數(shù)學(xué)建模學(xué)期論文若干工廠排污費用的數(shù)學(xué)模型

1、選修課程結(jié)業(yè)考試答卷 課程名稱： 數(shù) 學(xué) 建 模 選課課號：（2009-2010-2)-161100200-1020060061-1 主講教師： 學(xué) 生： 學(xué) 號： 班 級： 考查時間： 考察試題： 若干工廠排污費用的數(shù)學(xué)模型 考查評分： 若干工廠排污費用的數(shù)學(xué)模型摘要本文首先對給定的題目進行統(tǒng)計分析，在分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，考慮了各種不同的污水排放的差異性，將所有污水處理信息進行整合，為污水處理情形建立相關(guān)數(shù)據(jù)材料?；诓煌闆r不同特點，分別對問題一到問題二進行分析、建模及求解。對問題一要求：為了使使江面所有地段得水污染達到國家標(biāo)準(zhǔn)，最少需要費用采用方法：在一定合情理得假設(shè)下，建立一個簡單普遍的

2、的模型，使之能夠清晰地表示出江水與第k個站點得污水混合后的污水濃度，并使?jié)舛刃∮跇?biāo)準(zhǔn)，得到普遍的約束條件。再用一個函數(shù)表示出處理費用，得到普遍的目標(biāo)函數(shù)，再將題中數(shù)據(jù)代入公式，編寫程序，再用lindo軟件解出答案。對問題二， 要求：要求三個據(jù)名店上游的水污染達到國家標(biāo)準(zhǔn)，最少需要多少費用 采用方法：在基于問題一得假設(shè)下，建立一個簡單普遍的的模型，使之能夠清晰地表示出第k個站點上游的污水污水濃度，并使?jié)舛刃∮跇?biāo)準(zhǔn)，得 到普遍的約束條件。再用一個函數(shù)表示出處理費用，得到普遍的目標(biāo)函 數(shù)，再將題中數(shù)據(jù)代入公式，編寫程序，再用lindo軟件解出答案。根據(jù)上述研究，我們認為我們建立的數(shù)學(xué)模型易于操作，對

3、實踐有著較好的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞： 若干工廠 污水處理 國家標(biāo)準(zhǔn) 最小費用一、問題重述工廠1上游江水流量和污水濃度，國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的水的污染濃度，以及各個工廠的污水流量和污水濃度均已知道。設(shè)污水處理費用與污水處理前后的濃度差和污水流量成正比，使每單位流量的污水下降一個濃度單位需要的處理費用（稱處理系數(shù)）為已知。處理后的污水與江水混合，流到下一個排污口之前，自然狀態(tài)下的江水也會使污水濃度降低一個比例系數(shù)（稱自凈系數(shù)），該系數(shù)可以估計。試確定各污水處理站出口的污水濃度，使在符合國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的條件下總的處理費用最小。推而廣之，要求處理一段河流中有若干個工廠、若干個排污處理站點。建立數(shù)學(xué)模型，求解。二、問

4、題的分析工廠的污水處理與排放都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式影響著我們的生活。例如，我們的飲水、我們周邊的生態(tài)環(huán)境。污水排放過程要經(jīng)過三個步驟：工業(yè)生產(chǎn)制造廢水、污水處理站處理廢水、國家環(huán)保部門監(jiān)測排污情況。圖1：工廠的污水處理與排放過程描述工廠的污水排放必須達到國家相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)，否則將受到環(huán)境保護部門的處理，嚴重者甚至受到法律的制裁。反思問題的題設(shè)與要求，是要解決污水處理過程中的費用問題，以求達到最好的經(jīng)濟效益。從以下三個個角度思考：環(huán)保部門的角度，工廠排放的廢水必須達到國家相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)，且要要在環(huán)境的自動凈化能力范圍之內(nèi)。工廠生產(chǎn)角度，工廠為了生產(chǎn)發(fā)展，必須降低成本，盡可能地實現(xiàn)增加利潤

5、。這就要求要盡可能的減少排污費用。居民角度，居民要求自己的居住環(huán)境盡可能的好，這就要求周圍事物盡可能的減少環(huán)境廢物的排放。對于問題一：為了使江面所有的所有的地段達到國家的標(biāo)準(zhǔn) ，由題意自然狀態(tài)下江水可使污水濃度下降一定程度，所以如果江面各處污水濃度最大的地方達到國家標(biāo)準(zhǔn)，那么各處江面都將達到國際按標(biāo)準(zhǔn)，于是顯而易見，只要各處處理站處理后的污水與江河上游污水混合后達標(biāo)即可，順次思路，可比較簡單的建立數(shù)學(xué)模型解決此問題。對于問題二：為使居民點上游水污染達標(biāo)，由于江面存在自凈系數(shù)，即每處處理站排出的污水與江水混合后得污水濃度乘以該站下游江面的自凈系數(shù)便可得到下游居民點的上游的污水濃度，由此思路建立可

6、較為簡易的建立合理的數(shù)學(xué)模型。三、模型假設(shè)1、 假設(shè)題中給定的數(shù)據(jù)真實可靠，且滿足國家相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)。2、 污水經(jīng)站點排除后迅速均勻分布于水中。3、 假設(shè)該江面除污水處理站外，無其他水源入江。4、 工廠與處理站的污水流出量遠小于江水流量。 四、符號說明符號符號說明n工廠的總數(shù)、處理站點數(shù)（n的取值為整數(shù)）k從上游到下游計數(shù)的工廠個數(shù) 第k處理站口上游江面的流量第k處理站口下游江面的流量第k處理站口上游江面的污水濃度第k處理站口下游江面的污水濃度第k個工廠排出污水濃度第k+1個工廠排出污水濃度第k個處理站的處理系數(shù)第k+1個處理站的處理系數(shù)第k個工廠的污水經(jīng)第k個處理站后排到江面的污水濃度第k+1個工

7、廠的污水經(jīng)第k+1個處理站后排到江面的污水濃度第k段江面的自凈系數(shù)（第k段江面為第k個工廠與第k+1個工廠之間的江面）第k+1段江面的自凈系數(shù)（第k段江面為第k個工廠與第k+2個工廠之間的江面） 第k個工廠與第k個處理站的污水流出量第k+1個工廠與第k+1個處理站的污水流出量國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的合格水污染濃度s污水處理總費用五、問題求解及結(jié)果分析l 問題一1. 問題一的模型分析問題一：為了使江面上所有低端的水污染達到國家標(biāo)準(zhǔn)，且費用最少，并求出最少費用。在簡化為常數(shù)q的情況下，第k個處理站的污水與江水混合后的污水的濃度為=+，第k段江面的自凈后的污水濃度為=，污水處理站的處理費用為（-），于是在江面

8、上所有地段的水污染達到國家標(biāo)準(zhǔn)的條件下，使費用最小。2. 建立模型目標(biāo)函數(shù)： s=（-）約束條件：=+ = 3. 問題一模型求解對于該題的具體題設(shè)，q=1000l/min, =0.8mg/l, =1mg/l,=5l/min，=100 mg/l，=60 mg/l，=50mg/l,=1萬元/（l/min）（mg/l）, =0.9,=0.6。按照以上模型，并用lingo軟件進行計算求解。計算結(jié)果為：=40 mg/l，=20 mg/l，=50 mg/l。s=495.5萬元4. 結(jié)果分析:站點一處理后污水濃度為40mg/l，站點二處理后污水濃度20mlg/l，站點3不用處理，且最小費用為495.5萬元，

9、其影子價格和靈敏度分析詳見附件l 問題二問題二：題設(shè)只要求三個居名點上游的水污染達到國家標(biāo)準(zhǔn)，就最少費用。1. 問題二的模型分析在簡化為常數(shù)q的情況下，第k個處理站的污水與江水混合后的污水的濃度為=+，第k段江面的自凈后的污水濃度為=，污水處理站的處理費用為（-），于是在江面上所有地段的水污染達到國家標(biāo)準(zhǔn)的條件下，使費用最小。2. 建立模型目標(biāo)函數(shù)： s=（-）約束條件：=+ = 3. 問題二模型求解對于該題的具體題設(shè)，q=1000l/min, =0.8mg/l, =1mg/l,=5l/min，=100 mg/l，=60 mg/l，=50mg/l,=1萬元/（l/min）（mg/l）, =0.

10、9,=0.6。按照以上模型，并用lingo軟件進行計算求解。計算結(jié)果為：=62.2 mg/l，=60 mg/l，=50 mg/l。s=189萬元計結(jié)果分析l 第一個工廠處理后污水濃度為62.2mg/l，第二個工廠和第三個工廠無需處理污水，且費用最少為189萬元。其影子價格和靈敏度分析詳見附件六、模型評價及改進、模型推廣 污染是當(dāng)今社會的一個重大問題，尤其是水污染對人的生存構(gòu)成了嚴重威脅，而河流擴散污染的主要途徑，一方面要考慮下游居民，另一方面還要務(wù)必使成本降到最低，以達到最大效益。怎樣才能使河流既達到國家標(biāo)準(zhǔn)而有用資金最少？我們便考慮使用數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言

11、和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。基于以上概念。而江河與處理站，江河與居民點可以近似的考慮成線與點得關(guān)系，這樣就可以得到最基本的模型，然后在做出相應(yīng)的假設(shè)之后，考慮點與點之間的相互影響，點與線之間的相互關(guān)系，已達到比較真實的模擬出實際情況來，于是，得出以上的模型設(shè)計，該模型再基于假設(shè)條件之內(nèi)基本能夠反映真實，在已知各段江水的自凈系數(shù)前提下，可以求出有任意k個排污點及處理站時得最小費用，但是該模型存在下列問題1， 自凈系數(shù)沒有明確的得知方法，應(yīng)該考慮自凈系數(shù)與江段長度的關(guān)系。2， 污水的與江水混合后求濃度沒有考慮污水自身的流量3， 江水經(jīng)過一段距離后得由于

12、蒸發(fā)和滲透沒有做考慮可以針對上述問題再設(shè)變量對模型改進。 模型的推廣：上述模型是建立在無污水排放時濃度是符合國家標(biāo)準(zhǔn)的，那么如果上游江水本就不符合國家標(biāo)準(zhǔn)，那么就需要處理江中污水濃度，亦或，先將江水的污水濃度下降一定濃度時，再同各個處理站處理后的污水混合，成本會不會有所降低呢？而江的上游會有一段比較長得無人區(qū)，可用較低的成本較簡單的方法處理得到較好的效果，比如撒一些除污物質(zhì)等等可設(shè)江水處理系數(shù)。那么依然可用上述模型，那么目標(biāo)函數(shù)即變?yōu)?s=（-）+（-）約束條件=+ = 七、參考文獻1) 數(shù)學(xué)模型（第三版） 姜啟源 謝金星 葉?。ň幹?高等教育出版社 2003.82) 數(shù)學(xué)建模課程講義 王麗

13、 西南科技大學(xué) 3) 基礎(chǔ)運籌學(xué)教程(配光盤） 馬良（主編） 高等教育出版社 2006.7八、附件清單、附件1) 附件清單 問題一的詳細數(shù)據(jù)、lindo運算程序、程序運行結(jié)果。 問題二的詳細數(shù)據(jù)、lindo運算程序、程序運行結(jié)果。 2) 附件 問題一的詳細數(shù)據(jù)、lindo運算程序、程序運行結(jié)果。a) 詳細數(shù)據(jù):q=1000l/min, =0.8mg/l, =1mg/l,=5l/min，=100 mg/l，=60 mg/l，=50mg/l,=1萬元/（l/min）（mg/l）, =0.9,=0.6。得目標(biāo)函數(shù)s=1050-5-5-5代入公式=+得站點一混合后污水濃度為: =5/1000+0.8站

14、點二混合后污水濃度為: =4.5/1000+5/1005+0.72站點三混合后污水濃度為: =2.7/1000+3/1005+5/1010+0.432再代入公式并化簡可得約束條件50 4.5+4.97528 2.7+2.985+4.95568代入公式得到約束條件 100 60 50b) lindo運算程序:min -5v1-5v2-5v3st2)v1=403)4.5v1+4.975v2=2804)2.7v1+2.985v2+4.95v3=5685)v1=1006)v2=607)v3=50endc) 程序運行結(jié)果:lp optimum found at step 3 objective func

15、tion value 1) -550.5025 variable value reduced cost v1 40.000000 0.000000 v2 20.100502 0.000000 v3 50.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 0.477387 3) 0.000000 1.005025 4) 152.500000 0.000000 5) 60.000000 0.000000 6) 39.899498 0.000000 7) 0.000000 5.000000 no. iterations= 3 r

16、anges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease v1 -5.000000 0.477387 infinity v2 -5.000000 5.000000 0.527778 v3 -5.000000 5.000000 infinity righthand side ranges row current allowable allowable rhs increase decrease 2 40.0000

17、00 22.222221 40.000000 3 280.000000 198.500000 100.000000 4 568.000000 infinity 152.500000 5 100.000000 infinity 60.000000 6 60.000000 infinity 39.899498 7 50.000000 30.808083 50.000000問題二的詳細數(shù)據(jù)、lindo運算程序、程序運行結(jié)果。a) 詳細數(shù)據(jù):由于居民點1上游污水濃度為0.8mg/l符合標(biāo)準(zhǔn)，所以不作考慮。處理站3下游沒有居民點，所以得： =60代入數(shù)據(jù)后得目標(biāo)函數(shù)為s=（100-）*5+（60-）*5

18、=800-5-5代入公式=+得=4.5/1000+0.72=2.7/1000+3/1005+0.432再帶入公式 并化簡得到約束條件4.52802.7+2.985568代入公式得到約束條件10060 b) lindo運算程序:min -5v1-5v2st2)4.5v1=2803)2.7v1+2.985v2=5684)v1=1005)v2=60endc) 程序運行結(jié)果:lp optimum found at step 2 objective function value 1) -611.1111 variable value reduced cost v1 62.222221 0.000000 v2 60.000000 0.000000 row slack or surplus dual prices 2) 0.000000 1.111111 3) 220.900009 0.000000 4) 37.777779 0.000000 5) 0.000000 5.000000 no. iterations= 2 ranges in which the basis is unchanged: obj coefficient ranges variable current allowable allowable coef increase decrease v1 -5.