中考?jí)狠S題代數(shù)幾何綜合第2部分

1、代幾綜合點(diǎn)睛提分4、動(dòng)點(diǎn)與平行四邊形問(wèn)題兵法：1利用對(duì)邊平行，進(jìn)行分類(lèi)討論，然后畫(huà)出要求的點(diǎn) 2利用全等或銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)【例1】 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)a（4，0），b（0，4），c（2，0）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)m為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為m，amb的面積為s求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值（3）若點(diǎn)p是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)q是直線yx上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)p、q、b、o為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)q的坐標(biāo)xyobcma【解析】 （1）設(shè)拋物線的解析式為yax 2bxc（a0），則有 解得拋物線的解析式為

2、yx 2x4 （2）過(guò)點(diǎn)m作mdx軸于點(diǎn)d，設(shè)m點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m 2m4）xyobcmad則adm4，mdm 2m4s samds梯形dmbo sabo(m4)(m 2m4)(m 2m44)(m)44m 24m（4m0）即s m 24m(m2)24s 最大值4（3）滿足題意的q點(diǎn)的坐標(biāo)有四個(gè)，分別是：（4，4），（4，4）（2，2），（2，2）【例2】 如圖，已知拋物線yax 2bxc（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為q（2，1），且與y軸交于點(diǎn)c（0，3），與x軸交于a、b兩點(diǎn)（點(diǎn)a在點(diǎn)b的右側(cè)），點(diǎn)p是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)c沿拋物線向點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)p與a不重合），過(guò)點(diǎn)p作pdy軸，交ac于點(diǎn)d（1）求

3、該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)adp是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（3）在題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)e在x軸上，點(diǎn)f在拋物線上，問(wèn)是否存在以a、p、e、f為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)f的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由c(0,3)oabxydpq(2,-1)【解析】 （1）拋物線的頂點(diǎn)為q（2，1），設(shè)ya(x2)21將c（0，3）代入上式，得3a(02)21a1 該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y(x2)21即yx 24x3 （2）如圖1，有兩種情況：oabxydpq(2,-1)(p1)(p2)d1d2h圖1當(dāng)點(diǎn)p為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)p與點(diǎn)b重合令y0，得x 24x30，解得x11，x23 4分點(diǎn)a在點(diǎn)b的右側(cè)

4、，b（1，0），a（3，0）5分p1（1，0）6分當(dāng)點(diǎn)a為直角頂點(diǎn)時(shí)oaoc，aoc90，oad245當(dāng)d2ap290時(shí)，oap245，ao平分d2ap2又p2d2y軸，p2d2ao，p2、d2關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)設(shè)直線ac的函數(shù)關(guān)系式為ykxb，將a（3，0），c（0，3）代入得： 解得yx3d2在yx3上，p2在yx 24x3上設(shè)d2（x，x3），p2（x，x 24x3）(x3)(x 24x3)0，即x 25x60解得x12，x23（舍去）當(dāng)x2時(shí)，yx 24x32 24231p2的坐標(biāo)為p2（2，1）（即為拋物線頂點(diǎn)）9分p點(diǎn)坐標(biāo)為p1（1，0），p2（2，1）10分（3）由題（2）知，當(dāng)點(diǎn)p的

5、坐標(biāo)為p1（1，0）時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為p2（2，1）（即頂點(diǎn)q）時(shí)如圖2，平移直線ap交x軸于點(diǎn)e，交拋物線于點(diǎn)fc(0,3)oabxydpq(2,-1)圖2f1f2e2(p2)e1當(dāng)apfe時(shí)，四邊形apef是平行四邊形p（2，1），可令f（x，1）x 24x31，解得x12，x22故存在以a、p、e、f為頂點(diǎn)的平行四邊形，點(diǎn)f的坐標(biāo)為：f1（2，1），f2（2，1）【例3】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)a（1，0），b（3，0），c（0，1）三點(diǎn)（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)q在y軸上，點(diǎn)p在拋物線上，要使以點(diǎn)q、p、a、b為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿

6、足條件的點(diǎn)p的坐標(biāo)xyobca【解析】 設(shè)該拋物線的表達(dá)式為yax 2bxc，根據(jù)題意，得 解得 所求拋物線的表達(dá)式為yx 2x1（2）當(dāng)ab為邊時(shí)，只要pqab，且pqab4即可又知點(diǎn)q在y軸上，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為4或4，這時(shí)，符合條件的點(diǎn)p有兩個(gè)當(dāng)x4時(shí)，y；當(dāng)x4時(shí)，y7xyobcap1p3q3q1p2q2p1（4，），p2（4，7）當(dāng)ab為對(duì)角線時(shí)，只要線段pq與線段ab互相平分即可又知點(diǎn)q在y軸上，且線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為2，這時(shí)，符合條件的點(diǎn)p只有一個(gè)當(dāng)x2時(shí)，y1p3（2，1）綜上，滿足條件的點(diǎn)p有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為：p1（4，），p2（4，7），p3（2，1）【例4

7、】 已知拋物線yx 2bxc交y軸于點(diǎn)a，點(diǎn)a關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為b（3，4），直線yx與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為c，連結(jié)ob（1）求拋物線的解析式；（2）如圖（1），點(diǎn)p在射線oc上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)bp，設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為x，obp的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖（2），點(diǎn)p在直線oc上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q在拋物線上運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)點(diǎn)p、q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在以o、b、p、q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的情況，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由xyoabcp圖（1）xyoabc圖（2）xyoabc備用圖【解析】 （1）b（3，4），點(diǎn)a與點(diǎn)b關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，a（0，4）xyo

8、abcpd圖（1）把a(bǔ)（0，4）、b（3，4）代入yx 2bxc得： 拋物線的解析式為yx 23x4 （2）如圖（1），連結(jié)ab，作pdy軸，則d（0，x）s梯形abpd ( x3 )(x4 )x 2x6saob 346，sdop xxx 2xyob圖（2）p2p3p1q1p4q2q3(q4)ys梯形abpdsaobsdop x （3）平移線段ob，使點(diǎn)b落在直線yx上，落點(diǎn)為p，點(diǎn)o落在拋物線上，落點(diǎn)為q，則四邊形obpq為平行四邊形設(shè)p（x，x），o（0，0），b（3，4）q（x3，x4）點(diǎn)q在拋物線上，x4( x3 )23( x3 )4整理得：4x 237x400，解得：x8或xp1（8

9、，2），p2（，）平移線段ob，使點(diǎn)o落在直線yx上，落點(diǎn)為p，點(diǎn)b落在拋物線上，落點(diǎn)為q，則四邊形obqp為平行四邊形設(shè)p（x，x），o（0，0），b（3，4），q（x3，x4）點(diǎn)q在拋物線上，x4( x3 )23( x3 )4整理得：4x 211x0，解得：x0（舍去）或xp3（，）平移線段op3，使點(diǎn)p3與點(diǎn)o重合，則點(diǎn)o落在直線yx上點(diǎn)p4處，四邊形opbq為平行四邊形p4（，）綜上所述，符合條件的點(diǎn)p有4個(gè)，分別是：p1（8，2），p2（，），p3（，），p4（，）【例5】 如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)a（2，0），點(diǎn)b（4，0），交y軸于點(diǎn)c（0，4）（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)d

10、的坐標(biāo)；（2）若直線yx交拋物線于m，n兩點(diǎn)，交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)e，連接bc，eb，ec試判斷ebc的形狀，并加以證明；（3）設(shè)p為直線mn上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)p作pfed交直線mn下方的拋物線于點(diǎn)f問(wèn)：在直線mn上是否存在點(diǎn)p，使得以p、e、d、f為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)p及相應(yīng)的點(diǎn)f的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 （1）設(shè)拋物線的解析式為yax 2bxc（a0）點(diǎn)a、b、c均在此拋物線上 所求的拋物線的解析式為yx 2x4 ，頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（1，）（2）ebc的形狀為等腰三角形 證明：（法一）直線mn的函數(shù)解析式為yxon是boc的平分線 b、c兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0

11、），（0，4）cobo4mn是bc的垂直平分線 cebe即ecb是等腰三角形 pf（法二）直線mn的函數(shù)解析式為yxon是boc的平分線coeboe b、c兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，4）cobo4又oeoecoeboe cebe即ecb是等腰三角形 （法三）點(diǎn)e是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x1和直線yx的交點(diǎn)e點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）利用勾股定理可求得ce，becebe 即ecb是等腰三角形 （3）解：存在 pfed要使以p、e、d、f為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，只要使pfed點(diǎn)e是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x1和直線yx的交點(diǎn)e點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）ed1() 點(diǎn)p是直線yx上的動(dòng)點(diǎn)設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為（k，k）則直線

12、pf的函數(shù)解析式為xk點(diǎn)f是拋物線和直線pf的交點(diǎn)f的坐標(biāo)為（k，k 2k4）pfk(k 2k4)k 24 k 24k1 當(dāng)k1時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（1，1），f的坐標(biāo)為（1，）此時(shí)pf與ed重合，不存在以p、f、d、e為頂點(diǎn)的平行四邊形當(dāng)k1時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為（1，1），f的坐標(biāo)為（1，）此時(shí)，四邊形pfde是平行四邊形5、動(dòng)點(diǎn)與梯形問(wèn)題兵法：1利用對(duì)邊平行，進(jìn)行分類(lèi)討論，然后畫(huà)出要求的點(diǎn) 2利用一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)【例1】 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線的解析式是yx 21，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（4，0），平行四邊形oabc的頂點(diǎn)a，b在拋物線上，ab與y軸交于點(diǎn)m，已知點(diǎn)q（x，y）在拋

13、物線上，點(diǎn)p（t，0）在x軸上（1）寫(xiě)出點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）當(dāng)四邊形cmqp是以mq，pc為腰的梯形時(shí)求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；當(dāng)梯形cmqp的兩底的長(zhǎng)度之比為1 : 2時(shí)，求t的值xyobca11pqm【解析】 （1）oabc是平行四邊形，aboc，且aboc4a，b在拋物線上，y軸是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，a，b的橫坐標(biāo)分別是2和2代入yx 21，得a（2，2），b（2，2）m（0，2）（2）過(guò)點(diǎn)q作qhx軸于h，連接cm則qhy，phxt由phqcom，得：，即tx2yq（x，y）在拋物線yx 21上tx 2x2 當(dāng)點(diǎn)p與點(diǎn)c重合時(shí)，梯形不存在，此時(shí)，t4，解得x1當(dāng)q與b或a重

14、合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)，x2x的取值范圍是x1且x2的所有實(shí)數(shù)分兩種情況討論：）當(dāng)cmpq時(shí)，則點(diǎn)p在線段oc上cmpq，cm2pq，點(diǎn)m縱坐標(biāo)為點(diǎn)q縱坐標(biāo)的2倍即22(x 21)，解得x0t02022 ）當(dāng)cmpq時(shí)，則點(diǎn)p在oc的延長(zhǎng)線上cmpq，cmpq，點(diǎn)q縱坐標(biāo)為點(diǎn)m縱坐標(biāo)的2倍即x 2122，解得：x 當(dāng)x時(shí)，得t()228當(dāng)x時(shí)，得t()228【例2】 如圖，在菱形abcd中，ab2cm，bad60，e為cd邊中點(diǎn)，點(diǎn)p從點(diǎn)a開(kāi)始沿ac方向以每秒cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)q從點(diǎn)d出發(fā)沿db方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)p到達(dá)點(diǎn)c時(shí)，p，q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（

15、1）當(dāng)點(diǎn)p在線段ao上運(yùn)動(dòng)時(shí)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示op的長(zhǎng)度；若記四邊形pbeq的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（2）顯然，當(dāng)x0時(shí)，四邊形pbeq即梯形abed，請(qǐng)問(wèn)，當(dāng)p在線段ac的其他位置時(shí)，以p，b，e，q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由oeacqdbp【解析】 （1）由題意得bao30，acbdab2，obod1，oaocopx 如圖1，過(guò)點(diǎn)e作ehbd于h，則eh為cod的中位線ehoc，dqx，bq2xoeacqdbh圖1pysbpq sbeq (2x)(x)x 2x （2）能成為梯形，分三種情況：）如

16、圖2，當(dāng)pqbe時(shí)，pqodbe30圖2oeacqdbhptan30即，x此時(shí)pb不平行qe，x時(shí)，四邊形pbeq為梯形）如圖3，當(dāng)pebq時(shí)，p為oc中點(diǎn)ap，即x，x此時(shí)，bq2xpe，x時(shí)，四邊形peqb為梯形）如圖4，當(dāng)qebp時(shí)，qehbpo，x1（x0舍去）此時(shí)，bq不平行于pe，x1時(shí)，四邊形peqb為梯形綜上所述，當(dāng)x或或1時(shí)，以p，b，e，q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形圖3oeacqdbhp圖4oeacqdbhp【例3】 如圖1，直線ab交x軸于點(diǎn)a（2，0），交拋物線yax 2于點(diǎn)b（1，），點(diǎn)c到oab各頂點(diǎn)的距離相等，直線ac交y軸于點(diǎn)d（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)x0時(shí)，

17、在直線oc和拋物線上是否分別存在點(diǎn)p和點(diǎn)q，使四邊形dopq是特殊的梯形？若存在，求點(diǎn)p、q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）如圖2，拋物線的解析式和點(diǎn)d的坐標(biāo)不變當(dāng)x0時(shí)，在直線ykx（0k1）和拋物線上是否分別存在點(diǎn)p和點(diǎn)q，使四邊形dopq是以od為底的等腰梯形？若存在，求點(diǎn)p、q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由oabxycd圖1oxyd圖2【解析】 （1）拋物線yax 2經(jīng)過(guò)點(diǎn)b（1，），a1 2，a拋物線的解析式為yx 2（2）設(shè)直線ab的解析式為yk1xb1，它過(guò)點(diǎn)a（2，0），b（1，） 解得yx又點(diǎn)c到oab各頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)c是oab三邊的垂直平分線的交點(diǎn)如圖1，連結(jié)bc并延長(zhǎng)

18、交oa于a，則beoa，oeae點(diǎn)e的坐標(biāo)為（1，0）在rtoec中，ceoetan30，c（1，）設(shè)直線oc的解析式為yk2x，則k21，k2yx設(shè)直線ac的解析式為yk3xb3，則 解得yx直線ac交y軸于點(diǎn)d，則點(diǎn)d（0，），od當(dāng)odpq時(shí)，dqop時(shí)，四邊形dopq為等腰梯形（如圖1）oabxycd圖1e由題意得，ocd為等邊三角形，cdocodq是直線ad與拋物線的交點(diǎn)由xx 2，解得x11（舍去），x2當(dāng)x時(shí)，x 2點(diǎn)q的坐標(biāo)為（，）oabxycd圖2當(dāng)x時(shí)，x點(diǎn)p的坐標(biāo)為（，）odq90時(shí)，四邊形dopq為直角梯形（如圖2）過(guò)點(diǎn)d（0，）且平行x軸的直線交拋物線于點(diǎn)qx 2，解

19、得x1（舍去），x2點(diǎn)q的坐標(biāo)為（，）把x代入直線yx中，得y點(diǎn)p的坐標(biāo)為（，）當(dāng)dqop時(shí)，odpq時(shí)，四邊形dopq為等腰梯形（如圖1）過(guò)點(diǎn)d（0，）且平行于oc的直線為x，交拋物線于點(diǎn)qxx 2，解得x1（舍去），x21把x1代入yx 2中，得y點(diǎn)q的坐標(biāo)為（1，）（與點(diǎn)b重合）又ocd為等邊三角形，docbpo60設(shè)過(guò)點(diǎn)q（1，）且平行于ad的直線為yxb，交oc于點(diǎn)p，則byxxx，解得x2把x2代入yx中，得y點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，）opq90時(shí)，四邊形dopq為直角梯形由以上解法知，點(diǎn)q的坐標(biāo)（1，）（與點(diǎn)b重合），過(guò)b與oc垂直的直線為ab，設(shè)oc與ab的交點(diǎn)為p則 解得點(diǎn)p的坐標(biāo)

20、為（，）綜上所述：當(dāng)p1（，），q1（，）和p2（2，），q2（1，）（與點(diǎn)b重合）時(shí)，四邊形dopq為等腰梯形；當(dāng)p3（，），q3（，）和p4（，），q4（1，）（與點(diǎn)b重合）時(shí)，四邊形dopq為直角梯形oxyd圖3gqhp（3）設(shè)od的中點(diǎn)為g，則g（0，）如圖3，過(guò)點(diǎn)g作ghy軸，交直線ykx于點(diǎn)h，連結(jié)dh，則h（，）設(shè)直線dh的解析式為yk4xb4，則解得直線dh的解析式為ykx直線dh與拋物線相交于點(diǎn)q，x 2kx解得x1（舍去），x2點(diǎn)q的坐標(biāo)為（，）點(diǎn)p的坐標(biāo)為（，）【例4】 如圖，四邊形abco是平行四邊形，ab4，ob2，拋物線過(guò)a、b、c三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)d一動(dòng)點(diǎn)p以

21、每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從b點(diǎn)出發(fā)沿ba向點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)a停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)q從點(diǎn)d出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿dc向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)p同時(shí)停止（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與ab交于點(diǎn)e，與x軸交于點(diǎn)f，當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí)，四邊形poqe是等腰梯形？oabycxd【解析】 （1）四邊形abco是平行四邊形，ocab4a（4，2），b（0，2），c（4，0），拋物線yax 2bxc過(guò)點(diǎn)b，c2 由題意，有 解得 所求拋物線的解析式為yx 2x2 oabycxdepfq（2）將拋物線的解析式配方，得y(x2)2拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x2 d（8，0），e（2，2），f（2，0）

22、欲使四邊形poqe為等腰梯形，則有opqe，即bpfqt63t，即t 【例5】 如圖，二次函數(shù)yx 2pxq（p0）的圖象與x軸交于a、b兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c(0，1)，abc的面積為（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）過(guò)y軸上的一點(diǎn)m(0，m)作y軸的垂線，若該垂線與abc的外接圓有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)d，使四邊形acbd為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)d的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由oacxyb【解析】 （1）二次函數(shù)yx 2pxq的圖象與y軸交于點(diǎn)c(0，1)102p0q，q1yx 2px1 設(shè)點(diǎn)a(x1，0)，b(x2，0)，且x1x2則x1、x2是方程x

23、 2px10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根方法一：由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2p，x1x21abc的面積為，aboc即(x2x1)，x2x1(x2x1)2，即(x2x1)24x1x2(p)24，解得pp0，p 所求二次函數(shù)的關(guān)系式為yx 2x1 方法二：由求根公式得x1，x2abx2x1abc的面積為，即(x2x1)，解得pp0，p所求二次函數(shù)的關(guān)系式為yx 2x1（2）令x 2x10，解得x1，x22a(，0)，b(2，0) 如圖1，在rtaoc中，ac 2oa 2oc 2()212oacxyby y圖1在rtboc中，bc 2ob 2oc 222125ab，ac 2bc 25ab 2abc是直角三角形 abc

24、的外接圓的圓心是斜邊ab的中點(diǎn)abc的外接圓的半徑rab垂線與abc的外接圓有公共點(diǎn)m（3）存在 若adbc，設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(x0，x02x01)(x00)過(guò)點(diǎn)d作dex軸于e，如圖2方法一：oacxyb圖2ed在rtaed中，tandae在rtboc中，tancbodaecbo，tandaetancbo，即4x028x050解得x0或x0x00，x0，x02x01()21d(，)ad 2ae2de 2()2()2bc 2當(dāng)adbc時(shí)，在該二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)d(，)，使四邊形acbd為直角梯形方法二：oacxyb圖3df在rtaed與rtboc中daecbo，rtaedrtboc，即以下同

25、方法一若acbd，設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(x0，x02x01)(x00)過(guò)點(diǎn)d作dfx軸于f，如圖3在rtdfb中，tandbf在rtcoa中，tancao2dbfcao，tandbftancao2，即2x02x0100解得x0或x02x00，x0，x02x01()2()19d(，9)bdac，當(dāng)acbd時(shí)，在該二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)d(，9)，使四邊形acbd為直角梯形綜上所述，在該二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)d，使四邊形acbd為直角梯形，并且點(diǎn)d的坐標(biāo)為(，)或(，9) 6、動(dòng)點(diǎn)與其他四邊形【例1】 在直角梯形oabc中，cboa，coa90，cb3，oa6，ba分別以oa、oc邊所在直線為x軸、y軸

26、建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點(diǎn)b的坐標(biāo)；（2）已知d、e分別為線段oc、ob上的點(diǎn)，od5，oe2eb，直線de交x軸于點(diǎn)f求直線de的解析式；（3）點(diǎn)m是（2）中直線de上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)n，使以o、d、m、n為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)n的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由eoyxcbafd圖1備用圖eoyxcbafd【解析】 如圖1，作bhx軸于點(diǎn)h，則四邊形ohbc為矩形ohcb3 ahoaoh633，在rtabh中，bh6 點(diǎn)b的坐標(biāo)為（3，6）（2）如圖1，作egx軸于點(diǎn)g，則egbhoegobh oe2eboyxcbeafmnghpd圖1

27、，og2，eg4點(diǎn)e的坐標(biāo)為（2，4）又設(shè)直線de的解析式為ykxb則 解得k，b5直線de的解析式為yx5 （3）存在如圖1，當(dāng)oddmmnno5時(shí)，四邊形odmn為菱形作mpy軸于點(diǎn)p，則mpx軸，mpdfod，又當(dāng)y0時(shí)，x50，解得x10f點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），of10在rtodf中，fd，mp，pd點(diǎn)m的坐標(biāo)為（，5）點(diǎn)n的坐標(biāo)為（，）oyxcbeafmnp圖2如圖2，當(dāng)oddnnmmo5時(shí)，四邊形odnm為菱形延長(zhǎng)nm交x軸于點(diǎn)p，則mpx軸點(diǎn)m在直線yx5上，設(shè)m點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a5）在rtopm中，op 2pm 2om 2，a 2( a5 )25 2解得a14，a20（舍去），

28、點(diǎn)m的坐標(biāo)為（4，3）yxcbeafmnd圖3p點(diǎn)n的坐標(biāo)為（4，8）如圖3，當(dāng)ommddnno時(shí)，四邊形omdn為菱形連接nm，交od于點(diǎn)p，則nm與od互相垂直平分ym yn op，xm 5xm 5，xn xm 5點(diǎn)n的坐標(biāo)為（5，）綜上所述，x軸上方的點(diǎn)n有三個(gè)，分別為n1（，），n2（4，8），n3（5，）【例2】 如圖，abcd在平面直角坐標(biāo)系中，ad6，若oa、ob的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x 27x120的兩個(gè)根，且oaob（1）求sinabc的值（2）若e為x軸上的點(diǎn)，且saoe ，求經(jīng)過(guò)d、e兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷aoe與dao是否相似？（3）若點(diǎn)m在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則

29、在直線ab上是否存在點(diǎn)f，使以a、c、f、m為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出f點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由xyadboc【解析】 （1）解方程x 27x120，得x13，x24oaob，oa4，ob3 在rtaob中，ab5sinabc （2）點(diǎn)e在x軸上，saoe ，oaoe，即4oe，oee（，0）或e（，0）由已知可知d（6，4）設(shè)經(jīng)過(guò)d、e兩點(diǎn)的直線的解析式為ykxb當(dāng)e（，0）時(shí)，有 解得當(dāng)e（，0）時(shí)，有 解得經(jīng)過(guò)d、e兩點(diǎn)的直線的解析式為y或y 在aoe中，aoe90，oa4，oe在dao中，dao90，oa4，ad6aoedao （3）存在點(diǎn)f，使以a、c、f、m為頂

30、點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)f的坐標(biāo)分別為：f1（3，8），f2（3，0），f3（，），f4（，）10分）當(dāng)ac為菱形的邊長(zhǎng)時(shí)，有三種情形：如圖1，當(dāng)點(diǎn)f1在ba的延長(zhǎng)線上，且accddf1f1a時(shí)，點(diǎn)m與點(diǎn)d重合，四邊形acmf1為菱形，易知此時(shí)點(diǎn)f1的坐標(biāo)為f1（3，8）；如圖2，當(dāng)點(diǎn)f2與點(diǎn)b重合，且accmmf2f2a時(shí)，四邊形acmf2為菱形，此時(shí)點(diǎn)f2的坐標(biāo)為f2（3，0）；如圖3，當(dāng)accf3f3mma時(shí)，四邊形acf3m為菱形由已知可求得直線ab的解析式為，設(shè)點(diǎn)f3的坐標(biāo)為（x，）cf32ac232422525，解得x10（即點(diǎn)a的橫坐標(biāo)），x2（即點(diǎn)f3的橫坐標(biāo)）點(diǎn)f3的縱坐標(biāo)為：，

31、f3（，）當(dāng)ac為菱形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)ac與f4m相交于點(diǎn)n，f4m交y軸于點(diǎn)g，如圖4由已知可求得點(diǎn)n的坐標(biāo)為（，2）rtangrtaoc，即，agog，g（0，）設(shè)直線f4m的解析式為，則，解得，直線f4m的解析式為xyaboc圖1d(m)f1xyadb(f2)ocm圖2聯(lián)立，解得，f4（，）xyadocm圖4bf4ngxyadbocmf3圖3【例3】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，rtaobrtcda，且a（1，0）、b（0，2），拋物線yax 2ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)c（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上是否存在兩點(diǎn)p、q，使四邊形abpq是正方形，若存在，求點(diǎn)p、q的坐標(biāo)；若不存

32、在，請(qǐng)說(shuō)明理由cbadoxy【解析】 （1）由rtaobrtcda，得od213，cd1c點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)c，1a(3)2a(3)2a 拋物線的解析式為yx 2x2 （2）在拋物線（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)p、q，使四邊形abpq是正方形cbadoxypeqg方法一：以ab為邊在ab的右側(cè)作正方形abpq，過(guò)p作peob于e，qgx軸于g，可證pbeaqgbaopeagbo2，beqgao1 8分p點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）由（1）拋物線yx 2x2當(dāng)x2時(shí)，y1；當(dāng)x1時(shí)，y1p、q在拋物線上故在拋物線（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)p（2，1）、q（1，1），使四邊形ab

33、pq是正方形（2）方法二：延長(zhǎng)ca交拋物線于q，過(guò)b作bpca交拋物線于p，連結(jié)pq，設(shè)直線ca、bp的解析式分別為yk1xb1、yk2xb2a（1，0），c（3，1），ca的解析式為yx同理可得bp的解析式為yx2 解方程組 得q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），同理得p點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）由勾股定理得aqbpab，又baq90，四邊形abpq是正方形故在拋物線（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)p（2，1）、q（1，1），使四邊形abpq是正方形方法三：將線段ca沿ca方向平移至aqc（3，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是a（1，0），a（1，0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是q（1，1）；再將線段aq沿ab方向平移至bp，同理可得p（2，1）bac90

34、，abac，四邊形abpq是正方形 由（1）拋物線yx 2x2當(dāng)x2時(shí)，y1；當(dāng)x1時(shí)，y1p、q在拋物線上故在拋物線（對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)）上存在點(diǎn)p（2，1）、q（1，1），使四邊形abpq是正方形【例4】 已知點(diǎn)a、b分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)c、d是某個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形abcd（a、b、c、d各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱(chēng)這個(gè)正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形例如：如圖，正方形abcd是一次函數(shù)yx1圖像的其中一個(gè)伴侶正方形（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)yx1，求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)y（k0），它的圖像的伴侶正方形為abcd，點(diǎn)d（2，m）（m2）在反比例函數(shù)圖像上，求m的值及反比例函