試論序列的拆分與音組含數(shù)的排列原則

1、試論序列的拆分與音組含數(shù)的排列原則 摘要：皮埃爾布列茲是法國(guó)當(dāng)代著名的作曲家、指揮家，它所創(chuàng)立的音級(jí)乘法技術(shù)是二十世紀(jì)作曲理論的一個(gè)代表性體系，這一技術(shù)的產(chǎn)生可能與布列茲自幼喜愛(ài)數(shù)學(xué)，并在該領(lǐng)域取得驕人的成績(jī)有關(guān)。他通過(guò)吸取前人采用簡(jiǎn)易乘法產(chǎn)生新音高材料經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，將其直接或是間接地與數(shù)學(xué)中的“笛卡爾乘積”理論結(jié)合起來(lái)，形成其獨(dú)具特色的技術(shù)方法，這一技術(shù)是對(duì)勛伯格十二音序列技術(shù)的發(fā)展，可以說(shuō)它是十二音序列技術(shù)的升華。本文就將隨著作曲家的思路將音級(jí)乘法技術(shù)中的序列拆分與音組含數(shù)的排列原則進(jìn)行詳盡地分析說(shuō)明，力求論點(diǎn)明確，論據(jù)充分，論證深刻、透徹。 關(guān)鍵詞：布列茲 音級(jí)乘法 序列拆分 音組含數(shù)

2、 排列原則 一、概述 音級(jí)乘法技術(shù)（pitch-class multiplication）是將一個(gè)序列原型（prototype sequence）劃分成若干個(gè)音級(jí)組（frequency groups），而音級(jí)組的產(chǎn)生又是以序列原型中各音級(jí)之間的音程級(jí)（interval class）為依據(jù)，每一個(gè)音級(jí)組包含若干個(gè)音級(jí)，其中包含的音級(jí)個(gè)數(shù)稱其為音組含數(shù)（tone number），再將這些音組含數(shù)進(jìn)行循環(huán)排列，產(chǎn)生出多個(gè)排列形式，所有的排列形式中的音組兩兩相乘派生出更為豐富的音高素材的技術(shù)方法。 二、十二音序列原型的設(shè)計(jì)和拆分依據(jù) 下面以無(wú)主之槌這部作品的序列為例進(jìn)行闡述： 譜例1 無(wú)主之槌的十二音

3、序列原型（prototype sequence） 序列原型的設(shè)計(jì)要考慮到音與音之間的音程級(jí)（interval class，記為ic）關(guān)系，在討論音程級(jí)之前我們要先來(lái)看看兩種相等原則，其一是八度相等的原則，其二是同音異名相等的原則。在這樣兩種相等原則的邏輯下，音程級(jí)的概念就能明確的進(jìn)行定義，即是指由兩個(gè)音之間形成的音級(jí)數(shù)算數(shù)差的絕對(duì)值，如上例中按照音級(jí)集合原理，假定c音的音級(jí)數(shù)用數(shù)字0來(lái)表示（標(biāo)記為：pn0），那么第一個(gè)音就應(yīng)標(biāo)記為“pn3”，第二個(gè)音應(yīng)標(biāo)記“pn5”，這樣，第一個(gè)音與第二個(gè)音的音程級(jí)應(yīng)為3-5，故其音程級(jí)就為“2”。實(shí)際上也可以表達(dá)為音程中所包半音的個(gè)數(shù)，但我們發(fā)現(xiàn)第三個(gè)與第四

4、個(gè)音它們所包含的半音數(shù)為“11”，像這種半音個(gè)數(shù)超過(guò)“6”的情況，在音級(jí)集合原理中我們認(rèn)為反行關(guān)系（mod12）為等值的原則把所有的音程簡(jiǎn)化為6個(gè)音程級(jí)，所以像上面提到的這種情況就視為12-11=1，所以它的音程級(jí)就等于“1”。由以上這些理論就可以得到如上例中所示的音程級(jí)的數(shù)字標(biāo)記。 從以上譜例中可以看出，在這個(gè)十二音序列原型中兩音之間所包含的音程級(jí)有1、2、3、4四種，這就構(gòu)成了音組拆分的依據(jù)，它們一一對(duì)應(yīng)拆分后音組中所包含的音級(jí)數(shù)量，我們將這種音組中包含的音級(jí)數(shù)量稱為音組含數(shù)（tone number），記為（tn）。由此可以得出，如果將上例的十二音序列拆分，所得到的音組含數(shù)最少為一個(gè)音，最

5、多為四個(gè)音，我們將音組中含音級(jí)數(shù)量最少的音組含數(shù)稱為最小音組含數(shù)，標(biāo)記為tn（min），并且稱含音級(jí)數(shù)量最多的音組含數(shù)為最大音組含數(shù)，標(biāo)記為tn（max）。 由于一個(gè)完整的序列原型共包含十二個(gè)音，雖然我們將這些音進(jìn)行了重新拆分組合，但它們的數(shù)量相加還是應(yīng)該等于十二，再有，拆分后的音組含數(shù)又是以序列原型中出現(xiàn)的音程級(jí)為依據(jù)，由此音組的拆分就存在三種情況：第一，由序列原型中出現(xiàn)的音程級(jí)的數(shù)字相加不足12的情況，稱之為不足拆分（insufficient separation），為使其音的總數(shù)相加等于12，就將12減去各音程級(jí)數(shù)字相加后的差數(shù)獨(dú)立成為一個(gè)音組。第二，由序列原型中出現(xiàn)的音程級(jí)的數(shù)字相加剛

6、好12的情況，稱之為充足拆分（sufficient separation）。第三，由序列原型中出現(xiàn)的音程級(jí)的數(shù)字相加超過(guò)12的情況，稱之為過(guò)度拆分（exceeded separation）。 以上三種情況中前兩種情況屬于準(zhǔn)有效拆分（quasi-valid separation），所謂準(zhǔn)有效拆分就說(shuō)明只滿足這種條件是不夠的，還得同時(shí)滿足其它條件才能成立，所需的其它條件將在下文中進(jìn)行討論。第三種情況由于音程級(jí)數(shù)字相加超過(guò)了12，由于一個(gè)序列原型中音的總數(shù)只有12個(gè)，所以這種拆分屬于無(wú)效拆分（invalid separation），無(wú)效拆分就不在我們的討論之例了。 譜例1中由于音程級(jí)數(shù)字1+2+3+

7、4=10，故這種情況屬于不足拆分，則將剩下的差數(shù)分成一組，即是12-10=2。據(jù)此，得到序列原型拆分后的音組含數(shù)分別為：tn1、tn2、tn3、tn4、tn2。 三、拆分后音組含數(shù)的排列原則 經(jīng)過(guò)前面的分析我們知道，譜例1中的音程級(jí)數(shù)字相加不足12，為不足拆分，它屬于準(zhǔn)有效拆分，其音組含數(shù)分別為：tn1、tn2、tn3、tn4、tn2。那么，要證明該拆分為有效拆分（valid separation）還必須同時(shí)滿足第二個(gè)條件，那就是音組含數(shù)必須要能夠按對(duì)稱原則進(jìn)行排列，下例就是能夠以一個(gè)音組含數(shù)為對(duì)稱中心對(duì)稱的排列。 譜例2 以音組含數(shù)tn2為對(duì)稱中心對(duì)稱的排列 sm（tn2） 上例是以tn2為

8、對(duì)稱中心（symmetry），記為：sm（tn2），以它為鏡面前后音組含數(shù)相加的和數(shù)分別是4+1=5，2+3=5對(duì)稱，由此可以得出其對(duì)稱中心兩端的和數(shù)是“5”，我們將這種沿對(duì)稱中心對(duì)稱的和數(shù)稱為對(duì)稱數(shù)字（asymmetrical digital），簡(jiǎn)略記為asd。該排列的對(duì)稱數(shù)字為“5”，記為：asd5。根據(jù)上述對(duì)稱數(shù)字的推導(dǎo)方法我們可以得出對(duì)稱數(shù)字的計(jì)算公式為：（12-對(duì)稱中心sm）2。 根據(jù)以上的分析，我們可以得出無(wú)主之槌的序列原型按音程級(jí)數(shù)字（即音組含數(shù)）進(jìn)行的拆分為有效拆分，這種按照一個(gè)對(duì)稱中心和對(duì)稱數(shù)字為順序的拆分方式形成的音組含數(shù)序列叫做排列（arrangement），簡(jiǎn)略記為ag

9、。那么上面的排列就可以記為：ag【sm（tn2），asd5】，讀作：對(duì)稱中心為tn2，對(duì)稱數(shù)字為5的排列。 那么，排列ag【sm（tn2），asd5】就只有tn2/tn4/tn2/tn1/tn3這一種情況嗎？根據(jù)鏡面對(duì)稱原理，顯然不只是這一種情況，我們可以得出若干種排列形式。 tn1、tn2、tn2、tn3、tn4 tn1、tn3、tn2、tn2、tn4 tn2、tn1、tn2、tn4、tn3 tn3、tn1、tn2、tn4、tn2 tn3、tn4、tn2、tn1、tn2 tn4、tn2、tn2、tn3、tn1 tn4、tn3、tn2、tn2、tn1 加上譜例2上的排列形式總共8種，其具體排列

10、方法為：首先取第一個(gè)音組含數(shù)為tn1，那么第五個(gè)音組含數(shù)一定為tn4，第二個(gè)音組含數(shù)就存在兩種情況，如果第二個(gè)音組含數(shù)為tn2，第四個(gè)音組含數(shù)則為tn3；如果第二個(gè)音組含數(shù)為tn3的話，那么第四個(gè)音組含數(shù)則必定為tn2。 圖表1 排列ag【sm（tn2），asd5】的所有排列形式的可能性 根據(jù)上面的推導(dǎo)過(guò)程，可以得出上述的排列ag【sm（tn2），asd5】總共有八種排列形式，為了使排列表達(dá)得更加清楚，下面筆者將對(duì)每一種排列形式都進(jìn)行更為科學(xué)地命名。 以tn2為第一個(gè)音組含數(shù)的排列形式（arrangement form，簡(jiǎn)略記為af）稱為排列形式tn2，標(biāo)記為af（tn2）。由于每一個(gè)音組含數(shù)

11、為首的排列都有兩種不同的排列形式，如：tn2/tn1/tn2/tn4/tn3；tn2/tn4/tn2/tn1/tn3，我們將第二個(gè)音組含數(shù)較小的排列下標(biāo)min，第二個(gè)音組含數(shù)較大的排列下標(biāo)max，所以，以tn2為第一個(gè)音組含數(shù)的排列形式就有兩種情況，第一種是排列形式為tn2/tn1/tn2/tn4/tn3，記為ag【sm（tn2），asd5】af（tn2min），第二種是排列形式為tn2/tn4/tn2/tn1/tn3，記為ag【sm（tn2），asd5】af（tn2max），即為譜例1-2-2的排列形式的準(zhǔn)確命名。這樣一來(lái)，每一種排列的各排列形式都有獨(dú)一無(wú)二的名稱，也就是說(shuō)每一個(gè)排列的名稱都

12、對(duì)應(yīng)著唯一的排列形式。 上面談到的都是以tn2為對(duì)稱中心，那么還可不可以以其它音組含數(shù)為對(duì)稱中心呢？根據(jù)求得對(duì)稱數(shù)字的公式我們可以得出，如果對(duì)稱中心為奇數(shù)的話求得的對(duì)稱數(shù)字就為小數(shù)，而所有的音組含數(shù)都是整數(shù)，不可能是小數(shù)，所以不能以tn1和tn3為對(duì)稱中心。而以tn4為對(duì)稱中心則是可行的，如果對(duì)稱中心為sm（tn4），那么其對(duì)稱數(shù)字就應(yīng)為：（12-4）2=4，故對(duì)稱數(shù)字為“4”，記為：asd4。接下來(lái)我們還需要論證對(duì)稱中心為tn4，對(duì)稱數(shù)字為asd4的排列在序列原型的音組含數(shù)范圍內(nèi)是否成立？我們知道序列原型的音組含數(shù)（tn）分別為：tn1、tn2、tn3、tn4、tn2，可以得出除對(duì)稱中心tn

13、4以外，2+2=4，1+3=4，對(duì)稱數(shù)字asd4是成立的，它們剛好將序列原型中的五個(gè)音組含數(shù)全部包含在其中了，故對(duì)稱中心為tn4，對(duì)稱數(shù)字為asd4的排列是成立的，可以將其標(biāo)記為ag【sm（tn4），asd4】。 譜例3 以音組含數(shù)tn4為對(duì)稱中心對(duì)稱的排列形式ag【sm（tn4），asd4】af（tn1） sm（tn4） 上例是排列ag【sm（tn4），asd4】的一種排列形式，其它排列形式如下： tn2、tn1、tn4、tn3、tn2 tn2、tn3、tn4、tn1、tn2 tn3、tn2、tn4、tn2、tn1 加上譜例3上的排列形式總共4種，這里的排列形式為何又只有四種呢？從上面羅列的

14、排列形式不難看出，如果第一個(gè)音組含數(shù)為tn1，第五個(gè)音組含數(shù)一定為tn3，那么第二個(gè)音組和第四個(gè)音組含數(shù)就都為tn2，所以這種排列就沒(méi)有最大排列形式和最小排列形式之分，它可以直接記為ag【sm（tn4），asd4】af（tn1）；如果第一個(gè)音組含數(shù)為tn2，第五個(gè)音組含數(shù)一定為tn2，那么第二個(gè)音組和第四個(gè)音組含數(shù)就分別為tn3和tn1，所以這種排列就有最大排列形式和最小排列形式兩種，tn2/tn1/tn4/tn3/tn2記為ag【sm（tn4），asd4】af（tn2min），tn2/tn3/tn4/tn1/tn2記為ag【sm（tn4），asd4】af（tn2max）；如果第一個(gè)音組含數(shù)為

15、tn3，第五個(gè)音組含數(shù)一定為tn1，那么第二個(gè)音組和第四個(gè)音組含數(shù)就都為tn2，所以，這種排列也沒(méi)有最大排列形式和最小排列形式之分，可以直接記為ag【sm（tn4），asd4】af（tn3）。 為了更加直觀的表述排列ag【sm（tn4），asd4】的所有排列形式的可能性，可參看如下圖所示的圖表。 圖表2 排列ag【sm（tn4），asd4】的所有排列形式的可能性 以上是序列原型拆分后排列形式的所有可能性，它包括排列ag【sm（tn2），asd5】的8種排列形式以及排列ag【sm（tn4），asd4】的4種排列形式共12種。每一種排列形式都可以成為音級(jí)乘法運(yùn)算的一個(gè)原始素材，可以說(shuō)它是構(gòu)成作品音高材料的種子。如何在音級(jí)乘法的運(yùn)算過(guò)程中運(yùn)用這些素材將在接下來(lái)的理論中進(jìn)一步談到。 四、結(jié)語(yǔ) 布列茲是二十世紀(jì)整體序列音樂(lè)最重要的代表人物之一，他熱衷于現(xiàn)代音樂(lè)的創(chuàng)作和實(shí)驗(yàn)，是當(dāng)代先鋒派作曲家中的佼佼者。其創(chuàng)始的“音級(jí)乘法”技術(shù)使其音樂(lè)大膽而激進(jìn)，狂熱而不失秩序，他將理性思維與音樂(lè)表現(xiàn)完美地結(jié)合在一起。音級(jí)乘法技術(shù)開(kāi)啟了音樂(lè)創(chuàng)作的一種新的思維模式，為后來(lái)的技術(shù)理論提供了一些可供