自動控制原理7.5-(1)完整版

1、 二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件： 閉環(huán)特征根全部位于閉環(huán)特征根全部位于z z平面單位圓內(nèi)平面單位圓內(nèi)。 , 2 , 1, 1nizi 解：解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 1 1 101110 1 10 111 ez GH zG z s ssszze () ( )( ) ()()() ZZ 閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程 1 2 1 101 11049520368 0 1 () ( )( ). ()() ez D zGH zzz zz e 876. 4,076. 0 21 zz 結(jié)論：因為結(jié)論：因為|z2|1，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例題：例題

2、： ) 1( 10 )( ss sG1)(sH 采樣周期采樣周期T=1(s)，試分試分 析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 G(s) )(tc )( * tc H(s) )(tr )( * tr )(z )(tb )( * tb )( * te)(te 三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) 連續(xù)系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞思勞思- -赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 判定判定: :閉環(huán)特征方程的根是否都在閉環(huán)特征方程的根是否都在s s平面左半平面平面左半平面。 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 閉環(huán)特征根是否都在閉環(huán)特征根是否都在z z平面的單位圓內(nèi)平面的單

3、位圓內(nèi)。 將勞思將勞思- -赫爾維茨判據(jù)用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，首先要赫爾維茨判據(jù)用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定，首先要 將將z z平面上的穩(wěn)定域單位圓內(nèi)映射成平面上的穩(wěn)定域單位圓內(nèi)映射成w w平面上的左半平面平面上的左半平面. . 1 1、W W變換（雙線性變換）與勞思穩(wěn)定判據(jù)變換（雙線性變換）與勞思穩(wěn)定判據(jù) 令 1 1 w w z jyxzjvuw 2222 22 ) 1( 2 ) 1( 1)( 1)( 1)( yx y j yx yx jyx jyx jvuw 22 22 1 1 yx yx u )( )( 在在z z平面的單位圓上，滿足平面的單位圓上，滿足1)( 22 yx 0u對應(yīng)在對應(yīng)

4、在 w w平面上，平面上， ，即，即w w平面上的虛軸對應(yīng)于平面上的虛軸對應(yīng)于z z平面上平面上 的單位圓周。的單位圓周。 x jy z 11 u 0 w jv u 0 在在W域應(yīng)用勞思判據(jù)。域應(yīng)用勞思判據(jù)。 0101 1 1 )()()()(wGHwDzGHzD w w z 1)(0 22 yxu Z Z平面單位圓內(nèi)平面單位圓內(nèi)w w平面左半平面平面左半平面 1)(0 22 yxu Z Z平面單位圓外平面單位圓外w w平面右半平面平面右半平面 22 22 1 1 yx yx u )( )( sT ze 1 1 w z w 368. 0)368. 1632. 0( 632. 0 )(1 )(

5、)( 2 zKz Kz zG zG z 2 1063213680368 0( )( )( .).D zG zzKz 例題：例題：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)試求系統(tǒng)穩(wěn) 定時定時K的臨界值。的臨界值。 T ).(110ss Kr(t)c(t) 36803681 6320 110 2 . . ).( )( zz Kz ss K zG 解：解： 0368. 0 1 1 )368. 1632. 0( 1 1 2 w w K w w 1 1 w w z 33.40632.0736.2,0KKK 33. 40 K使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K取值范圍取值

6、范圍 臨界增益臨界增益 33.4 c K 勞思表勞思表 Kw w KKw 632.0736.2 0264.1 632.0736.2632.0 0 2 0)632.0736.2(264.1632.0 2 KwwK 2 2、朱利穩(wěn)定判據(jù)、朱利穩(wěn)定判據(jù) 朱利穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的朱利穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的z域特征方程域特征方程 的系的系 數(shù)，直接判別特征根是否嚴(yán)格位于數(shù)，直接判別特征根是否嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)。平面上的單位圓內(nèi)。 0)(zD 0)( 10 n n zazaazD 朱利穩(wěn)定判據(jù)朱利穩(wěn)定判據(jù)：特征方程：特征方程 的根，全部嚴(yán)格位于的根，全部嚴(yán)格位于z z平面平面 上單位圓內(nèi)的充

7、要條件是：上單位圓內(nèi)的充要條件是： 0)(zD 2030 20100 qqdd ccbbaa n nnn , , 為奇數(shù) 為偶數(shù)， n n DzDDzD zz ,0 0 ) 1()(,0) 1 ()( 11 以及下列（以及下列（n-1n-1）個約束成立個約束成立： 只有上述條件滿足，系統(tǒng)穩(wěn)定。只有上述條件滿足，系統(tǒng)穩(wěn)定。 0121 0121 1210 0121 12310 0122 23420 0123 3210 012 1 2 3 4 5 6 25 24 23 njnn njnn nnnj njn nnnj njn nnnj zzzzzz aaaaaa aaaaaa bbbbb bbbbb

8、ccccc ccccc npppp npppp nqqq 行數(shù) 00102 12 , njnjnj jjj njnjnj aabbcc bcd aabbcc 03 0 30 0 pp q p 02 1 31 pp q pp 01 2 32 pp q pp 2 10 6321 3680 3680( )( )( .).D zG zzKz 例題：例題：設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖所示，T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)試求系統(tǒng)穩(wěn) 定時定時K的臨界值。的臨界值。 T )11.0(ss Kr(t)c(t) 36803681 6320 110 2 . . ).( )( zz Kz ss K zG

9、解：解： 為奇數(shù) 為偶數(shù)， n n DD , )(,)( 0 0 101 11 0 6321 3680 36800DKK ( ). 11 0 6321 3680 36804 33DKK (). n aa 0 臨界增益臨界增益 33.4 c K 四、采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響四、采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響 連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于：開環(huán)增益、閉環(huán)極點、傳輸延遲等。取決于：開環(huán)增益、閉環(huán)極點、傳輸延遲等。 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：除以上因素，還有采樣周期：除以上因素，還有采樣周期T T。 0)(1)(zGzD )(1 sT 設(shè) 0)368. 0264. 0()3

10、68. 1368. 0()( 2 KzKzzD )(tc )(trT )1( ss K )(sG h 例題：例題：設(shè)有零階保持器設(shè)有零階保持器Gh(s)的的 離散系統(tǒng)如圖所示，求：離散系統(tǒng)如圖所示，求：T=1s 和和0.5s時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益 )( )()( )( )()( T TTT ezz TeezTe K ss K zzG 1 11 1 1 2 1解解 39. 20 K39. 2 c K 0)104. 0736. 2()528. 0264. 1 (632. 0)( 2 KwKKwwD )(5 . 0sT 設(shè) 0)017. 0214. 3()18. 0786. 0

11、(197. 0)( 2 KwKKwwD 37 . 4 0 K 37. 4 c K 1 1 w w z 結(jié)論：結(jié)論： （1 1）當(dāng)采樣周期一定時，）當(dāng)采樣周期一定時，加大開環(huán)增益加大開環(huán)增益 會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差；會使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差； （2 2）當(dāng)開環(huán)增益一定時，）當(dāng)開環(huán)增益一定時，采樣周期越長采樣周期越長， 丟失的信息就越多，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和丟失的信息就越多，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和 動態(tài)性能不利。動態(tài)性能不利。 1. 終值定理法終值定理法 1 11 1 1 1 * () ( ) ( )lim( )lim() ( )lim ( ) tzz zR z ee tzE z zGH z 五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)

12、態(tài)誤差五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 1 1 ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) E zR zB zR zE z GH z E zR z GH z ( )E z G(s) )(tc )( * tc H(s) )(tr )(tb )( * te )(te 2. 誤差系數(shù)法誤差系數(shù)法 (1) 單位階躍輸入時單位階躍輸入時 r(t)=1(t) p z p KezGHK11 1 )()(lim 1 z z zR)( 111 111 1111 ()() ( )lim( )limlim ( )( )( ) zzz zzz eR z zGH zzGH zzGH z 1 1 ( )( ) (

13、) E zR z GH z n i i v m i i pzz zz zGH 1 1 1)()( )( )( 01 00 )(, )(, eKv eKv p p (2) 單位斜坡輸入時單位斜坡輸入時 r(t)=t 2 1)( )( z Tz zR v z v KTezGHzK )()()(lim1 1 2 111 1 11 111 11 1 ()() ( )lim( )limlim ( )( )()( )() lim ()( ) zzz z zzTzT eR z zGH zzGH zzGH zz T zGH z n i i v m i i pzz zz zGH 1 1 1)()( )( )( 0,0( ) 1,( )0 2,( )0 v v v vKe vKe vKe 1 1 ( )( ) ( ) E zR z GH z (3) 單位加速度輸入時單位加速度輸入時 r(t)=t2/2 3 2 12 1 )( )( )( z zzT zR a z a KTezGHzK 22 1 1 )()()(lim 2 3 11 22 22 11 111 1121 111 ()()() ( )lim( )lim ( )( )() limlim () ( )()( ) zz zz zzT z z eR z zGH zzGH zz TT zGH zzGH z n i i v m