2018年優(yōu)課系列高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2 2.5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 課件3

1、 )()()()(xgxfxgxf )()()()(xgxfxgxf 導(dǎo)數(shù)的加減法法則：導(dǎo)數(shù)的加減法法則： )()()()()()(xgxfxgxfxgxf )( )()()()( )( )( xg xgxfxgxf xg xf 2 導(dǎo)數(shù)的乘除法法則：導(dǎo)數(shù)的乘除法法則： 引例引例 一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形一艘油輪發(fā)生泄漏事故，泄出的原油在海面上形 成一個圓形油膜，其面積成一個圓形油膜，其面積 是半徑是半徑 的函數(shù)：的函數(shù)：Sr 油膜半徑油膜半徑 隨著時間隨著時間 的增加而擴(kuò)大，其函數(shù)關(guān)的增加而擴(kuò)大，其函數(shù)關(guān) 系為：系為： tr 2 )(rrfS 12)(ttr 問：油膜面積問

2、：油膜面積 關(guān)于時間關(guān)于時間 的瞬時變化率是多的瞬時變化率是多 少？少？ St 分析：分析： 油膜面積油膜面積 關(guān)于時間關(guān)于時間 的新函數(shù)：的新函數(shù)： St 2 )12()(ttfS )12(4)48()( tttf )144()12()( 2 tttftf 由于由于 所以由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：所以由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得： 2)(,2)(trrrf )()12(2)12(2)(ttfttf 概括概括 一般地，對函數(shù)一般地，對函數(shù) 和和 ， 給定給定 的一個值，可得的一個值，可得 的值，進(jìn)而確定的值，進(jìn)而確定 的值，的值， 這就確定了新函數(shù)這就確定了新函數(shù) ，它是由，它是由 和和 復(fù)合而成的，我們

3、稱之為復(fù)合函復(fù)合而成的，我們稱之為復(fù)合函 數(shù)，其中數(shù)，其中 是中間變量。是中間變量。 )(ufy baxxu)( xyu )(baxfy )(ufy baxxu)( u 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)： )(baxfy )()()()(baxf axufuf 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 中，令中，令 ，則，則)(xfy)(xu )()()(xufxf 注意：注意： 復(fù)合函數(shù)的中間變量可以是任何函數(shù)，在高中復(fù)合函數(shù)的中間變量可以是任何函數(shù)，在高中 階段我們只討論階段我們只討論 的情況。的情況。baxxu)( 推廣：推廣： 注意：注意：不要寫成不要寫成 ！)(xf 對對x求導(dǎo)求導(dǎo) 對對 求導(dǎo)求導(dǎo))(x 利

4、用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時，首先要利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時，首先要 弄清復(fù)合關(guān)系，弄清復(fù)合關(guān)系，而選擇而選擇中間變量中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的 關(guān)鍵。關(guān)鍵。 分析：分析： 令令 ，則函數(shù)是由，則函數(shù)是由 與與 復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 可知：可知： 13)(xxu 2 1 )(uuuf 13)(xxu 解：解： 132 3 3 2 1 )()()13( xu xufx 例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。13 xy 解：解： 令令 ，則函數(shù)是由，則函數(shù)是由 與與 復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 可知：可知：

5、12)(xxu 12)(xxu 3 )(uuf 22 3 )12(623 )()()12( xu xufx 例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。 3 )12(xy （1）首先要首先要弄清復(fù)合關(guān)系弄清復(fù)合關(guān)系，特別要，特別要注意中間變量注意中間變量； （2）盡可能地將函數(shù)盡可能地將函數(shù)化簡化簡，然后再，然后再求導(dǎo)求導(dǎo)； （3）要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與四則運(yùn)算的綜合要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與四則運(yùn)算的綜合 運(yùn)用運(yùn)用； （4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，常被稱為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，常被稱為“鏈條法則鏈條法則”， 一環(huán)套一環(huán)，缺一不可一環(huán)套一環(huán)，缺一不可。 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的注意問題：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的注意問題：

6、 函數(shù)由與函數(shù)由與 復(fù)合而成。復(fù)合而成。 12 100 t y12)(ttx x xf 100 )(分析：分析： 解：解： 令令 ，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可 以求得：以求得： 12)(ttx 例例3 一個港口的某一觀測點(diǎn)的水位在退潮過程中，一個港口的某一觀測點(diǎn)的水位在退潮過程中， 水面高度水面高度 關(guān)于時間關(guān)于時間 的函數(shù)為：的函數(shù)為： 12 100 )( t thy 求其在求其在 時的導(dǎo)數(shù)，并解釋其意義。時的導(dǎo)數(shù)，并解釋其意義。3t t y 22 )12( 200 2 100 )()()()( tx txftfth )/( 49 200 )3(scmh 當(dāng)當(dāng) 時，水面高度下

7、降的速度是時，水面高度下降的速度是 。 scm/ 49 200 3t 解：解：（1）函數(shù)是由）函數(shù)是由 與與 復(fù)合而成的，復(fù)合而成的， )(ufy 2 )(xxu )(sincoscos)()()(xf xxufxufy )(22)()()( 2 xf xxufxufy 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知： （2）函數(shù)由）函數(shù)由 與與 復(fù)合而成，復(fù)合而成， 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知： )(ufy xxusin)( 例例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： )(sin)2( )()1( 2 xfy xfy 前面所求的都是具體的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而此題前面所求的

8、都是具體的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而此題 中的對應(yīng)法則中的對應(yīng)法則 f 是未知的，是抽象的復(fù)合函數(shù)。它們是未知的，是抽象的復(fù)合函數(shù)。它們 的導(dǎo)數(shù)如何求得？的導(dǎo)數(shù)如何求得？ )1()2( ) 1 ()( 2 xfy x fy1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 動手做一做動手做一做 ) 1 ( x f ) 1 ( 1 2 x f x )1( 1 2 2 2 xf x x x ey xy cos1 10 ) 2( ) 25()( 1 1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 2. 求曲線求曲線 在在 處的切線方程。處的切線方程。 2 )12(xxy6x x exy cos1 sin 014343 yx )25(50 xy 9 關(guān)鍵：關(guān)鍵：分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，合理選定中間變量。分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，合理選定中間變量。 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：)()()(xufxf 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可以求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式可以求抽象