四川省宜賓市一中高中數(shù)學(xué)(理科)第八周考題

1、一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的1.如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為則此幾何體的體積為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,A.6B.9C.12D.182.某幾何體的三視圖(單位：cm)如上圖所示，則此幾何體的表面積是(2 2 2A.90cm B.129cmC.132cm3. 一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可以是A.球B.三棱錐4. 如圖，在正方體 ABCDA1BCD中，E,C.正方體F分別是棱BC, CD的中點，則( )D.圓柱EF與平dL-面BBDD的位置關(guān)系是(A.EF/平面 BBDDC.E

2、F在平面BBDD內(nèi)5. 已知a,卩是兩個不同的平面，D.B.EF與平面BBDD相交EF與平面BBDD的位置關(guān)系無法判斷m n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是()B.m/ n, n? a,貝U m/aD.m/a, n? a,貝U rr/ nA. a丄卩，n? a,貝 U ml 3C.mLa, n?卩，Ua丄 36. 已知向量a= (1 , 0, 1)，則下列向量中與 a成60。夾角的是()A.( 1, 1, 0) B.(1, 1, 0)C.(0, 1, 1)D.( 1, 0, 1)7. 在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0 , 0, 2) , (2 , 2 ,

3、 0),1) , (2 , 2 , 2),給出編號為、的四個圖，貝U該四面體的正視圖和俯視圖分別為(1，2，)A.和 B.和8.已知正四棱柱 ABCCABCD中，AA = 2AB, E為AA中點，則異面直線 BE與CD所成角的余弦值為()7A.107oB.5c迺.io9 算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典 籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一 該術(shù)相當(dāng)于給出了由1 2圓錐的底面周長 L與高h,計算其體積V的近似公式 V -L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率n36近似取為22A10.如圖， 所成的角為2

4、23.那么，近似公式 V*云L h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的7525157355B c d 850113在正方體 ABCDABCD中，點0為線段BD的中點.設(shè)點a,則sin a的取值范圍是（）n近似取為（）P在線段CG上，直線0P與平面ABD11.已知正四棱柱遠理23，3zCZB. i6，1ABCDA B G D 中 AB= 2, CC= 2羽,E為 CC的中點,DC.D.攀1則直線AC與平面BDE勺距離為（A.2 B. ;312.如下圖，已知球C. ,;2D.10是棱長為1的正方體ABCDA1BCD的內(nèi)切球，則平面ACD截球0的截面面積為（A.6B.3Cn6D3二、填空題：本大題共 4小題，每

5、小題5分，共20分.13. 正方體ABCDABCD中，平面 ABC的一個法向量為 （答案不唯一）.14. 半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則這個半球的體積與正方體的體積之比為.15. 已知正三棱錐 RABC點P, A, B C都在半徑為百的球面上，若 PA PB PC兩兩相互垂直，則球 心到截面ABC勺距離為16. 已知平行六面體 ABCDABCD, AC與平面ABD CBD交于E F兩點.給出以下命題： 點E, F為線段AG的兩個三等分點；t2 t ED=- 3AB 3AM -AA;333 設(shè)AD的中點為 M CD的中點為N,則直線MN與面AiDB有一個交點； EAiBD的內(nèi)心；其中真命題有 三、解

6、答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.(1)求此幾何體的表面積； 如果點P, Q在正視圖中所示位置：P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長D E分別是BC CA的中點.18.如圖，在三棱錐 P-ABC中, PA!底面ABC ABC為正三角形,(1)證明：平面PBEL平面PAG.在BC上是否存在一點 F,使AD/平面PEF?說明理由.19.已知二面角 a-MN卩的大小為60,菱形 ABC吐面卩內(nèi)，A, B兩點在棱 MN上，/ BAD= 60, E是AB的中點，DOL面a,垂足為O.(1)證明：ABL平面ODE求異面直

7、線BC與 OD所成角的余弦值20.如圖，三棱柱 ABCABC中，側(cè)面BBCC為菱形，BC的中點為 Q且ACL平面BBCC.(1)證明：BC丄AB;21.如圖，在四邊形 ABCD中, E是BC的中點，DB= 2, 折起，使得二面角 ABDC為60,如圖所示.DC= 1, BC= ；5, AB= AD= ：2 將左圖沿直線BD(1)求證：AEL平面BDC求直線AC與平面ABD所成角的余弦值 若 ACL AB，/ CBB= 60, BC= 1,求三棱柱 ABCABC 的高.AD AB, AD的中點，點P,22.如圖，在棱長為 2的正方體 ABCDABCD中，E, F, M N分別是棱 AB Q分別在

8、棱 DD, BB上移動，且BQ=入(0入2).(1)當(dāng)X = 1時，證明：直線 BC/平面EFPQ入的值；若不存在，說明理是否存在 入，使面EFPQ面PQM所成的角為直二面角？若存在，求出 由高16級數(shù)學(xué)（理科）學(xué)科第八周考題參考答案一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合題目要求的1.如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的17體積為（）A.6B.9解：根據(jù)三視圖可知：該幾何體是底面斜邊長為6的等腰直角三角形、 高為3的三棱錐，故1 1體積 V= 3X 2x 6 X 3X 3 = 9.故選 B.2.

9、 某幾何體的三視圖（單位：cm）如上圖所示，則此幾何體的表面積是（）2 2 2 2A.90cm B.129cmC.132cmD.138cm解：該幾何體由三棱柱及長方體組合而成，故幾何體的表面積為S= 2X 4X 6+ 2X 3X 4+1 23X 6+ 3X 3+ 3X 4+ 3X 5+ 2X 私 3X 4 = 138 cm，故選 D.3. 一個幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可以是（）A.球B.三棱錐C. 正方體D.圓柱解：球的三視圖是三個相同的圓，三棱錐的三視圖可以是三個全等的三角形，正方體的三視圖可能是三個相同的正方形，而當(dāng)圓柱的底面放置在水平面上時，其俯視圖是圓，正

10、視圖是矩形.故選D.4. 如圖，在正方體 ABCDABCD中，E, F分別是棱BC CD的中點，貝U EF與平面BBDD的位置關(guān)系是（）A.EF/平面BBDDB.EF與平面BBDD相交C.EF在平面BBDD內(nèi)D. EF與平面BBDD的位置關(guān)系無法判斷解：正方體ABCDABCD中，E, F分別是棱BC CD的中點，取BC的中點G連接GE GF 貝U GE/ BB , GF/ BD , BB/平面 EFG BD / 平面 EFG又 BBQ BD= B，平面 EFG/平面BBDD,從而可得 EF/平面 BBDD.故選A.5. 已知a ,卩是兩個不同的平面，m, n是兩條不同的直線,則下列命題正確的是

11、（）A. a丄卩，m? a,貝U ml 3 B. m/l n , n? a,貝U m/aC.mLa , n? 3 ,貝 U al 3 D. m/a , n? a,貝 U mil n解：選項A中，由a丄3, m? a ? m? 3或m/ 3或mP3= P選項B中，由m/ n , n? a ? m? a或m/a；選項D中，由m/a , n? a ? m/ n或m與n異面；利用面面垂直的判 定定理知選項 C正確.故選C.6. 已知向量a= （1 , 0, 1）,貝U下列向量中與 a成60夾角的是（）A.( 1, 1 , 0) B.(1, 1 , 0)C.(0 , 1, 1)D.( 1 , 0 , 1

12、)解：設(shè)選項中的向量與 a的夾角為 e ,對于選項 a ,由于cos e =1X( 1 ) + 0X 1+(_1)X0 _12+ 02+( 1) 2X ( 1) 2+ 12+ 0212，此時夾角為與a的夾角分別為120 , 180,均不滿足題意；對于選項120 ,同理得選項C, D中向量 b,易得cos e = 2,此時夾角B為60,滿足題意故選B.7.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是（0 , 0, 2） , （2 , 2,0），（1，2，1），（2，2，2），給出編號為、的四個圖，則該四面體的正視圖和 俯視圖分別為（）A.和 B.和C.和 D.和解：在空間直角

13、坐標(biāo)系 Oxyz中作出棱長為2的正方體（如圖），在該正方體中作出滿足題 意的四面體，由圖可知該四面體正視圖為圖，俯視圖為圖.故選D.8.已知正四棱柱 ABCDABCD中,余弦值為（）A.B. 5AA= 2AB c更 .10E為AA中點,3D.5則異面直線BE與CD所成角的解：取DD的中點F,連接CF,則/ DCF為所求的角,cD+ cF dF （寸5a） +（ J2a）設(shè) AB= a, cos/ DCF=一:2CDx CF2x5ax2a9.算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計

14、算其體積=爲(wèi).10.故選C.這是我國現(xiàn)存最早的有系.又以高乘之，三十六成1 2V的近似公式VRL2h.它實36際上是將圓錐體積公式中的圓周率n近似取為3.那么，近似公式g熱相當(dāng)于將圓錐體積公式中的n近似取為（22)a.nc 25B.?解：圓錐體積V= 1 n r2 h,31 V= 3n355D. 113L2h .若c.詈一12nV=護-鄂，則n2 n 7525 , .故選B.810.如圖，在正方體 ABCEA1B1CD 中, 與平面ABD所成的角為a,貝ysin a點O為線段BD的中點.設(shè)點P在線段CC上，直線OP 的取值范圍是（）代于,1解：易證AC丄平面ABDB.的角a的變化情況為/6 2

15、,23P在線段CC上從C運動到C時，直線OP與平面ABD所成nn3，當(dāng)占=1 八、C.洱，1AOAl T/ COA點P為線段 CC的中點時，a=），易得sin / AO賂羋,sin / COA= 233，又sin守=1，貝sin a的取值范圍是 當(dāng),1 .故 選B.11.已知正四棱柱 ABCDAiBGD中AB= 2, CG= 2羽,E為CG的中點，則直線AG與平面BDE 的距離為()A.2 B. .3 C. .2D.1解：如圖，連接AC交BD于Q 連接 OE在厶CGA中，易證 0曰/ AC.從而AC /平面BDE直線AC到平面BDE勺距離即為點 A到平面BDE勺距離，設(shè)為h.由等體積法，得A-

16、bde= *&bdex h= VE-ABD= *SaABdX EC=1 13x2x2x 2x.又在 BDE中BD= 2； 2, BE= DE= 6,6Tn解：根據(jù)正方體的幾何特征知，平面ACD是邊長為的三個面的切點恰為三角形1. bd= qX 2 :2X 2= 2 2 h= 1.故選 D.12.如圖，已知球 Q是棱長為1的正方體 ABCEA1B1CD的內(nèi)切球，則平面 ACD截球Q的截面 nn面積為()A.D為公共點 ACD三邊的中點，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的 面積，由圖得 ACD內(nèi)切圓的半徑是x tan30 =二,故所求的截面圓的面積是2 62n=TT.故選A.6二、填空題：本大

17、題共 4小題，每小題5分，共20分.13.正方體ABCDABCD中，平面 ABC的一個法向量為 (答案不唯一).解：如圖，設(shè)正方體 ABCDABCD的棱長為1，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD為z軸, 建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(1 , 0, 0), B(1 , 1, 0), C(0, 1, 1) , AB= (0 , 1 , 0), AC=(1 , 1, 1).設(shè)面 ABC的法向量為 n= (x , y , z) , t n AB= 0 ,AC = 0, y= 0, x + y+ z = 0.令 x= 1,可取 n= (1 , 0 , 1).故填(1, 0 , 1).14.半球內(nèi)有一個內(nèi)接

18、正方體，則這個半球的體積與正方體的體積之比為.解：將半球補成整個球，同時把原半球的內(nèi)接正方體再補接一個同樣的正方體，構(gòu)成的長方體恰好是球的內(nèi)接長方體，那么這個長方體的體對角線就是它的外接球的直徑.設(shè)正方體的棱長為 a,球的半徑為 R,則(2R)2= a2+ a2+ (2 a)2 ,即 R=-Q6a. V半球=Qx| n Ri=|n -Q6aV正方體= V半球V正方體=嚴n a3:a =U6n：2.故填-J6 n： 2.15.已知正三棱錐 P-ABC點P, A, B, C都在半徑為,3的球面上，若 PA PB PC兩兩相互設(shè)正方體的棱長為 a,則 3a?= (2 2= 12,得 a = 2,二

19、AB= BC= AC= 2 2.由 Vp-abg= Vj-apc球心到截面 ABC勺距離d= .3 -3 = #故填撐.垂直，則球心到截面 ABC勺距離為解：在正方體中作出正三棱錐 RABC如圖所示,16.已知平行六面體 ABCDABCD, AC與平面 ABD CBD交于E, F兩點給出以下命題:點E, F為線段AC的兩個三等分點；ED= 3AB+ 3AZ 3AA； 設(shè)AD的中點為M CD的中點為N,則直線MN與面ADB有一個交點； EABD的內(nèi)心；其中真命題有 （寫出所有真命題的序號）.解：在對角面 ACCA中易證點E, F為線段AC的兩個三等分點，故正確； 取DD的中點為R,易證面MNR/

20、面AiBD故錯； AiE%A AiBD的邊BD的中線，故E不一定是厶AiBD的內(nèi)心（實際上是重心），故錯.故填 .三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.（10分）解： 由三視圖知，此幾何體是由上部的圓錐和下部的圓柱構(gòu)成的組合體，其 表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和圓柱側(cè) =(2 n a) (2 a) = 4 n a , S - S 表面=.：2 n a2+ 4 n a?+n a2= ( 2 + 5) 沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖所示 .在矩形ABCQh PQ為幾何體表面上從 P點到Q點的最短路徑，且 PQ=vaP+ aQ = ；a2+（n a

21、） 2= a 1+n :所以在幾何體表面 上從P點到Q點的最短路徑的長為 a,1 + n 2.18. （12分）如圖，在三棱錐 P-ABC中, PAL底面ABC ABC為正三角形，D E分別是BC CA的中點.（1）證明：平面PBEL平面PAC.在BC上是否存在一點 F,使AD/平面PEF?說明理由解：（1）證明：T PAL底面ABC BE?平面ABC PAL BE.又厶ABC是正三角形，E是AC的中點， BEL AC 又 PAA AC= A. BEL平面 PAC.又BE?平面PBE二平面 PBEL平面PAC. 存在滿足條件的點 F,且F是CD的中點.理由： E F分別是AC CD的中點， E

22、F/ AD.而 EF?平面 PEF AD?平面 PEF AD/平面 PEF.19.(12分)已知二面角 a-MIN卩的大小為60,菱形 ABC吐面 卩內(nèi)，A, B兩點在棱 MN 上，/ BAD= 60, E是AB的中點，DOL面a,垂足為 O.(1)證明：ABL平面ODE (2)求異面直線 BC與 OD所成角的余弦值.解： 證明：如圖， DOL面a, AB?面a,.DOLAB.連結(jié)BD易知 ABD是正三角形， 又E是AB的中點， DEL AB又D6 DE= D, A吐平面 ODE./ BC/ AD - BCM OD所成角即為/ ADO 由(1)知，AEL平面 ODE - ABL OE 又 DE

23、L AB 于是/ DEC是二面角a-MN卩的平面角，從而/ DEO= 60,不妨設(shè) AB= 2,貝U AD= 2,易l3OD知 DE= 3 ,在 Rt DO沖,DO= DE- sin60 =勺 連結(jié) AO 在 Rt DOA中 , cos / AD3 局= 32 33-T.故異面直線BCM OD所成角的余弦值為-.2 4420. (12分)如圖，三棱柱 ABCABC中，側(cè)面 BBCC為菱形，BC的中點為 Q且AOL平面 BBCC.(1)證明：BC丄AB若 ACLAB , / CBB= 60 , BC= 1,求三棱柱 ABCABC 的高.於1BBCC為菱形， BC丄BC.又AOL平面BBCC BC

24、丄AO故BC丄平面 ABO由于AB?平面ABO - BC丄AB.21IT.又O為BC的中點，.點B到平面ABC的距離為21,故三棱柱 ABCABC作ODL BC垂足為 D連結(jié)AD.作OHL AD垂足為H.由于BCL AQ BCL OD故BCL平 面 AOD 所以 OHLBC.又 OHLAD OHL平面 ABD. v/ CBB= 60 , CBB為等邊三角形. 又 BC= 1,可得 O&：3.由于 ACL AB, OA= 2BC= 2,由 OH AD= OD OA且 AD= OD+ OA的高為于.21. （12分）如圖，在四邊形 ABCD , E是BC的中點，DB= 2 , DC 1 , BC

25、5 , AB= AD2.將左圖沿直線BD折起，使得二面角 A-BD-C為60,如圖所示(1)求證：AE!平面BDC求直線AC與平面ABD所成角的余弦值解：(1)證明：取BD中點F ,連接EF, AF,由翻折不變性知,AF1 BD AF= 1, FE=2.EF =空CD= 2，EF/ CD CDLBD EF BD.AFA EF= F,. BDL平面 AEF BD丄AE且/ AFE為二面角 A BD C的平面角， / AFE= 60 .1 由余弦定理知 AE= . 12 + 2 2X 1X 2cos60 / AW+ Ed aF,. AE丄 EF.又 EFn BD= F,. AEL平面 BDC.232，(2)以E為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中BD與x軸平行，CD與 y軸平行，則A0, 0, ” ,C 1, 2, 0 ,B1, 2 0 ,D 1,舟,0 ,DB=