代數(shù)精度插值求積及復(fù)化公式

1、 b a aFbFdxxfI )()()( 但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實(shí)際使用上述求積分方法時(shí)，往但是，在工程技術(shù)領(lǐng)域，在實(shí)際使用上述求積分方法時(shí)，往 往會(huì)遇到下面情況：往會(huì)遇到下面情況： 1. 函數(shù)函數(shù)f (x)沒有具體的解析表達(dá)式，只有一些由實(shí)驗(yàn)測(cè)試沒有具體的解析表達(dá)式，只有一些由實(shí)驗(yàn)測(cè)試 數(shù)據(jù)形成的表格或數(shù)據(jù)形成的表格或 圖形。圖形。 關(guān)于定積分的計(jì)算，我們知道，只要求出關(guān)于定積分的計(jì)算，我們知道，只要求出f (x)的一個(gè)原的一個(gè)原 函數(shù)函數(shù)F(x)，就可以利用牛頓，就可以利用牛頓萊布尼慈（萊布尼慈（Newton-Leibniz）公）公 式出定積分值：式出定積分值： 3. f (x) 的結(jié)

2、構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，即不定積分難求。的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，求原函數(shù)困難，即不定積分難求。 等 32 1, ln 1 ,sin, sin )( 2 x x xe x x xf x 2. f (x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，如：的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示出來，如： 由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算方法，進(jìn)由于以上種種原因，因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算方法，進(jìn) 而建立起上機(jī)計(jì)算定積分的算法。此外，數(shù)值積分也是研究微而建立起上機(jī)計(jì)算定積分的算法。此外，數(shù)值積分也是研究微 分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。分方程和積分方程的數(shù)值解法的基礎(chǔ)。 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分 1.1 構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思

3、想構(gòu)造數(shù)值求積公式的基本思想 定積分定積分I=ab f (x)dx在幾何上為在幾何上為x=a, x=b, y=0和和y=f (x)所圍成的曲所圍成的曲 邊梯形的面積。定積分計(jì)算之所以困難，是不規(guī)則圖形的面積。由邊梯形的面積。定積分計(jì)算之所以困難，是不規(guī)則圖形的面積。由 積分中值定理，對(duì)連續(xù)函數(shù)積分中值定理，對(duì)連續(xù)函數(shù)f (x)，在區(qū)間，在區(qū)間a, b 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ， 使：使： )()()( fabdxxfI b a 也就是說也就是說,曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積I 恰好等于恰好等于 底為底為b-a, 高為高為f ( )的規(guī)則圖形的規(guī)則圖形矩形的面矩形的面 積積(圖圖7-1),

4、 f ( )為曲邊梯形的平均高度為曲邊梯形的平均高度,然然 而點(diǎn)而點(diǎn) 的具體位置一般是不知道的的具體位置一般是不知道的,因此難因此難 以準(zhǔn)確地求出以準(zhǔn)確地求出f ( )的值。但是的值。但是,由此可以得由此可以得 到這樣的啟發(fā)到這樣的啟發(fā),只要能對(duì)平均高度只要能對(duì)平均高度f ( )提供提供 一種近似算法一種近似算法,便可以相應(yīng)地得到一種數(shù)便可以相應(yīng)地得到一種數(shù) 值求積公式。值求積公式。 圖圖7-1 )(xfy )(f 如用兩端點(diǎn)的函數(shù)值如用兩端點(diǎn)的函數(shù)值f (a)與與f (b)取算術(shù)平均值作為平均高度取算術(shù)平均值作為平均高度f ( ) 的近似值的近似值,這樣可導(dǎo)出求積公式：這樣可導(dǎo)出求積公式：

5、更一般地在區(qū)間更一般地在區(qū)間a, b 上適當(dāng)選取某些點(diǎn)上適當(dāng)選取某些點(diǎn)xk (k=0,1,n), 然后然后 用用f (xk) 的加權(quán)平均值近似地表示的加權(quán)平均值近似地表示f ( ),這樣得到一般的求積公式：這樣得到一般的求積公式： 1)-(7 )()( 0 n n k kk b a IxfAdxxfI 其中其中,點(diǎn)點(diǎn)xk 稱為求積節(jié)點(diǎn)稱為求積節(jié)點(diǎn),系數(shù)系數(shù)Ak 稱為求積系數(shù)，稱為求積系數(shù)，Ak 僅僅與節(jié)僅僅與節(jié) 點(diǎn)點(diǎn)xk 的選取有關(guān)的選取有關(guān),而不依賴于被積函數(shù)而不依賴于被積函數(shù)f (x)的具體形式。的具體形式。 ( )( ( )( ) 2 , ( )() 22 b a b a ba If x

6、 dxf af b abab If x dxba f 梯形公式 取中矩形公式 另一方面定積分的定義，另一方面定積分的定義， 0 0 0 ( )lim() k k n n b kk aMaxx k If x dxf xx 其中其中 xk是是a, b 的每一個(gè)分割小區(qū)間的長度的每一個(gè)分割小區(qū)間的長度,它與它與f (x)無關(guān)無關(guān),去掉去掉 極限極限,由此得到近似計(jì)算公式：由此得到近似計(jì)算公式： n k kk n k kk b a xfAxxfdxxfI 00 )()()( 因此，式（因此，式（7-1）可作為一般的求積公式）可作為一般的求積公式,其特點(diǎn)是將積分問其特點(diǎn)是將積分問 題歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算題

7、歸結(jié)為函數(shù)值的計(jì)算,從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需從而避開了使用牛頓一萊布尼慈公式需 要求原函數(shù)的困難要求原函數(shù)的困難,適合于函數(shù)給出時(shí)計(jì)算積分適合于函數(shù)給出時(shí)計(jì)算積分,也非常便于設(shè)計(jì)也非常便于設(shè)計(jì) 算法算法,便于上機(jī)計(jì)算。便于上機(jī)計(jì)算。 求積公式（求積公式（7-1）的截?cái)嗾`差為：）的截?cái)嗾`差為： 0 ( )( )() n b nnkk a k R fRIIf x dxA f x Rn也稱為也稱為積分余項(xiàng)積分余項(xiàng). 1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度 如果某個(gè)求積公式對(duì)所有次數(shù)不大于如果某個(gè)求積公式對(duì)所有次數(shù)不大于m的多項(xiàng)式都精確成的多項(xiàng)式都精確成 立，而至少對(duì)一個(gè)立，而至少對(duì)一個(gè)m +1次多項(xiàng)式不

8、精確成，則稱該公式具次多項(xiàng)式不精確成，則稱該公式具 有有m次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。為了便于應(yīng)用，一般來說，代數(shù)精度越高，求積公式越好。為了便于應(yīng)用， 由定義由定義1容易得到下面定理。容易得到下面定理。 數(shù)值積分是一種近似計(jì)算數(shù)值積分是一種近似計(jì)算,但其中有的公式能對(duì)較多的函數(shù)但其中有的公式能對(duì)較多的函數(shù) 準(zhǔn)確成立準(zhǔn)確成立,而有的只對(duì)較少的函數(shù)準(zhǔn)確成立。為了反映數(shù)值積分而有的只對(duì)較少的函數(shù)準(zhǔn)確成立。為了反映數(shù)值積分 公式的準(zhǔn)確差別公式的準(zhǔn)確差別,引入代數(shù)精度的概念。引入代數(shù)精度的概念。 試驗(yàn)證梯形公式具有一次代數(shù)精度。試驗(yàn)證梯形公式具有一次代數(shù)精度。 例例

9、1 22 22 223322 2 ,( )1, 1d,(11),. 2 1 ( ),d(),() 222 . 1 ( ),d(),(), 32 ,. 1, b a b a b a fx ba xbaba baba fxxx xbaab ba fxxxxbaab x 解對(duì) 于 梯 形 公 式 當(dāng)時(shí) 左 端右 端此 時(shí) 公 式 精 確 成 立 當(dāng)時(shí) 左 端右 端 公 式 也 精 確 成 立 當(dāng)時(shí) 左 端右 端 此 時(shí) 左 端右 端 即 公 式 對(duì)不 精 確 成 立 故 由 定 理 知 梯 形 公 式.的 代 數(shù) 精 度 為 一 次 定理定理1 一個(gè)求積公式具有一個(gè)求積公式具有m次代數(shù)精度的充分必要

10、條件是該求次代數(shù)精度的充分必要條件是該求 積公式對(duì)積公式對(duì) 1,x,x2,xm 精確成立，而對(duì)精確成立，而對(duì)xm+1不精確成立。不精確成立。 上述過程表明上述過程表明,可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公式可以從代數(shù)精度的角度出發(fā)來構(gòu)造求積公式. 如如,對(duì)于求積公式（對(duì)于求積公式（7-1）,若事先選定一組求積節(jié)點(diǎn)若事先選定一組求積節(jié)點(diǎn)xk (k=0,1,n,), xk可以選為等距點(diǎn)可以選為等距點(diǎn),也可以選為非等距點(diǎn)也可以選為非等距點(diǎn),令公式對(duì)令公式對(duì)f(x)=1,x,xn 精精 確成立確成立,即得：即得： 2)-(7 1 2 11 1100 22 1100 10 n ab xAxAxA ab

11、xAxAxA abAAA nn n nn nn nn n 這是關(guān)于這是關(guān)于A0、A1、An的線性方程組的線性方程組,系數(shù)行列式為范德系數(shù)行列式為范德 蒙行列式蒙行列式,其值不等于零其值不等于零,故方程組存在唯一的一組解。故方程組存在唯一的一組解。 求解方程組求解方程組(7-2)確定求積系數(shù)確定求積系數(shù)Ak,這樣所得到的求積這樣所得到的求積 公式公式(7-1)至少具有至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 例例2 確定求積公式確定求積公式 使其具有盡可能高的代數(shù)精度。使其具有盡可能高的代數(shù)精度。 解：求積公式中含有三個(gè)待定參數(shù)解：求積公式中含有三個(gè)待定參數(shù),可假定近似式（可假定近似式（7-3）的代）的

12、代 數(shù)精度為數(shù)精度為m =2,則當(dāng)則當(dāng)f (x)=1，x，x2時(shí)，式（時(shí)，式（7-3）應(yīng)準(zhǔn)確成立，）應(yīng)準(zhǔn)確成立， 即有：即有： 代回去可得代回去可得： ) 37()() 0()()( 101 hfAfAhfAdxxfI h h 3 4 , 3 )( 3 2 )(0 2 011 11 2 3 11 101 h A h AA AAh h AAh AAAh ) 47()( 3 ) 0( 3 4 )( 3 )( hf h f h hf h dxxf b a 檢查（檢查（7-4）對(duì)）對(duì) m = 3 是否成立是否成立,為此為此,令令 f(x)=x3 代入（代入（7-4）, 此時(shí)左邊此時(shí)左邊 , 3 )(

13、3 33 右邊h h h h ),( 3 )( 3 44 h h h h 右邊左邊 再檢查（再檢查（7-4）對(duì)）對(duì)m=4是否成立是否成立,令令f(x)=x4代入代入(7-4),此時(shí)此時(shí): 因此近似式（因此近似式（7-4）的代數(shù)精度為）的代數(shù)精度為m=3. 由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確切的誤差估計(jì)式，只由待定系數(shù)法確定的求積公式?jīng)]有確切的誤差估計(jì)式，只 能從其所具有的代數(shù)精度去判定求積公式的準(zhǔn)確程度。能從其所具有的代數(shù)精度去判定求積公式的準(zhǔn)確程度。 上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的代數(shù)精度的要上述方法稱為待定系數(shù)法，在具有盡可能高的代數(shù)精度的要 求下，利用它可以得出各種求積公式。求下

14、，利用它可以得出各種求積公式。 設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)a x0 x1 xn-1xn b，且已知，且已知f (x) 在在 這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，則可求這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，則可求 得得f (x)的拉格朗日插值多項(xiàng)式：的拉格朗日插值多項(xiàng)式： n k kkn xlxfxL 0 )()()( 其中其中l(wèi)k(x) 為為n次插值基函數(shù)。取次插值基函數(shù)。取f (x) Ln(x)，則有：，則有： n k k b a k b a n k kk b a n b a xfxxlxxlxfxxLxxfI 0 0 )(d)(d)()(d)(d)( 記：記： 5)-(7 ), 1 , 0( d)( nkxxlA b a

15、 kk n k nkk b a IxfAxxfI 0 )(d)( 則有：則有： 這種求積系數(shù)由式（這種求積系數(shù)由式（7-5）所確定的求積公式稱為插值型求積公式）所確定的求積公式稱為插值型求積公式. 根據(jù)插值余項(xiàng)定理，插值型求積公式的求積余項(xiàng)為：根據(jù)插值余項(xiàng)定理，插值型求積公式的求積余項(xiàng)為： 其中其中 a,b 與與x有關(guān)有關(guān). 6)-(7 d)( )!1( )( d )()( 0 ) 1( b a n k k n b a nnn xxx n f xxLxfIIR 關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。關(guān)于插值型求積公式的代數(shù)精度，有如下定理。 具有具有n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值求積公式（個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)

16、值求積公式（7-1）是插值型求積公式的）是插值型求積公式的 充分必要條件是該公式至少具有充分必要條件是該公式至少具有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 定理定理2說明說明,當(dāng)求積公式（當(dāng)求積公式（7-1）選定求積節(jié)點(diǎn)）選定求積節(jié)點(diǎn)xk后后,確定求積系確定求積系 數(shù)數(shù)Ak有兩條可供選擇的途徑：求解線性方程有兩條可供選擇的途徑：求解線性方程 組（組（7-2）或者計(jì)算）或者計(jì)算 積分（積分（7-5）,即利用即利用n次代數(shù)精度或插值型積分來確定求積系數(shù)次代數(shù)精度或插值型積分來確定求積系數(shù). 由此得到的求積公式都是插值型的由此得到的求積公式都是插值型的,其代數(shù)精度均不小于其代數(shù)精度均不小于n次次. 0 ( )(

17、) (7-1) n b kkn a k If x dxA f xI 證：證：(充分性充分性) 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（7-1）至少具有）至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度,那么那么, 由于插值基函數(shù)由于插值基函數(shù) li(x) (i=0,1,n)均是次數(shù)為均是次數(shù)為n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式,故式（故式（7-1） 對(duì)對(duì)li(x)精確成立精確成立,即即: ( d n iikk iki k 0 b ii a 1ki) l ( x)l ( x )A l ( x )A 0(ki) l ( x) xA(i0,1,n)71 由于滿足： 所以： 故：所以，求積公式是插值型的。 (必要性必要性) 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（7

18、-1）是插值型的，則對(duì)所有次數(shù)不大于）是插值型的，則對(duì)所有次數(shù)不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式f (x)，按（，按（7-6）其求積余項(xiàng)）其求積余項(xiàng)Rn = 0，即這時(shí)插值型求積公，即這時(shí)插值型求積公 式是精確成立的。由定義式是精確成立的。由定義1,n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有 n次代數(shù)精度。（證畢）次代數(shù)精度。（證畢） 例例3 考察求積公式：考察求積公式： 1 1 1 f ( x )dx( f ( 1)2 f (0 )f (1) 2 具有幾次代數(shù)精度具有幾次代數(shù)精度. 次代數(shù)精度。所以此求積公式具有一 右邊左邊時(shí)當(dāng) 右邊左邊時(shí)當(dāng) 右邊公式左邊時(shí)檢查當(dāng)解： 1)

19、1021 ( 2 1 3 2 d ,)( 0) 1021( 2 1 0d ,)( 2) 121 ( 2 1 2d ,1)( 1 1 22 1 1 1 1 xxxxf xxxxf xxf 注：注：n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式不一定具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式不一定具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度.其原因是其原因是 此求積公式不一定是插值型的。此求積公式不一定是插值型的。 例：例： 本節(jié)介紹節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)的插值型求積公式，即牛頓一柯特本節(jié)介紹節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)的插值型求積公式，即牛頓一柯特 斯（斯（Newton-Cotes）公式。）公式。 2.1 牛頓一柯特斯（牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式 設(shè)將積分

20、區(qū)間設(shè)將積分區(qū)間a, b 劃分為劃分為n等分等分,步長步長h=(b-a)/n,求積節(jié)點(diǎn)取為求積節(jié)點(diǎn)取為 xk = a+kh(k=0,1,n),由此構(gòu)造插值型求積公式由此構(gòu)造插值型求積公式,則其求積系數(shù)為則其求積系數(shù)為: 0 nn 0 0 j 0j 0 j kj k ( )dd (0,1,) ( 1) :d()d (0,1,) !()! 引引入入變變換換 則則有有 n bb j kk aa j kj jk nk nn k xx Alxxxknxath xx tjba Ahttjtkn kjnknk 記：記： 7)-(7 ), 1 , 0( d)( )!( ! ) 1( 0 n kj 0j )(

21、nktjt knnk C n kn n k 于是得求積公式則,)( )(n kk CabA 8)-(7 )()( 0 )( n k k n kn xfCabI 稱之為稱之為n階牛頓一柯特斯（階牛頓一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式簡記為簡記為N-C公式公式， 稱稱 為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)為柯特斯系數(shù)。顯然，柯特斯系數(shù)與被積函數(shù)f (x) 和積和積 分區(qū)間分區(qū)間a, b 無關(guān)，且為多項(xiàng)式積分，其值可以事先求出備用。無關(guān)，且為多項(xiàng)式積分，其值可以事先求出備用。 表表7-1中給了了部分柯特斯系數(shù)。中給了了部分柯特斯系數(shù)。 )(n k C 柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù) 表表7-1

22、 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891/28350 8 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 7511/17280 7 41 216 27 272 27 216 411/840 6 19 75 50 50 75 191/288 5 7 32 12 32 71/90 4 1 3 3 11/8 1 4 1 ), 1 ,0( )( nkBAC k n k n A Bk 經(jīng)計(jì)算或查表得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫出對(duì)應(yīng)的牛頓一柯特經(jīng)計(jì)算或查表得到柯特斯系數(shù)后，便可以寫出對(duì)應(yīng)的牛頓一柯特 斯（斯（Newton-Cotes）

23、公式。）公式。 當(dāng)當(dāng)n =1時(shí)時(shí),按公式（按公式（7-7）有：）有： 2 1 2 1 ) 1( ! 1! 01 1 1 0 )1( 1 1 0 )1( 0 tdtCdttC 得求積公式得求積公式： 9)-(7 )()( 2 )()( 1 0 ) 1 ( 1 Tbfaf ab xfCabI k k k 即即梯形公式梯形公式 012 2 2 (2) 0 0 1 2 (2) 1 0 1 2 (2) 2 0 ,(77): 2 ( 1)1 (1)(2) 2 0! 2!6 ( 1)4 (2) 2 1! 1!6 ( 1)1 (2) 2 1! 1!6 ab xa xxb Cttdt Ct tdt Ct tdt

24、 相相應(yīng)應(yīng)的的節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)按按公公式式 當(dāng)當(dāng)n =2時(shí)時(shí) 相應(yīng)的求積公式：相應(yīng)的求積公式： 10)-(7 )( 2 4)( 6 2 Sbf ba faf ab I 稱為稱為辛卜生辛卜生(Simpson)公式公式. 4 4 ( 4 ) 0 0 3 4 ( 4 ) 1 0 2 4 ( 4 ) 2 0 1 4 ( 4 ) 3 0 ( 4 ) 4 (1)7 (1)(2)(3)(4) 40! 4!90 (1)32 (2)(3)(4), 4 1! 3!90 (1)12 (1)(3)(4) 42! 2!90 (1)32 (1)(2)(4), 43! 1!90 (1 Cttttdt Ct tttdt Ct ttt

25、dt Ct tttdt C ， ， 0 4 0 )7 (1)(2)(3) 44! 0!90 t tttdt 當(dāng)當(dāng)n=4時(shí)，所得的公式稱作時(shí)，所得的公式稱作柯特斯公式柯特斯公式，它有五個(gè)節(jié)點(diǎn)，其系數(shù)：，它有五個(gè)節(jié)點(diǎn)，其系數(shù)： 所以柯特斯公式是所以柯特斯公式是： 11)-(7 )(7)(32)(12)(32)(7 90 43210 xfxfxfxfxf ab C (0,1,2,3,4), 4 其其中中 k ba xakh kh 1、與積分區(qū)間無關(guān)與積分區(qū)間無關(guān):當(dāng)當(dāng)n確定后確定后,其系數(shù)和都等于其系數(shù)和都等于1,即即 1 0 )( n k n k C 2、對(duì)稱性對(duì)稱性： )()(n kn n k

26、CC 此特性由表此特性由表7-1很容易看出，對(duì)一般情況可以證明。很容易看出，對(duì)一般情況可以證明。(略略) 3、柯特斯系數(shù)并不永遠(yuǎn)都是正的柯特斯系數(shù)并不永遠(yuǎn)都是正的。 表表7-1看出當(dāng)看出當(dāng)n = 8時(shí)時(shí),出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)出現(xiàn)了負(fù)系數(shù),在實(shí)際計(jì)算中將使舍入誤差增在實(shí)際計(jì)算中將使舍入誤差增 大大,并且往往難以估計(jì)并且往往難以估計(jì), 從而牛頓一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性從而牛頓一柯特斯公式的收斂性和穩(wěn)定性 得不到保證得不到保證,因此實(shí)際計(jì)算中不用高階的。因此實(shí)際計(jì)算中不用高階的。 1 0 2 1 0 0 N -C 1 ! 1 ! n n b nj a j n n xath n n j f Rxxdx n

27、 h ftjdt n n+1個(gè) 節(jié) 點(diǎn) 的求 積 公 式 的 截 斷 誤 差 為 : 2n階階Newton-Cotes公式至少具有公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 我們知道，由我們知道，由n次插值多項(xiàng)式導(dǎo)出的次插值多項(xiàng)式導(dǎo)出的n次牛頓一柯特斯公式至次牛頓一柯特斯公式至 少具有少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度. 由于節(jié)點(diǎn)等距，更進(jìn)一步有以下結(jié)論：由于節(jié)點(diǎn)等距，更進(jìn)一步有以下結(jié)論： 定理定理 證：計(jì)算知由證：計(jì)算知由2n次插值多項(xiàng)式導(dǎo)出的求積公式次插值多項(xiàng)式導(dǎo)出的求積公式 的截?cái)嗾`差為的截?cái)嗾`差為0即可即可. 3 1.NCnn 定理 實(shí)際上是說, n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的公式的代數(shù)精度 為偶時(shí)為 2

28、2 2 2 21 2 0 0 2 2 2122 2 0 0 222222 - N-C 21 ! , =14=0 n n n n n j n n nn n j n n n h Rftjdt n fxxRhtj dt hx xxxndx 2n+1個(gè) 節(jié) 點(diǎn) 的求 積 公 式 的 截 斷 誤 差 為 : 取 例例4 驗(yàn)證辛卜生驗(yàn)證辛卜生(Simpson)公式公式: )() 2 (4)( 6 bf ba faf ab S 具有三次代數(shù)精度。（定理具有三次代數(shù)精度。（定理3直接得到）直接得到） 解：由定理解：由定理2, 3個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值積分公式辛卜生公式至少具有二次個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值積分公式辛卜生公式至少具有二

29、次 代數(shù)精度代數(shù)精度,因此只需檢查對(duì)因此只需檢查對(duì)f (x)=x3成立否。當(dāng)成立否。當(dāng)f (x)=x3時(shí)：時(shí)： 4 )( 2 4)( 6 1 ) 2 (4( 6 )() 2 (4)( 6 4 )( 44 3 2244 333 44 3 ab ab ba baaab b ba a ab bf ba faf ab S ab dxxdxxfI b a b a 而 所以所以I = S，表明辛卜生公式對(duì)于次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成，表明辛卜生公式對(duì)于次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成 立，用同樣的方法可以驗(yàn)證對(duì)于立，用同樣的方法可以驗(yàn)證對(duì)于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此，辛卜生公式不成立，因此 辛

30、卜生公式的代數(shù)精度可以達(dá)到三次。辛卜生公式的代數(shù)精度可以達(dá)到三次。 在幾種低階在幾種低階N-C公式中公式中, 感興趣的是梯形公式（最簡單感興趣的是梯形公式（最簡單,最基本）最基本） 辛卜生公式和柯特斯公式。辛卜生公式和柯特斯公式。 例例5 解：解：由由梯形公式（梯形公式（7-9）： 由由辛卜生公式（辛卜生公式（7-10）得：得： 由由柯特斯公式（柯特斯公式（7-11）得：得： 2449787. 0 11 1 7 9 . 01 1 32 8 . 01 1 12 7 . 01 1 32 6 . 01 1 7 90 6 . 01 22222 CI 事實(shí)上，事實(shí)上，積分的積分的精確值精確值：24497

31、866.0d 1 1 1 6.0 1 6.0 2 arctgxx x I 與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù)與之相比可以看到，柯特斯公式的結(jié)果最好，具有七位有效數(shù) 字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié)字；辛卜生公式的結(jié)果次之，具有四位有效數(shù)字；而梯形公式的結(jié) 果最差果最差,只有兩位有效數(shù)字只有兩位有效數(shù)字。 分別用梯型公式、辛卜生公式和柯分別用梯型公式、辛卜生公式和柯 特斯公式計(jì)算積分：特斯公式計(jì)算積分： 1 6.0 2 d 1 1 x x I 2449546. 0 11 1 8 . 01 1 4 6 . 01 1 6 6 . 01 222 SI 24

32、70588.0 11 1 6 .01 1 2 6 .01 22 TI 考察梯形公式考察梯形公式,按按N-c的截?cái)嗾`差知的截?cái)嗾`差知,梯形公式（梯形公式（7-9） 的余項(xiàng)的余項(xiàng)： 3 1 0 () ()()d 2! =() (1)dt 2! b T a f RITxaxbx ba ft t 這里被積函數(shù)中的因子這里被積函數(shù)中的因子t(t1)在區(qū)間在區(qū)間0, 1 上不變號(hào)（非正），上不變號(hào)（非正）， 故由積分中值定理，在故由積分中值定理，在0, 1 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使：，使： 3 1 3 0 ( )( ) =(1)dt=() , , (7-12) 2!12 T baff Rt tb

33、aa b 2. 對(duì)于辛卜生公式對(duì)于辛卜生公式, (4) 2 5 4(4)(4) ( ) ()() ()d 4!2 ()( )=( ) ( , ) (7-13) 18022880 b S a fab Rxaxxbx bababa ffa b 需要注意的是，關(guān)于牛頓需要注意的是，關(guān)于牛頓-科特斯公式的收斂性，可以證明，科特斯公式的收斂性，可以證明， 并非對(duì)一切連續(xù)函數(shù)并非對(duì)一切連續(xù)函數(shù)f (x),都有：都有： , 也就是說牛頓也就是說牛頓柯特柯特 斯公式的收斂性沒有保證。當(dāng)斯公式的收斂性沒有保證。當(dāng)n趨于無窮時(shí)，它的穩(wěn)定性也沒趨于無窮時(shí)，它的穩(wěn)定性也沒 有保證，因此，在實(shí)際計(jì)算中，一般不采用高階有

34、保證，因此，在實(shí)際計(jì)算中，一般不采用高階(n 8) 的牛頓的牛頓 -柯特斯公式?？绿厮构?。 0lim n n R 3. 柯特斯公式（柯特斯公式（6-10）的余項(xiàng)為）的余項(xiàng)為 )147(, ),( 4945 )(2 )6( 6 baf abab CIRC 在實(shí)際計(jì)算中常用前面三種低價(jià)在實(shí)際計(jì)算中常用前面三種低價(jià)N-C公式，但若積分區(qū)間公式，但若積分區(qū)間 比較大，直接使用以上三種低階求積公式，則精度難以保證；比較大，直接使用以上三種低階求積公式，則精度難以保證； 若增加節(jié)點(diǎn)，就要使用高階的若增加節(jié)點(diǎn)，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當(dāng)公式，然而前面已指出，當(dāng)n 8時(shí)，由于時(shí)，由于N-C

35、公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能 采用高階的公式。事實(shí)上，增加節(jié)點(diǎn)，從插值的角度出發(fā)，必采用高階的公式。事實(shí)上，增加節(jié)點(diǎn)，從插值的角度出發(fā)，必 然會(huì)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，然會(huì)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，一般不采用高現(xiàn)象表明，一般不采用高 次插值，亦即不用高階次插值，亦即不用高階N-C公式。公式。 為提高精度，當(dāng)增加求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，考慮對(duì)為提高精度，當(dāng)增加求積節(jié)點(diǎn)時(shí)，考慮對(duì)被積函數(shù)用分段低次被積函數(shù)用分段低次 多項(xiàng)式近似多項(xiàng)式近似，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。 3.1 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 用分段線性插值函數(shù)來近似被

36、積函數(shù)用分段線性插值函數(shù)來近似被積函數(shù),等于把積分區(qū)間分成等于把積分區(qū)間分成 若干小區(qū)間若干小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積在每個(gè)小區(qū)間上以梯形面積近似曲邊梯形面積,即用即用 梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值梯形公式求小區(qū)間上積分的近似值.這樣求得的近似值顯然比整區(qū)這樣求得的近似值顯然比整區(qū) 間上用梯形公式計(jì)算精度高。間上用梯形公式計(jì)算精度高。 a,bn dd k 1 k k kk 1 n 1n-1 bx kk 1 ax k 0k 0 ba ,h,xakh(k0,1,n). n x ,x(k0,1,n1), h f ( x ) xf ( x ) x f ( x )f ( x) 2

37、 將積分區(qū)間等分 記在每個(gè) 小區(qū)間上用梯形公式并求和 得 15)-(7 )(2)()( 2 )d( 1 1 n n k k b a Txfbfaf h xxf 整理得 式（式（7-15）稱為）稱為復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式。 因?yàn)橐驗(yàn)閒 (x) 在在a, b 連續(xù)，由介值定理，存在連續(xù)，由介值定理，存在(a, b)，使得：，使得： 1 0 )( 1 )( n k k f n f 從而有：從而有： 16)-(7 ),( )( 12 )( 12 d)()( 2 3 bafh ab f n h TxxffR n b a T 這就是這就是復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差. b a n k k

38、nT kkk x x kkk kk f h TxxffR xxf h xfxf h xxf xxbaCxf k k 1 0 3 1 3 1 1 )2( )( 12 )d()( ),( )( 12 )()( 2 d)( ,)( 1 因此： 梯形公式的截?cái)嗾`差為上在小區(qū)間如果 如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用如果用分段二次插值函數(shù)近似被積函數(shù)，即在小區(qū)間上用 Simpson公式計(jì)算積分近似值，就導(dǎo)出復(fù)化公式計(jì)算積分近似值，就導(dǎo)出復(fù)化Simpson公式公式。 22 2 22 2 22221 22122 1 0 221 , ,(0,1,2 ), , 2 ,: ( )d()4()()

39、3 ( )d( )d ()4()( 6 k k k k k kkk x kkk x n bx ax k kk a bnxakh kn ba hxxx n Simpson h fxxfxfxfx fxxfxx h fxfxfx 將 區(qū) 間分 成 2 等 分 分 點(diǎn) 為 小 區(qū) 間的 中 點(diǎn) 為 用公 式 求 積 分 則 有 求 和 得 ： 1 22 0 11 212 01 ) ( )4()2()( ) 3 n k k nn kk kk h fafxfxf b 如果如果f (x) C(4)a, b,由式（由式（7-13）可得復(fù)化）可得復(fù)化Simpson公式的截?cái)嗾`公式的截?cái)嗾` 差為：差為： 11

40、221 00 5 (4) 222 1 ()( )d( )( )2()4() 3 2 () , 2880 nn b Skk a kk n kkkk k h Rff xxf af bf xf x h fxx 整理得：整理得： 式（式（7-17）稱為）稱為復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式。 11 221 10 ( )d ( )( )2()4() (7-17) 3 nn b kkn a kk h f xxf af bf xf xS 因?yàn)橐驗(yàn)閒 (4)(x) 連續(xù)，故存在連續(xù)，故存在 (a, b)，使得：，使得： 4(4) ()( ) ( , ) (7-18) 180 S ba Rfh fa b (4)(

41、4) 1 1 ( )() n k k ff n 若用復(fù)化求積公式計(jì)算積分若用復(fù)化求積公式計(jì)算積分: 的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？應(yīng)取多大？ 1 0 dexI x 解解 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)0 x1時(shí)有時(shí)有0.3e-1e-x1于是：于是： 1de3 .0 1 0 x x 要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字,即要求誤差不超過即要求誤差不超過10-4 / 2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)? 4 2 2 10 2 1 12 )( 12 1 h fhRT 1 , 0 1e)( )( xxf xk 由復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)式：由復(fù)化梯形公式誤差估計(jì)式：

42、式（式（7-18）表明）表明,步長步長h越小越小,截?cái)嗾`差越小截?cái)嗾`差越小.與復(fù)化梯形公式的分與復(fù)化梯形公式的分 析相類似析相類似,可以證明可以證明,當(dāng)當(dāng)n 時(shí)時(shí),用復(fù)化用復(fù)化Simpson公式所求得的近似公式所求得的近似 值收斂于積分值值收斂于積分值,而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性. 4(4) ()( ) ( , ) (7-18) 180 S ba Rfh fa b 例子的計(jì)算結(jié)果表明，為達(dá)到相同的精度，用復(fù)化例子的計(jì)算結(jié)果表明，為達(dá)到相同的精度，用復(fù)化Simpson公公 式所需的計(jì)算量比復(fù)化梯形公式少，這也說明了復(fù)化式所需的計(jì)算量比復(fù)化梯形公式少，這也說明了復(fù)化Simpson

43、公式公式 的精度較高，實(shí)際計(jì)算時(shí)多采用復(fù)化的精度較高，實(shí)際計(jì)算時(shí)多采用復(fù)化Simpson公式。公式。 復(fù)化求積方法又稱為復(fù)化求積方法又稱為定步長定步長方法。復(fù)化求積公式方法。復(fù)化求積公式,根據(jù)預(yù)先給根據(jù)預(yù)先給 定的精度能估計(jì)出合適的步長或定的精度能估計(jì)出合適的步長或 n,進(jìn)而確定對(duì)積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)進(jìn)而確定對(duì)積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù), 如同例如同例7一樣一樣. 然而當(dāng)被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤差估計(jì)式給出合然而當(dāng)被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤差估計(jì)式給出合 適的步長，就要估計(jì)被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的上界值，而這一點(diǎn)是相當(dāng)困難適的步長，就要估計(jì)被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的上界值，而這一點(diǎn)是相當(dāng)困難 的。的。 8 .4010 6 1

44、42 nn即： 因此若用復(fù)化梯形公式求積分因此若用復(fù)化梯形公式求積分,n應(yīng)等于應(yīng)等于41即即41等分才能達(dá)到精度等分才能達(dá)到精度. 若用復(fù)化若用復(fù)化Simpson公式公式,由式（由式（7-18） 4 4 )4( 4 10 2 1 180 )( 180 h f h R S 即得即得n 1.6.故應(yīng)取故應(yīng)取n = 2即即4等分等分. h=1/n h=1/2n 復(fù)化復(fù)化Cotes公式公式 將區(qū)間將區(qū)間a, b分成分成n 等分等分,分點(diǎn)為：分點(diǎn)為： n ab h nkkhax k ),1 ,0( 在每個(gè)小區(qū)間：在每個(gè)小區(qū)間： , 1kk xx 上，共五個(gè)點(diǎn)：上，共五個(gè)點(diǎn)： 1 4 3 4 2 4 1

45、, k kkk k xxxxx 19)-(7 )(7)(14)(32 )(12)(32)(7 90 1 0 1 1 4/3 1 0 1 0 4 24/1 n k n k kk n k n k k kn bfxfxf xfxfaf h C 20)-(7 ),(),( 4945 )(2 )( )6( 6 baf hab CIfR nc 88 1 125, 0,1342. 0 163 18 10 2 1 3 1 12 )()01 ( 123 1 )(,2 1 1 d) 2 cos(max)( d) 2 cos(d)cos()( ,dcos sin )( 3 22 1 0 1 0 10 )( 1 0

46、1 0 )( 1 0 ab hh h f h Rxfk k dttt kn txtxf t k txttxt dx d xf txt x x xf T kk x k k k k k 因此可取 時(shí)當(dāng) 故： 所以由于 1 0 sin dx x x I 要使截?cái)嗾`差不超過要使截?cái)嗾`差不超過10-3 / 2，h應(yīng)取多大？應(yīng)取多大？辛普生公式又怎么樣？辛普生公式又怎么樣？ 用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分用復(fù)化梯形求積公式計(jì)算積分: 作作 業(yè)業(yè) 4 逐次分半算法逐次分半算法(變步長方法變步長方法) 基于復(fù)化求積公式（定步長方法）的缺點(diǎn)，常采用變基于復(fù)化求積公式（定步長方法）的缺點(diǎn)，常采用變 步長方法，即逐步縮小步長，每次將步長縮小一半，或者說步長方法，