八年級上冊第十二章“全等三角形”簡介.8

1、2012新人教版教材分析 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）八年級上冊第十二章“全等三角形”簡介課程教材研究所宋莉莉八年級上冊第12章是“全等三角形”。這一章以三角形為例，研究了兩個圖形間一種特殊的關(guān)系全等，研究的內(nèi)容主要包括全等三角形的性質(zhì)和判定。進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力也是本章的一個重要目標(biāo)。本章讓學(xué)生通過判定兩個三角形全等來證明線段相等或角相等，并由此推出了角的平分線的性質(zhì)。全章共安排了三個小節(jié)和一個選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時間約需11課時，具體分配如下（僅供參考）：12.1 全等三角形 1課時12.2 三角形全等的判定 6課時信息技術(shù)應(yīng)用 探究三角形全等的條件12.3 角的平分線的性質(zhì) 2

2、課時數(shù)學(xué)活動小結(jié) 2課時一、教科書內(nèi)容和本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1本章知識結(jié)構(gòu)本章知識結(jié)構(gòu)如下圖所示：2. 教科書內(nèi)容中學(xué)階段重點研究的兩個平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，本章以三角形為例研究全等。對全等三角形研究的問題和研究方法將為后面相似的學(xué)習(xí)提供思路，而且全等是一種特殊的相似，全等三角形的內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)相似三角形的重要基礎(chǔ)。本章還借助全等三角形進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力，主要包括用分析法分析條件與結(jié)論的關(guān)系，用綜合法書寫證明格式，以及掌握證明幾何命題的一般過程。由于利用全等三角形可以證明線段、角等基本幾何元素相等，所以本章的內(nèi)容也是后面將學(xué)習(xí)的等腰三角形、四邊形、圓等內(nèi)容的基礎(chǔ)。全等形在幾何中處處可

3、見，為了避免學(xué)生將全等的概念局限于全等三角形，本章從現(xiàn)實世界中各種各樣的全等圖形談起。接著，教科書從“重合”的角度定義了全等形和全等三角形的概念，這種定義方式有利于學(xué)生借助生活經(jīng)驗直觀地認(rèn)識所定義的對象，也便于引出全等形的對應(yīng)部分。性質(zhì)與判定是研究全等三角形的兩個重要方面。教科書由全等三角形的定義直接導(dǎo)出全等三角形的性質(zhì)。在研究全等三角形的判定方法時，由圖形的性質(zhì)與判定在命題陳述上的互逆關(guān)系出發(fā)，引出由三條邊分別相等、三個角分別相等判定兩個三角形全等的方法。接下來，教科書構(gòu)建了一個完整的探索三角形全等條件的活動首先提出探究的問題：由全等三角形的定義可知，滿足三條邊分別相等、三個角分別相等的兩個

4、三角形全等，那么能否減少條件，簡捷地判定兩個三角形全等呢？然后從“一個條件”開始，逐漸增加條件的數(shù)量，分別探究“一個條件”“兩個條件”“三個條件”能否保證兩個三角形全等。對于“三個條件”的情形，分為三條邊、兩條邊和一個角、兩個角和一條邊以及三個角分別相等的情況依次進(jìn)行了探究。同時，根據(jù)對各判定方法學(xué)習(xí)要求的差別設(shè)置了不同的學(xué)習(xí)方式，有的讓學(xué)生通過作圖實驗，猜想結(jié)論，再以基本事實的形式給出判定方法，有的讓學(xué)生通過舉反例說明判定方法不成立，有的則由已獲得的判定方法證明新的判定方法。最后，探究了判定直角三角形全等的特殊方法。由于角的平分線的性質(zhì)可以用全等三角形的知識證明，本章的最后一節(jié)安排了角的平分

5、線的性質(zhì)的內(nèi)容。首先，由平分角的儀器的工作原理引出了作一個角的平分線的尺規(guī)作圖，然后探究并證明了角的平分線的性質(zhì)，同時總結(jié)了證明一個幾何命題的一般步驟，最后給出了角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理。本章重點研究了三角形全等的判定方法，并在其中滲透了研究幾何圖形的基本問題和方法。在推理論證方面，本章既有直接利用三角形全等的判定方法證明兩個三角形全等的問題，又有通過證明兩個三角形全等推出線段相等或角相等的問題，在問題的設(shè)計中還融入了平行線的性質(zhì)與判定、三角形中邊或角的等量關(guān)系、距離的概念、折紙情境等內(nèi)容，推理論證的難度比三角形一章提高了。為了降低學(xué)生利用全等三角形的知識進(jìn)行推理論證的難度，本章設(shè)置了多道

6、例題做出示范，包括怎樣分析條件與結(jié)論的關(guān)系，怎樣書寫證明格式，還總結(jié)了證明幾何命題的一般步驟。3. 本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，掌握并能運用全等三角形的性質(zhì)。（2）經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握判定三角形全等的基本事實（“邊邊邊”“邊角邊”和“角邊角”）和定理（“角角邊”），能判定兩個三角形全等。（3）能利用三角形全等證明一些結(jié)論。（4）探索并證明角平分線的性質(zhì)定理，能運用角的平分線的性質(zhì)。二編寫時考慮的幾個問題1. 重視滲透研究幾何圖形的基本問題和方法研究幾何圖形的基本問題和方法指的是研究幾何圖形的主要內(nèi)容和一般性方法，對它的理解有利于學(xué)生

7、在學(xué)習(xí)不同幾何對象時產(chǎn)生正遷移。在前面的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了線段、角等基本幾何元素，研究了相交線與平行線、三角形等基本幾何圖形，積累了一些幾何研究的經(jīng)驗，本章利用和進(jìn)一步強(qiáng)化了這些經(jīng)驗。例如，在七年級下冊相交線與平行線一章，學(xué)生認(rèn)識了圖形的判定和圖形的性質(zhì)的含義，知道它們是研究幾何圖形的兩個重要方面，這些已有的認(rèn)識將有利于學(xué)生理解性質(zhì)和判定也是研究全等三角形的重要內(nèi)容，同時對將研究的內(nèi)容做到心中有數(shù)。此外，本章還利用了判定和性質(zhì)在命題陳述上的互逆關(guān)系來引出對全等三角形進(jìn)行判定的內(nèi)容在介紹三角形的判定方法之前，首先回顧了全等三角形的性質(zhì)，然后將其中的條件和結(jié)論交換位置，來考慮判定三角形全等的方

8、法。而在利用三角形全等證明線段相等或角相等時，本章注重體現(xiàn)判定和性質(zhì)的綜合運用，即先證明兩個三角形全等，再進(jìn)一步證明其中某些對應(yīng)元素相等。同時，本章在推出新結(jié)論時，多次應(yīng)用了實驗和論證相結(jié)合的方式。例如，介紹角的平分線的性質(zhì)時，先讓學(xué)生通過作圖、測量，猜想性質(zhì)，再利用三角形全等進(jìn)行證明。又如，習(xí)題12.2的第13題讓學(xué)生先觀察、分析，找出圖中的全等三角形，再證明它們?nèi)取Ｔ偃?，“活? 用全等三角形研究箏形”讓學(xué)生在已有研究平面圖形的經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過作圖、測量、折紙等多種方法探究箏形的角、對角線的性質(zhì)，再用全等三角形的知識證明。2. 注重設(shè)計讓學(xué)生自主探究的活動在幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生的動手操作和

9、自主探究對他們運用幾何思想、發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論具有積極的意義。本章設(shè)置了多處讓學(xué)生自主探究的活動，例如，為了幫助學(xué)生理解和掌握判定兩個三角形全等的方法，教科書在第12.2節(jié)設(shè)計了一個完整的探究活動，提出了探究目標(biāo)（在三條邊分別相等，三個角也分別相等的六個條件中選擇部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等）和探究思路（從“一個條件”開始，逐漸增加條件的數(shù)量，對“一個條件”“兩個條件”“三個條件”的情形分別進(jìn)行探究），編排了一系列的探索活動（探究25，第39，41頁的思考欄目）。在探索活動中，將作圖問題與判定全等問題結(jié)合起來，操作性強(qiáng)，便于學(xué)生自主探究。而信息技術(shù)應(yīng)用欄目“探究三角形全等的條件”則是作為對正文

10、中用尺規(guī)作三角形的補(bǔ)充，讓學(xué)生用幾何畫板軟件根據(jù)給定的邊、角條件畫三角形，加深理解哪些條件能決定三角形的形狀和大小。而且借助技術(shù)手段，學(xué)生可以自己設(shè)計動態(tài)過程，在圖形的運動變化中確定三角形全等的條件。又如，“活動2 用全等三角形研究箏形”在設(shè)計中，提出了探究的手段用畫圖、測量、折紙等方法猜想，用全等三角形的知識證明猜想的結(jié)論，和探究的對象箏形的角、對角線的性質(zhì)。學(xué)生可以利用已有研究幾何圖形的經(jīng)驗自主探究。 3. 注重體現(xiàn)知識間的聯(lián)系全等三角形的性質(zhì)是由兩個三角形全等推出線段相等和角相等的結(jié)論，而三角形全等的判定是由線段相等和角相等的條件判定兩個三角形具有全等的關(guān)系，因此全等三角形和線段相等和角

11、相等之間存在必然的聯(lián)系。在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過直觀認(rèn)識了線段相等和角相等，知道了兩條直線平行與相應(yīng)的角相等之間的關(guān)系、平移前后新舊圖形具有全等關(guān)系，了解了三角形中所蘊(yùn)含的線段或角的等量關(guān)系（例如，一邊上的中線、角平分線、三角形內(nèi)角和定理及其推論中都蘊(yùn)含了線段或角的等量關(guān)系），而學(xué)生在生活中的折紙等活動幫助他們建立起了重合的經(jīng)驗。本章在編排上盡可能地將這些知識和經(jīng)驗與全等三角形建立起聯(lián)系。例如，教科書第31頁的思考欄目將平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種圖形的變化與全等三角形聯(lián)系起來，讓學(xué)生通過觀察和借助生活中的經(jīng)驗認(rèn)識到，一個三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的三角形與原來的三角形全等。這相當(dāng)于讓學(xué)生用運動

12、的眼光看待全等問題，豐富了他們認(rèn)識全等的角度。又如，本章在編制練習(xí)和習(xí)題時，充分融入了學(xué)生對線段相等和角相等的直觀認(rèn)識（其實也是歐氏幾何中關(guān)于全等的公理：等量加等量和相等，等量減等量差相等，彼此能重合的物體是全等的，整體大于部分）、平行線的性質(zhì)與判定、三角形中邊或角的等量關(guān)系、距離的概念、折紙情境等內(nèi)容，使學(xué)生在鞏固新知識的同時，建立起新舊知識之間的聯(lián)系。六對教學(xué)的幾個建議1. 用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本章的教學(xué)學(xué)生在前面的幾何學(xué)習(xí)中研究了相交線與平行線、三角形等幾何圖形，對于研究幾何圖形的基本問題、思路和方法形成了一定的認(rèn)識，本章在教學(xué)中要充分利用學(xué)生已有的研究幾何圖形的思想方法，

13、用幾何思想貫穿全章的教學(xué)。例如，在教授本章之前，可以先讓學(xué)生根據(jù)研究幾何圖形的經(jīng)驗，思考全等三角形的主要研究內(nèi)容是什么。學(xué)生明確了性質(zhì)和判定也是研究全等三角形的兩個重要方面，不僅可以對將學(xué)習(xí)的內(nèi)容做到心中有數(shù)，而且可以幫助他們從數(shù)學(xué)內(nèi)部認(rèn)識研究全等的目的。又如，在教學(xué)全等三角形的性質(zhì)之前，可以提示學(xué)生：三角形的性質(zhì)描述的是三角形的邊和角所具有的共同特征，那么全等三角形的性質(zhì)研究的是什么內(nèi)容。而在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形全等的判定方法之前，可以先讓他們回憶圖形的判定討論的是確定某種圖形需要的條件，從而明確研究全等三角形的判定就是要確定能保證兩個三角形全等的條件；再讓他們利用性質(zhì)和判定在命題陳述上的互逆關(guān)系

14、，得到用三條邊分別相等、三個角分別相等判定兩個三角形全等的方法。再如，活動2中學(xué)生獨立研究箏形的性質(zhì)時，要先讓他們回顧研究幾何圖形的基本思路和方法。 2. 讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究過程本章在編排判定三角形全等的內(nèi)容時構(gòu)建了一個完整的探究活動，包括探究的目標(biāo)、探究的思路和分階段的探究活動。教學(xué)中可以讓學(xué)生充分經(jīng)歷這個探究過程，在明確探究目標(biāo)、形成探究思路的前提下，按計劃逐步探索兩個三角形全等的條件。特別是判定三角形全等的“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”方法是以基本事實的方式給出來的，不需要證明來確認(rèn)其正確性，判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”方法在本章中也暫時沒給出證明，教學(xué)中要讓學(xué)生通過畫圖、測量、實驗、分析、歸納等操作來感知三角形的邊、角條件與兩個三角形全等之間的關(guān)系，在充分探索的基礎(chǔ)上感受結(jié)論的合理性。本章在編排中將畫圖與探究三角形的全等條件結(jié)合起來，既有用尺規(guī)畫一個三角形與已知三角形全等，又有用技術(shù)手段根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫三角形。教學(xué)中要充分利用探索畫圖方法的過程對形成結(jié)論的價值，讓學(xué)生自主探索畫圖的步驟、創(chuàng)設(shè)多種畫法、解釋作圖依據(jù)等，在活動中發(fā)現(xiàn)結(jié)論。 3. 重視對學(xué)生推理論證能力的培養(yǎng)本章是初中階段培養(yǎng)邏輯推理能力的重要內(nèi)容，主要包括證明兩個三角形全等，和通過證明三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等。教學(xué)中要在學(xué)生已有推理論證經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，利用三角形全等的證明，進(jìn)一