《高數(shù)教學(xué)課件》第三節(jié)分部積分法

1、第三節(jié) 由導(dǎo)數(shù)公式vuvuuv ) ( 積分得:xvuxvuuvdd 分部積分公式分部積分公式 xvuuvxvudd 或uvvuvudd 1) v 容易求得 ; xvuxvudd)2 比容易計(jì)算 . :)d(的原則或及選取vvu 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分部積分法 第四四章 例例40 求 .dsinxxx 解解 設(shè) ,xu ,dsindxxv 則,ddxu ,cos xv 原式 xxcos xx dcos Cxxxsincos 思考思考: 如何求 ?dsin 2 xxx 提示提示: 令, 2 xu ,dsindxxv 則 原式 xx cos 2 xxxdcos2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁

2、下頁 返回 結(jié)束 例例41 求.de 2 xx x 解解 設(shè), 2 xu ,dedxv x 則,d2dxxu ,e x v 原式 x x e 2 xx x de2 x x e 2 )dex x 再設(shè)再設(shè) , xu ,dedxv x 則 xx xdxxee x x de 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x xe(2 .e )22( 2 Cxx x 例例42 求.dln 3 xxx 解解 設(shè),ln xu ,dd 3 xxv 則,d 1 dx x u , 4 1 4 xv 原式 =xx ln 4 1 4 )(lnd 4 1 4 xx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xx ln 4 1 4 x

3、xd 4 1 3 . 16 1 ln 4 1 44 Cxxx 例例43 求.dln xx 解解 設(shè),ln xu ,ddxv 則,d 1 dx x u , xv 原式 =xxln )(lndxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxln xd1 .lnCxxx 解題技巧解題技巧:的一般方法及選取vu 把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 , 按 “ 反對冪指三反對冪指三” 的 順序, 前者為 后者為u. v 例例44 求.darcsinxx 解解 設(shè) ,arcsinxu xvdd , 則 ,d 1 1 d 2 x x u xv 原式 =xxarcsin x x x d 1 2 xxarcsin )1d

4、()1 ( 2 1 22 2 1 xx xxarcsin Cx 2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反反: 反三角函數(shù) 對對: 對數(shù)函數(shù) 冪冪: 冪函數(shù) 指指: 指數(shù)函數(shù) 三三: 三角函數(shù) 例例45 求.dcossinxxxx 解解 原式= xx2cos 4 1 xxd2cos 4 1 xx2cos 4 1 .2sin 8 1 Cx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxd2sin 2 1 )2(cosd 4 1 xx 例例46 求.darctan 2 xxx 解解 xx arctan 3 1 3 x x x d 13 1 2 3 xx arctan 3 1 3 x x xxx d

5、 1 )( 3 1 2 3 xx arctan 3 1 3 .)1ln( 6 1 6 1 22 Cxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(darctan 3 1 darctan 32 xxxxx xx arctan 3 1 3 x x x xxd 13 1 d 3 1 2 例例47 求.dsinexx x 解解 x x sine xx x dcose x x sine )e ( dcos x x 故 原式 =.)cos(sine 2 1 Cxx x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )ed(sindsine xx xxx x x sine)cosd(ecose xx xx x x si

6、ne xxx xx dsinecose 例例48 求. )( d 22 n n ax x I 解解: 令, )( 1 22n ax u , 1 v 則, )( 2 122 n ax xn uxv n Ix ax x n n d )( 2 122 2 n ax x )( 22 x ax n n d )( 2 122 n ax x )( 22 n In2 1 2 2 n Ian 得遞推公式 n n n I an n ax x an I 2222 1 2 12 )(2 1 222 )(aax n ax x )( 22 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 遞推公式 n n ax x I )

7、( d 22 已知C a x a Iarctan 1 1 利用遞推公式可求得 . n I 例如, 3 I 2222 )(4 1 ax x a 2 2 4 3 I a 2222 )(4 1 ax x a 2 4 3 a 222 2 1 ax x a 1 2 2 1 I a 2222 )(4 1 ax x a 224 8 3 ax x a C a x a arctan 8 3 5 n n n I an n ax x an I 2222 1 2 12 )(2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例49 已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為ln2x，求.d)(xxf x 解解 )(xxf xxfd)( )

8、(ln)( 2 xxf)(lnln2xx .lnln2 2 Cxx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(dd)(xfxxxfx , ln2 x x x x x ln2 .ln 2 Cx 因?yàn)閒(x)的一個(gè)原函數(shù)為ln2x，所以 于是 例例50 求.dsin xx 解解 令.d2d, 2 ttxtx xx dsin tttd2sin .sin2cos2Cttt 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , tx )cosd(2tt ttcos2 ttdcos2 則 于是 .sin2cos2Cxxx 例例51 求不定積分 解解 .d 1 x e xe x x 方法1(先分部先分部 , 再換元再換元)

9、 x e xe x x d 1 ) 1(d 1 x x e e x x2) 1(d x e12 x ex xe x d12 令, 1 x eu則u u u xd 1 2 d 2 u u u d 1 2 2 2 12 x ex 11 2 u 12 x ex Cuu)arctan(4 4 Cee xx 1arctan414 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方法方法2(先換元先換元,再分部再分部) 令, 1 x eu則, )1ln( 2 ux 故 x e xe x x d 1 u u u u uu d 1 2)1ln()1 ( 2 22 uud)1ln(2 2 )1ln(2 2 uu u u u

10、 d 1 4 2 2 1 )1ln(2 2 uuu4Cu arctan4 12 x exCee xx 1arctan414 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 u u u xd 1 2 d 2 說明說明: 分部積分題目的類型: 1) 直接分部化簡積分 ; 2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式 ; (注意: 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C ) 3) 對含自然數(shù) n 的積分, 通過分部積分建立遞 推公式 . 例4 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)1 求.d cos cosln 2 x x x 解解 令 ,coslnxu x v 2 cos 1 , 則

11、,tan xuxvtan 原式 =xxcoslntan xxdtan 2 xxcoslntan xxd) 1(sec 2 xxcoslntan Cxx tan 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)2 求 .dex x 解解 令, tx則, 2 tx ttxd2d 原式tt t de2 t te(2 .)1(e2Cx x , tu t ev )e t C 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令 練習(xí)練習(xí)3 求. )0(d 22 axax 解解: 令, 22 axu, 1 v 則, 22 ax x u xv 22 axx x ax x d 22 2 22 axx x ax aax d 22

12、 222 )( 22 axx xaxd 22 22 d2 ax x a 原式 = 22 2 1 axxCaxx a )(ln 2 22 2 xaxd 22 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)4 證明遞推公式 )2( 1 tan dtan 2 1 nI n x xxI n n n n 證證 xxxI n n d) 1(sectan 22 )d(tantan 2 xx n 1 tan 1 n x n 2 n I 2 n I 注注: 0 IIn或 1 I 0 I,Cx 1 ICx cosln 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí)5 已知)(xf的一個(gè)原函數(shù)是, cos x x 求.

13、d)(xxf x 解解xxfxd) ( )(dxfx )(xfxxxfd)( x x xcos C x x cos xsinC x x cos 2 說明說明: 此題若先求出)(x f 再求積分反而復(fù)雜. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxfxd)(x x x x x xd cos2sin2 cos 2 練習(xí)練習(xí)6 求.d xI 2 3 )1 ( 2 x 解法解法1 先換元后分部 令,arctanxt 即,tantx 則 t e I t 3 sec ttdsec 2 tte t dcos te t sintte t dsin te t sintte t dcos te t cos 故 Ce

14、ttI t )cos(sin 2 1 2 1 x earctan t x 1 2 1x 2 1x x 2 1 1 x Ce x arctan 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x e I x d arctan 2 3 )1 ( 2 x x e x I arctan 2 d 1 1 xx e x x e x arctan 2 arctan 2 d 11 1 )1 ( 1 1 arctan 2 xe x x I Ce x x I x arctan 2 12 1 解法解法2 用分部積分法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x e x arctan 2 1 1 xd 2 3 )1 ( 2 x x

15、ex arctan 練習(xí)練習(xí)7 求 xxId)ln(sin 解解令,lnxt 則texex tt dd, tteI t dsin ttete tt dcossin Ittet)cos(sin CtteI t )cos(sin 2 1 Cxxx)cos(ln)sin(ln 2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式xvuvuxvudd 1. 使用原則 :xvuvd 易求出,易積分 2. 使用經(jīng)驗(yàn) : “反對冪指三反對冪指三” , 前 u 后 v 3. 題目類型 : 分部化簡 ; 循環(huán)解出;遞推公式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 下

16、述運(yùn)算錯(cuò)在哪里? 應(yīng)如何改正? x x x d sin cos xx xx x dsin) sin 1 ( sin sin xx x x dsin sin cos 1 2 x x x d sin cos 1 , 1d sin cos d sin cos x x x x x x 得 0 = 1 答答: 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應(yīng)為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 . x x sin sind Cx sinln 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxf x x x x xfd)( 1 , sin )(sin)2002( 1 2 求設(shè)年 ,sin 2 xu 令解,arcsin,sinu

17、xux則有 , arcsin )( x x xf 分析分析:先求先求f(x) x x x x x xxf x x d arcsin 1 d)( 1 )1d(arcsin2xx Cxxx2arcsin12 于是于是 x x x d 1 arcsin .d)(, )1ln( )(ln)2000(2 xxf x x xf計(jì)算設(shè)年 ,ln xt 設(shè)解 xxxf x x d e )e1ln( d)( x xx x e1 d )e1ln(e .)e1ln()e1 (Cx xx t t tt tftxx e )e1ln( )(,ded,e 則 )d(e)e1ln( xx .d)(,ln)()2002(3 2 xxf xxxf試求的一個(gè)原函數(shù)為已知年 xxfxxfxfxxxf xd)()()(dd)(解 所以的一個(gè)原函數(shù)是因?yàn)?)(ln 2 xfx x x xxf ln2 )(ln)( 2 Cxx dx x x x x xdxxfx 2 lnln2 ln2ln2 )(于是 x x x d e earctan )2001(4 2 年 )e (dearctan 2 1 2xx 原式 )d(e) e1 1 e 1 (earctane 2 1 2 x xx xx )e1 (e e earctane 2 1 22 2 xx x xx d .)earctaneear