雙曲型方程的差分法

1、雙曲型方程的有限差分法0 預(yù)備知識0.1雙曲型方程的常見類型：（1）、一階線性雙曲型方程（2）、一階常系數(shù)線性雙曲型方程組 其中u為未知函數(shù)向量，a為p階常數(shù)方陣。（3）、二階線性雙曲型方程（波動方程） 一維 a(x)為正值函數(shù)二維 三維 （4）、對流擴散方程等等。這些方程的定解條件，可以是僅有初始條件，也可以是初始條件與邊界條件的混合。如對波動方程（一維），有（1）、初值問題（2）、混合問題第一類：第二類：邊界條件改為：第三類：邊界條件改為：0.2 波動方程及其特征線性雙曲型方程的最簡模型：波動方程初值問題 （1） 下面討論它的特征和解析解。由二階偏微分方程理論，上述方程的特征方程為 或 .

2、分解為： ， 由此可定出兩個方向，稱為特征方向。解得： 是xt平面上的兩族直線，稱為特征。用u沿特征的偏導(dǎo)數(shù)來表示u沿x，t的偏導(dǎo)數(shù)： 同理，有由方程（1），得 由初值條件， 得 解此常微分方程，可得解：（稱為dalembert公式）由此公式可看出：u在點的值僅依賴于初始函數(shù)在區(qū)間上的值。（此區(qū)間就稱為點的依存域）過作第一特征（斜率為正），過作第二特征（斜率為負(fù)），相交于，所得三角形域為此依存域的決定域，依存域上的初值決定了三角形域內(nèi)u的值。反之，由作兩條特征，與x軸（）相交截出的閉區(qū)間就是依存域。如下圖。決定域 依存域 = 影響域 從解的表達(dá)式還可看出，對x軸上任一點，它所能影響到的所有的集

3、合是以為頂點，兩條特征為邊的角形域，稱為的影響域。如上圖。 雙曲型方程這種對初值的局部依賴關(guān)系和特征關(guān)系是其他方程所沒有的。因此初值函數(shù)的一些性質(zhì)（如間斷等）也會沿特征線傳播，從而使解不具有光滑性。在構(gòu)造雙曲型方程的差分格式時，應(yīng)考慮這些特性。1 一階線性雙曲型方程組一般形式：n個未知函數(shù) n個方程：其中 ，都是已知光滑函數(shù)。稱為一階線性偏微分方程組。記，則有 記b可逆。不是一般性，上面方程又可化為 （2）若a有n個實的互異特征值，對某個，稱（2）是在點的（狹義）雙曲型方程組。若對g中每點都成立，稱（2）是在g的雙曲型方程組。注：更一般地，若a的n個實特征值固有n個線性無關(guān)的特征向量時（或a可

4、對角化時），稱（2）是雙曲型方程組。若a和c與u有關(guān)，稱（2）為擬線性偏微分方程（雙曲型）。若a與u無關(guān)，c與u有關(guān)，稱為半線性偏微分方程（雙曲型）。若a與u無關(guān)，c與u無關(guān)或線性地依賴于u，稱（2）為線性偏微分方程組。1.1一階線性雙曲型方程初值問題簡單介紹?，F(xiàn)對一個方程，但a可正可負(fù)。 （3）由于，所以沿特征線的變化率為0，即沿特征線的值為常數(shù)。過任意一點的特征線 與的交點為，由于沿此特征線的值為常數(shù)，故有由點的任意性，可知初值問題（3）的解為1 迎風(fēng)格式（upwind scheme） 由氣體力學(xué)的含義，a(x)表示氣流速度，故得此名?，F(xiàn)考慮一個方程， 設(shè)a可正可負(fù)。設(shè)分別為時間和空間步長

5、。對空間偏導(dǎo)數(shù)用不同的離散化方法（向后、向前、中心差分），可得：k+1k(j-1,k) (j,k)1） 稱左偏心格式 k+1k(j,k) (j+1,k)2） 稱右偏心格式 3） 稱中心差分格式1），2）的誤差階為，3）的誤差階為。收斂性：設(shè)。如（p.127）圖所示，當(dāng)差分方程的依賴區(qū)域不包含微分方程的依賴區(qū)域時，差分解不收斂。因此有差分格式收斂的必要條件（courant條件）： 差分方程的依賴區(qū)域必須包含微分方程的依賴區(qū)域。當(dāng)時，格式1）和3）： 時，滿足courant條件；格式2）不能滿足courant條件；當(dāng)時，格式2）和3）：時，滿足courant條件； 格式1）不能滿足courant條

6、件。穩(wěn)定性：由分離變量法，可得結(jié)論如下：格式1）穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)時，； 格式1）只能用于的情況。格式2）穩(wěn)定的充要條件：當(dāng)時，；格式2）只能用于的情況格式3）絕對不穩(wěn)定，不能用。2. lax-friedrichs格式在上述格式3）中如用代替，即得lax-friedrichs格式（也簡稱為lax格式）：誤差階為。收斂的courant條件和穩(wěn)定的充要條件均為。3 利用特征線構(gòu)造差分格式a) lax-wendroff格式利用特征線來構(gòu)造（構(gòu)造過程略）。 .截斷誤差階為。穩(wěn)定的充要條件為。利用特征線還可以構(gòu)造一些其他的格式，如b) beam-warming格式它的穩(wěn)定的充要條件為，從而可以加大時間步

7、長,減少計算工作量。4 跳蛙格式(leap-frog scheme）兩個偏導(dǎo)數(shù)均用中心差商離散，得跳蛙格式.這是一個三層格式?？筛膶憺榈谝粚由系闹淀氂闷渌痈袷剿愠龊蟛拍軕?yīng)用此格式。截斷誤差階為。它的特點是：精度比1和2中的格式高，與3 中的截斷誤差階相同，但是比3 中的兩個格式簡單。由分離變量法可導(dǎo)出穩(wěn)定的充要條件為。以上這些格式都可以推廣到變系數(shù)方程。但穩(wěn)定性分析較復(fù)雜，因此要使格式穩(wěn)定，網(wǎng)比的大小不易確定。p.131的例子中初始條件的函數(shù)是間斷函數(shù)。這種情況在實際問題中經(jīng)常碰到?，F(xiàn)在用4種方法求出了t = 0.5處的數(shù)值解，圖中的實線為精確解，虛線為數(shù)值解?？梢钥闯?，對于lax-fri

8、edrichs 格式和迎風(fēng)格式，在間斷點附近逼近效果較差，而后兩種格式（截斷誤差階均為）逼近效果較好，但有振蕩現(xiàn)象出現(xiàn)。要克服此類現(xiàn)象，要引進(jìn)新的方法。1.2一階線性雙曲型方程混合問題對于一階方程，只有一個邊界條件。其邊界條件與其他方程不同，要視a的正負(fù)而定。方程的特征線斜率為正，初值向右無限傳播，只能在x的變化區(qū)域的左邊界上給出邊界條件；反之，方程的特征線斜率為負(fù)，初值向左無限傳播，只能在x的變化區(qū)域的右邊界上給出邊界條件。 現(xiàn)不妨設(shè)考慮下列問題1最簡隱格式在k+1層上兩個偏導(dǎo)數(shù)都用向后差商離散：記，上面的格式可改寫為 截斷誤差階為，較低。由于是隱格式，絕對穩(wěn)定。特點是由于左邊界上的已知，因

9、此此格式可直接算出其右邊的而不用解方程組，如圖。因此實際上是顯格式。2wendroff格式將最簡隱格式與左偏心格式做加權(quán)平均，得：此格式的截斷誤差一般為。但特取時截斷誤差可達(dá)，此時的格式 稱為wendroff格式。它實際上也是顯格式。wendroff格式絕對穩(wěn)定。一般地，可證明，上述當(dāng)加權(quán)平均格式當(dāng)時格式穩(wěn)定。注1：對于前面的解初值問題的一些方法，由于缺少另一邊的邊界條件，不能隨便移植到初邊值問題上來，即使加上附加的邊界條件（數(shù)值邊界條件），也可能導(dǎo)致計算不穩(wěn)定。注2：對于wendroff格式，可推廣到變系數(shù)方程，設(shè) 則格式為 截斷誤差為，但它的穩(wěn)定性分析較復(fù)雜。一般地，取時，對x和a(x)滿

10、足一定的條件時，格式穩(wěn)定。1.3一階線性常系數(shù)雙曲型方程組例：對波動方程的初值問題， 引進(jìn)， 其中 ，, 是線性雙曲型方程組 。對此模型問題，來構(gòu)造差分格式。為方便起見，設(shè) 用不同的差商來代替，可得下列格式1、 顯格式：（對t的偏導(dǎo)數(shù)都用向前差商，w對x在j點的偏導(dǎo)數(shù)用中心差商，v對x在點的偏導(dǎo)數(shù)用中心差商） 對初始條件：，由，化為，于是得：， 。由初始條件，由第一個方程算出第1層的，再由第2個方程算出。依次進(jìn)行，已知k層的和，k+1kk+1k第一步： 第二步： (已知黑點，算出紅點) 穩(wěn)定性條件： 。2、 隱格式：（對t的偏導(dǎo)數(shù)都用向前差商，w對x在j點的偏導(dǎo)數(shù)用k 層和k+1層的中心差商的

11、算術(shù)平均，v對x在點的偏導(dǎo)數(shù)用k 層和k+1層的中心差商的算術(shù)平均）(已知黑點，算出紅點)k+1kk+1k第一步： 第二步： 兩步均為隱式。為減少工作量，可用第二個方程消去第1個方程中的， ，得：是三對角方程組，先解出，再由第2個方程求，此時第2個方程成了顯式，從而大大減少了工作量。由fourier方法可證明隱格式無條件穩(wěn)定。3、lax-friedrichs格式：是顯格式。全取整節(jié)點。截斷誤差為。當(dāng) 時格式穩(wěn)定。4、lax-wendroff格式：略去高階項，設(shè)，得：同理有：是顯格式。截斷誤差階為。當(dāng)時格式穩(wěn)定。作業(yè)：習(xí)題五 4，5。對于一般的n個函數(shù)的一階線性方程組的初值問題，也可以建立一般的

12、以向量和矩陣形式表示的差分方程。例如書上有l(wèi)ax- friedrichs格式表示為當(dāng)時就是上面的lax- friedrichs格式。記 上式也可改寫為 同樣，對于lax-wendroff格式，用向量和矩陣可表示為其中當(dāng)時就是上面的格式。 這兩種格式的穩(wěn)定性條件均為 另外書上還有一個與前面的一個方程時引進(jìn)的跳蛙格式，以向量和矩陣形式可表示為 穩(wěn)定性條件為 對于變系數(shù)雙曲型方程的初值問題，即當(dāng)矩陣a是x的函數(shù)時，也可建立相應(yīng)的差分格式。如在書上p.136給出了如下的lax-wendroff格式：一般的推導(dǎo)較繁，但對波動方程的初值問題，引進(jìn)，再按照上面的泰勒展開的推導(dǎo)思想易得上述公式。它的穩(wěn)定性條件

13、是 而對于一般的一階方程組的初邊值問題，要根據(jù)a的特征值的正負(fù)號給出相應(yīng)的邊界條件，才能使問題適定。a的若干特征值為正時，對應(yīng)的方程的特征線斜率為正，初值向右無限傳播，只能在x的變化區(qū)域的左邊界上給出邊界條件；反之，a的特征值若干為負(fù)時，對應(yīng)的方程的特征線斜率為負(fù)，初值向左無限傳播，只能在x的變化區(qū)域的右邊界上給出邊界條件。這里不進(jìn)行深入的討論。2 二階線性雙曲型方程的差分格式2.1一維波動方程1.二階線性雙曲型方程的最簡模型：一維波動方程。初值問題： ， ， 其中設(shè) 如上節(jié)所示，可化成一階方程組來求解，已構(gòu)造了一些格式。下面介紹直接對二階方程的差分化方法。2顯格式設(shè)空間步長h，時間步長，作兩

14、族平行線。用中心差商代替二階偏導(dǎo)數(shù)，得 截斷誤差為。初始條件離散為對后一個邊值條件，也可用中心差商，誤差為。但要消去?？闪钋懊娴牟罘指袷街杏么耄獬?，代入邊界條件的差分格式，可得：，其中為網(wǎng)比。于是差分格式也可化成 * k+1層 * * * k 層 * k-1層由初始條件，得和。可算出。計算層的一個點的值，用到k層上3個點和k-1層上一個點的值，是顯格式。上述顯格式也可用于解混合問題。穩(wěn)定性分析上述顯格式穩(wěn)定的充分必要條件為（是穩(wěn)定的必要條件，即穩(wěn)定。反之不真）的幾何解釋： (j,k) * k 層 * * * k-1 層 * * * * * k-2 層 * * * k-3 層 由差分格式，知

15、依賴于前2層， 和共4個值。這4個值又依賴于k-2層上5個值， k-3層上3個值，k-4層上一個值，等等。依次往下推，最終依賴于初始層層上的2k+1個值：，。在中的網(wǎng)點為差分解的依存域。 的決定域由過的兩條直線所包含（圖中藍(lán)線）。而過的兩條特征為（圖中紅線）。穩(wěn)定性條件或（藍(lán)線的斜率絕對值紅線斜率絕對值）表示兩條藍(lán)線應(yīng)在紅線外（或重合）。如上圖所示的情形是不穩(wěn)定的。上圖，。當(dāng)步長（r固定不變）時，改變和上的初值，但上的初值不變，則差分解是一確定的數(shù)列，它僅依賴于其依存域上的值。但微分方程的解的值隨著其依存域上值的改變而改變。顯然差分解不收斂于微分方程的解。這說明：差分方程穩(wěn)定的必要條件為差分解

16、的依存域必須包含微分方程的依存域。結(jié)論：，差分解不僅不穩(wěn)定，也不收斂。，差分解穩(wěn)定且收斂。，當(dāng)初值非常光滑時才穩(wěn)定收斂（courant等證明）3隱格式（von newmann格式 ?。Γ脤拥闹行牟钌痰募訖?quán)平均去代替，得下列差分格式：（保證中間項的權(quán)非負(fù)）是參數(shù)（權(quán)）。是古典顯格式，是古典隱格式。當(dāng)時，這里的隱格式稱為von newmann格式。上面用一階方程組得到的隱格式與它等價。穩(wěn)定性和截斷誤差：時，此格式絕對穩(wěn)定（充要條件）。時，時穩(wěn)定（充要條件）（可用fourier方法證明）。誤差階：4邊界條件的處理 第一類邊界條件可直接代入函數(shù)值。第三類邊界條件的處理可參照拋物型方程的兩種處理方法

17、（見p.97）.在書上p.140只是介紹了一種一階精度的方法。5一維變系數(shù)波動方程 對于二階變系數(shù)方程的初值問題其中是有界的正函數(shù)?？梢圆捎脤的導(dǎo)數(shù)用中心差商，這樣就產(chǎn)生了k -1, k, k +1三層的格式。為了對稱起見，對x的導(dǎo)數(shù)可采用三層的中心差商的加權(quán)平均，即對k -1和 k +1層的中心差商乘以，對k層的中心差商乘以，然后相加，即得（與上面的隱格式類似）穩(wěn)定性條件：時，此格式絕對穩(wěn)定；時，時穩(wěn)定。類似地，截斷誤差與的取值有關(guān)。2.2二維波動方程1初值問題的顯格式初值問題： 在點 微分方程的解的特征錐是 （一維是兩條特征） 在x-y平面上，方程解的依賴域是圓域 它的顯格式和截斷誤差作為作業(yè)推導(dǎo)。2二維波動方程初邊值問題的交替方向隱格式 與前一章的拋物型方程的交替方向隱格式類似，不同的是，二維拋物型方程的交替方向隱格式是二層格式，先用第一式由k層算出 k +層，再用第二式算出k +1層的值。