初中數(shù)學應用性問題的創(chuàng)設和教學探討

1、基于“模型思想”下數(shù)學應用性問題的創(chuàng)設及教學探討石獅市第二中學 朱文澤全日制義務教育數(shù)學課程標準(2011修改稿)新增了“模型思想”，強調：“模型也是數(shù)與代數(shù)的重要內容，方程、方程組、不等式、函數(shù)等都是基本的數(shù)學模型” 。這給近兩年全國各地中考稍顯“降度”趨勢的“應用性問題”注入了新的活力，給應用性問題的創(chuàng)設和復習教學提出了新的挑戰(zhàn)。一、解讀基于“模型思想”下應用性問題的研究意義東北師范大學校長史寧中教授解讀修訂意見時說：“模型思想”是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，從它特定的生活原型出發(fā)，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程，得到簡化和假設，它是生活中實際問題轉化為數(shù)學問題模

2、型的一種思想方法。 培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光認識和處理周圍事物或數(shù)學問題乃數(shù)學的最高境界，也是學生高數(shù)學素養(yǎng)所追求的目標。數(shù)學模型方法（俗稱“建?！保┎粌H是處理純數(shù)學問題的一種經典方法，而且也是處理自然科學、社會科學、工程技術和社會生產中各種實際問題的一般數(shù)學方法。用數(shù)學方法解決某些實際問題，通常先把實際問題抽象成數(shù)學模型。所謂數(shù)學模型，是指從整體上描述現(xiàn)實原型的特性、關系及規(guī)律的一種數(shù)學方程式。按廣義的解釋，從一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式、各種數(shù)學方程以及由公式系列構成的算法系統(tǒng)都稱之為模型。但按狹義的解釋，只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關系結構，才叫數(shù)學模型。比如：

3、根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，列出方程進行求解等。這些內容有助于培養(yǎng)學生的學習興趣和應用意識，體會數(shù)學建模的過程，樹立模型思想。二、例析基于“模型思想”下應用性問題的創(chuàng)設意圖（一）從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學問題，是建立模型的出發(fā)點；數(shù)學問題源于生活、寓于生活、用于生活，具體情境的創(chuàng)設喚起了學生對數(shù)學應用價值的認識，激發(fā)了學生的數(shù)學應用意識，這對培養(yǎng)學生 “兩能”，即“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”具有積極意義的?！纠?】（2011泉州中考第24題）某班將舉行 “慶祝建黨90周年知識競賽” 活動，班長安排小明購買獎品，下面兩圖是小明買回獎品時與班長的對話情

4、境：請根據(jù)上面的信息，解決問題：（1）試計算兩種筆記本各買了多少本？（2）請你解釋：小明為什么不可能找回68元？【評析】對話情境及對話場景的創(chuàng)設給學生親切感，似乎是重現(xiàn)自己的某次親身經歷，是機智與幽默的對話，激活了考生的思維。【例2】（2010泉州中考第24題）某蔬菜公司收購到一批蔬菜，計劃用天加工后上市銷售.該公司的加工能力是：每天可以精加工噸或者粗加工噸，且每噸蔬菜精加工后的利潤為元，粗加工后為元已知公司售完這批加工后的蔬菜，共獲得利潤元.請你根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）如果精加工天，粗加工天，依題意填寫下列表格：精加工粗加工加工的天數(shù)（天）獲得的利潤（元）（2）求這批蔬菜共多少噸.【

5、評析】文字與表格展示出生活與生產相聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值?！纠?】（2009泉州中考第27題）如圖，等腰梯形花圃abcd的底邊ad靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設該花圃的腰ab的長為x米.（1）請求出底邊bc的長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若bad=60, 該花圃的面積為s米2.求s與x之間的函數(shù)關系式（要指出自變量x的取值范圍）， 并求當s=時x的值；如果墻長為24米，試問s有最大值還是最小值？這個值是多少？【評析】注意代數(shù)的各部分知識間的相互聯(lián)系，互相補充，體現(xiàn)數(shù)形結合的思想?！締⑹尽繎眯詥栴}情境都是來源于生活，學生較為熟悉，設計呈現(xiàn)形式多以對話，表格，圖形等為信息，體現(xiàn)了

6、“以生為本”的新課程理念。 （二）用符號表示數(shù)量關系和變化規(guī)律，是建立模型的過程；【例4】（2011湖北荊州第23題）2011年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情，為抗旱保豐收，某地政府制定民農戶投資購買抗旱設備的補貼辦法，其中購買型、型抗旱設備所投資的金額與政府補貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應關系.型 號金 額 型 設 備 型 設 備投資金額x（萬元）x5x24補貼金額y（萬元）y1=kx (k0)2y2=ax2+bx (a0)2.43.2（1）分別求出和的函數(shù)解析式；（2）有一農戶同時對型、型兩種設備共投資10萬元購買，請你設計一個能獲得最大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的最大補貼金額.【

7、評析】表格呈現(xiàn)的符號與數(shù)量，反映了自變量和函數(shù)關系之間的關系，待定系數(shù)法思想?！纠?】（2010石獅七末第25題）某工廠用鋁合金材料加工一批形狀如圖1所示的長方形窗框，窗框的內部安裝透明玻璃.（鋁合金材料的寬度都相同，接口用料忽略不計.）（1）用含的代數(shù)式表示制作一個該種窗框所需鋁合金材料的總長度；（2）已知每根鋁合金原材料的長為厘米，鋁合金材料費100元/根，若要做50個如圖1所示的鋁合金窗框，至少需要鋁合金材料費多少元？請說明怎樣裁料.（3）圖2是由兩扇如圖1所示的玻璃窗組裝成且處于完全關閉狀態(tài)的窗戶，圖3是由圖2開窗通風時的示意圖. 求鋁合金材料的寬度；（用含的代數(shù)式表示）當時，求完全打

8、開玻璃窗時的最大通風面積；（精確到0.1平方厘米）圖1圖2圖3（單位厘米）【啟發(fā)】新課標(2011修改稿)把“符號感“修改為“符號意識”，主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。（三）求出模型的結果并討論結果的意義，是求解模型的過程?！纠?】（2011石獅九末第25題）某快餐店試銷某種套餐，試銷一段時間后發(fā)現(xiàn)，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費用為600元（不含套餐成本） 若每份套餐售價不超過10元，每天可銷售400份；若每份套餐售價超過10元，每提高1元，每天

9、的銷售量就減少40份為了便于結算，每份套餐的售價(元）取整數(shù)，用(元)表示該店每天的純收入（1）若每份套餐售價不超過10元.試寫出與的函數(shù)關系式；若要使該店每天的純收入不少于800元，則每份套餐的售價應不低于多少元？（2）該店把每份套餐的售價提高到10元以上，每天的純收入能否達到1560元？若不能，請說明理由；若能，求出每份套餐的售價應定為多少元時，既能保證純收入又能吸引顧客？【簡析】（1）.（） 依題意得：， 解得：， 10，且每份套餐的售價(元)取整數(shù)，每份套餐的售價應不低于9元. （2）依題意可知：每份套餐售價提高到10元以上時， ， 當時，解得：， 為保證凈收入又吸引顧客，應取，即不符

10、合題意.故該套餐售價應定11元. 【啟發(fā)】很多同學在解答應用性問題時，重視審題、分析數(shù)量關系、建模等，往往忽略檢驗，對模型結果的解釋過程，可以幫助學生從數(shù)量關系的角度更清晰地描述現(xiàn)實世界。三、構建基于“模型思想”下應用性問題的長效教學策略一線教師在應用性問題的復習教學時，無不抱怨：“應用題我都講了千百遍，學生的應用意識一點也不見增強，遇到應用題總是一籌莫展”。但我們會發(fā)現(xiàn)：問題情境和數(shù)量關系是它的兩個基本構成要素，而由于數(shù)量關系或其運算通常是隱含在文字、圖表的信息之中的，其解決需要較復雜的抽象思維和驗證推理。而就學生解決應用性問題的常規(guī)思路來說，數(shù)學應用性問題解決的難點主要在于將問題情境向數(shù)學

11、問題的轉化，也就是我們要經常引導學生從所熟悉的生活情境和相關的學科的實際問題出發(fā)，幫助學生度過信息轉換、整合、提煉的難關，歸納、抽象出數(shù)學概念和規(guī)律，建立起相應的數(shù)學模型，從而把實際應用性問題轉化為數(shù)學問題來解決，基于“數(shù)學思想”，追求有效的復習教學策略。史寧中教授認為，數(shù)學發(fā)展所依賴的數(shù)學思想在本質上有三個：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的，通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念、運算和法則，通過推理使得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界（應用性問題）的聯(lián)系。四、探討基于“模型思想”下應用性問題的復習迎考行動1、落實“四基”仍然是應用性問題復習迎考的前提與基礎，否則“數(shù)學模型”就

12、成為無本之木，無源之水我們的教材中已經給我們展現(xiàn)了許多的數(shù)學模型，雖然涉及的是與社會、生活、科學、生產聯(lián)系十分密切的事例，但教師復習教學必須先抓好“四基”，即：基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，才能使我們的“模型”更具有針對性。詳見下表：模型名稱數(shù)學知識生活中的數(shù)學應用情境舉例方程（組）模型一元一次方程一元二次方程二元一次方程組分式方程覆蓋到生活實際的各方面情境創(chuàng)設類型的數(shù)量關系平均增長率不等式模型一元一次不等式市場營銷，生產決策，投資方案函數(shù)模型一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)市場營銷、生產決策、投資方案的最大最小最優(yōu)圖象信息、函數(shù)擬合幾何模型解直角三角形線，多邊形，圓航海，測量美工設計

13、，建筑設計，區(qū)域規(guī)劃統(tǒng)計、概率模型平均數(shù)，方差頻率分布，概率調查，報表，統(tǒng)計，概率【例7】（2010石獅九末第24題）為了估計一次性木質筷子的用量。2008年從某市共600家高、中、低檔快餐廳中抽取10家作為樣本，這些快餐廳每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為0.6、3.7、2.2、1.5、2.8、1.7、2.1、1.2、3.2、1.0(1)通過對樣本的計算，估計該市2008年消耗多少盒一次性筷子(每年按350個營業(yè)日計算)；(2)2010年又對該市一次性木質筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調查，調查結果是10個樣本快餐廳中每個快餐廳平均每天使用一次性筷子2.42盒，求該市2008、2009這兩年一次

14、性木質筷子用量平均每年增長的百分率（假定2009年、2010年該市快餐廳數(shù)、全年營業(yè)天數(shù)與2008年相同）。（3）在（2）的條件下，若生產一套中小學生桌椅需木材0.07 m3，求該市2010年使用一次性木質筷子的木材可以生產多少套學生桌椅，計算中需用到的有關數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質量為5g，所用木材密度為0.5103kg/m3.【評析】本題是一道綜合性非常強的學科滲透綜合題，模型建立涉及到統(tǒng)計初步知識、一元二次方程及物理中的密度公式等知識的綜合運用?！締⑹尽拷y(tǒng)計知識在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，銜接高中階段有關與概率統(tǒng)計有關的應用問題。作為學生要學會深刻理解基本統(tǒng)計思想，要善于提出

15、問題，考慮抽樣，收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，建立相應的“模型”，做出決策，并能進行有效的交流、評價與改進策略。2、提高信息捕捉能力，幫助學生建立“符號意識”是應用性問題復習迎考的訓練重點，也是正確建立數(shù)學模型的關鍵所在閱讀一個問題情境，需要在問題的文字語言或圖表中捕捉信息，并將文字語言轉化為數(shù)學的符號語言，以數(shù)學語言（文字語言、圖形語言和符號語言）為工具進行數(shù)學思維與交流。教學中我們發(fā)現(xiàn)，其實學生解決應用性問題的關鍵在于語言和符號間的轉化，符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式，有了“符號”才能從合理的角度對數(shù)學應用性問題進行理解和抽象。教師應加強數(shù)學語言和符號互譯的訓練，在審題之后，學生對于其

16、中數(shù)學語言的理解能力還應該通過多個角度的訓練才能有較大的提高，比如：學會說數(shù)學、學會議數(shù)學、學會寫數(shù)學等，從而幫助學生建立“符號意識”，讓他們能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關系和變化規(guī)律；進行一般性的運算和推理?！纠?】（2011湖北黃石第23題）今年，號稱“千湖之省”的湖北正遭受大旱，為提高學生環(huán)保意識，節(jié)約用水，某校數(shù)學教師編造了一道應用題：月用水量（噸）單價（元 / 噸）不大于10噸部分1.5大于10噸不大于m噸部分 （20m50）2大于m噸部分3為了保護水資源，某市制定一套節(jié)水的管理措施，其中對居民生活用水收費作如下規(guī)定：（1）若某用戶六月份用水量為18噸，求其應繳納的水費；（2）記

17、該戶六月份用水量為x噸，繳納水費y元，試列出y關于x的函數(shù)式；（3）若該用戶六月份用水量為40噸，繳納消費y元的取值范圍為70y90，試求m的取值范圍?！驹u析】解答本題要結合“用水收費”的一些基本常識，并綜合利用方程組模型和不等式模型才能解決?？疾榱藢W生從表格中獲取信息的能力和“符號意識”。3、豐富生活背景，增強建模意識，培養(yǎng)多向思維，開闊建模思路，提高建模能力數(shù)學模型不同于一般的模型，它反應特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關系結構，即把一個實際問題中某些事物的主要特征、主要關系抽象成數(shù)學語言，近似地反映客觀事物的內在聯(lián)系與變化過程。建立數(shù)學模型的過程就稱為數(shù)學建模，它主要有三個步驟：實際問

18、題數(shù)學模型；數(shù)學模型數(shù)學的解；數(shù)學的解實際問題的解。數(shù)學建模的問題都有假設條件及要達到的目標，建模就是要將條件與目標聯(lián)系起來，這種聯(lián)系是多向的，要完成它，不僅需要順向思維，也需要逆向思維，更需要多向思維的結合，這也體現(xiàn)了列代數(shù)式是基礎，方程是核心，函數(shù)是紐帶，不等式發(fā)揮著重要作用。所以，一線教師要通過各種途徑培養(yǎng)學生的建模意識，提高學生的建模能力?！纠?】（2010石獅質檢第25題）某商店計劃購進某型號的螺絲、螺母進行銷售，有關信息如下表： 原進價(元/個)零售價(元/個)成套售價(元/套)螺絲1.02.0螺母0.6 （1）已知用50元購進螺絲的數(shù)量與用20元購進螺母的數(shù)量相同，求表中的值；（2）若該店購進螺母數(shù)量是螺絲數(shù)量的3倍還多200個，且兩種配件的