圓錐曲線三種弦長問題

1、般弦長計(jì)算問題:2 x例1、已知橢圓a2爲(wèi) 1 a b 0，直線l1 :X y 1被橢圓C截得的弦長為ba b2、： 2 ,且e ，過橢圓3C的右焦點(diǎn)且斜率為.3的直線12被橢圓C截的弦長AB,求橢圓的方程；弦 AB的長度思路分析：把直線12的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式求解解析：由11被橢圓C截得的弦長為 2,2，得a2 b28,又e于，即爭I，所以a2 3b2聯(lián)立得a26,b22,所以所求的橢圓的方程為.橢圓的右焦點(diǎn)F 2,0,二12的方程為:代入橢圓C的方程,化簡得,5x218x 6由韋達(dá)定理知，xi18x2, x,x25從而XiX2由弦長公式，得2X1X24x| X2ABX

2、i2”65X22.654 V6即弦AB的長度為-5點(diǎn)評：本題抓住I,的特點(diǎn)簡便地得出方程， 再根據(jù)e得方程,從而求得待定系數(shù)2 ,2a ,b ,得出橢圓的方程，解決直線與圓錐曲線的弦長問題時(shí)，常用韋達(dá)定理與弦長公式。二、中點(diǎn)弦長問題： 例2、過點(diǎn)P 4,1作拋物線y2 8x的弦AB恰被點(diǎn)P平分，求AB的所在直線方程及弦 AB的長度。思路分析：因?yàn)樗笙彝ㄟ^定點(diǎn)P,所以弦AB所在直線方程關(guān)鍵是求出斜率 k，有P是弦的中點(diǎn)，所以可用作差或韋達(dá)定理求得，然后套用弦長公式可求解弦長 解法1：設(shè)以P為中點(diǎn)的弦AB端點(diǎn)坐標(biāo)為 A xi, y, , B x2, y2 , 則有 y18x1, y28x2，兩式

3、相減，得y1y2y1y28x1x2又 X1X28, y1y22y2yiX2Xi4，所以所求直線AB的方程為y 14x4，即4x y 150.解法2：設(shè)AB所在的直線方程為 y k x 41y k x 412由 2，整理得 ky2 8y 32k 8 0.y 8x8設(shè)A x1, y1 , B x2,y2，由韋達(dá)定理得y1 y2k又 P是AB的中點(diǎn)，上生 1-2 k 42k所以所求直線 AB的方程為4x y 150.4x y 15 02由 2整理得，y 2y 30 0,則 y1 y2 2,y1y230y 8x有弦長公式得,AB 屮古 | y1 y2 1 占y1 y2 2 4y225272點(diǎn)評：解決弦的中點(diǎn)有兩種常用方法，一是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造條件；二是利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系求解，然后可套用弦長公式求解弦長三、焦點(diǎn)弦長問題：例3、（同例1、）另解：.橢圓的右焦點(diǎn)F 2,0 , |2的方程為： y .3 x 2 ,由l2過右焦點(diǎn)，有焦半徑公式的弦長為AB 2a e x1 x24”65y3 x 2代入橢圓C的方程22，化簡得，5x 18x 60xy 162由韋達(dá)定理知，x1X218,NX?6554/6即弦AB的長度為 一5點(diǎn)評：在解決