人滿意的評(píng)價(jià)不同社會(huì)形態(tài)的方法，成為一個(gè)世界性難題。這時(shí)候出現(xiàn)了阿馬弟亞森(amartya kumar sen，1933一)從20世紀(jì)60年代中期起，森在工具性建設(shè)方面的貢獻(xiàn)減少了這種悲觀主義色彩。森在這方面的研究推動(dòng)了規(guī)范經(jīng)濟(jì)學(xué)跨越這個(gè)障礙向前發(fā)展。他的研究工作不僅豐富了社會(huì)選擇理論的原則，而且開(kāi)辟了一個(gè)新的

18、、重要的研究天地。森1970年的著作集體選擇和社會(huì)福利是其最重要的一部著作，它使許多研究者恢復(fù)了對(duì)基本福利的興趣。另外這本書(shū)還具有哲學(xué)的風(fēng)格，為規(guī)范問(wèn)題的經(jīng)濟(jì)分析提供了一個(gè)新的視角，克服了阿羅不可能定理衍生出的難題，從而對(duì)福利經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)理論作出了巨大的貢獻(xiàn)。 森所建議的解決方法其實(shí)非常簡(jiǎn)單。森發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有人都同意其中一項(xiàng)選擇方案并非最佳的情況下，阿羅的“投票悖論”就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意v項(xiàng)選擇方案并非最佳，這樣上面的表1就變?yōu)楸?，僅僅甲的偏好由于同意“v并非最佳”而v和c的順序互換了一下，別的都不變。 表2 投票悖論的解決 投票者對(duì)不同選擇方案的偏好次序 甲cvs 乙csv 丙svc 在對(duì)v和c兩種方案投票時(shí)，c以兩票