數(shù)學(xué)客觀題解題思想方法

1、第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法一、 配方法配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(ab)a2abb，將這個公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。、再現(xiàn)性題組：1. 方程xy4kx2y5k0表示圓的充要條件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k或k12. 已知si

2、ncos1，則sincos的值為_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 03. 函數(shù)ylog (2x5x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。 A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)4. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點P(x,x)在圓x+y=4上，則 實數(shù)a_?！竞喗狻?1小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(xa)(yb)r，解r0即可，選B。 2小題：已知等式經(jīng)配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。3小題：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。4小題：答案3。二、換元法換元的方法

3、有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件xyr（r0）時，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問

4、題。均值換元，如遇到xyS形式時，設(shè)xt，yt等等。、再現(xiàn)性題組：1.設(shè)f(x1)log(4x) （a1），則f(x)的值域是_。2.已知數(shù)列a中，a1，aaaa，則數(shù)列通項a_。3.設(shè)實數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。4.方程3的解是_。5.不等式log(21) log(22)2的解集是_?！竞喗狻?小題：設(shè)x1t (t1)，則f(t)log-(t-1)4，所以值域為(,log4；2小題：已知變形為1,設(shè)b，則b1,b1(n1)(-1) n，所以a；3小題：設(shè)xyk，則x2kx10, 4k40,所以k1或k1；4小題：設(shè)3y，則3y2y10,解得y，所以x1；5小題：設(shè)log

5、(21)y，則y(y1)2，解得2y0的解集是(,)，則ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在(1x)（1x）的展開式中，x的系數(shù)是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b0)的最大值為，最小值為，則y4asin3bx的最小正周期是_。5. 與直線L：2x3y50平行且過點A(1,-4)的直線L的方程是_。6. 與雙曲線x1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是_?！竞喗狻?小題：由f(x)m求出f(x)2x2m，比較系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(,)，可知、是方程axbx20的兩根，代入兩根，列出

6、關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，易求得ab，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設(shè)直線L方程2x3yc0，點A(1,-4)代入求得C10，即得2x3y100；6小題：設(shè)雙曲線方程x，點(2,2)代入求得3，即得方程1。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。簡單地

7、說，定義是基本概念對數(shù)學(xué)實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。、再現(xiàn)性題組：1. 已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，AB的元素個數(shù)為n，則_。A. 2n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n72. 設(shè)MP、OM、AT分別是46角的正弦線、余弦線和正切線，則_。A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP3. 復(fù)數(shù)za2，z2，如果|z| |z|，則實數(shù)a的取值范圍是_。A. 1a1 C. a0 D. a14. 橢圓1上有一點P，它到左準(zhǔn)線的距離為，那么P點到右焦點的距離為_。A. 8 C. 7.5 C. D. 35

8、. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f()的值為_。A. T B. 0 C. D. 不能確定6. 正三棱臺的側(cè)棱與底面成45角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為_?！竞喗狻?小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復(fù)數(shù)模的定義得，選A；4小題：利用橢圓的第二定義得到e，選A；5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f()f()f()，選B；6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。五、數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都

9、具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。、再現(xiàn)性題組：1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)212(2n1) （nN），從“k到k1”，左端需乘的代數(shù)式為_。 A. 2k1 B. 2(2k1) C. D. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時，由nk (k1)不等式成立，推證nk1時，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個數(shù)是_。 A. 2 B. 21 C. 2 D. 213. 某個命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk (kN)時該命題成立，那么可推得nk1時該命題也成立?，F(xiàn)已知當(dāng)n5時該命題不成立，那么可推得_。 (94年上海高考) A.當(dāng)n6

10、時該命題不成立 B.當(dāng)n6時該命題成立 C.當(dāng)n4時該命題不成立 D.當(dāng)n4時該命題成立4. 數(shù)列a中，已知a1，當(dāng)n2時aa2n1，依次計算a、a、a后，猜想a的表達(dá)式是_。 A. 3n2 B. n C. 3 D. 4n35. 用數(shù)學(xué)歸納法證明35 (nN)能被14整除，當(dāng)nk1時對于式子35應(yīng)變形為_。6. 設(shè)k棱柱有f(k)個對角面，則k1棱柱對角面的個數(shù)為f(k+1)f(k)_?！竞喗狻?小題：nk時，左端的代數(shù)式是(k1)(k2)(kk),nk1時，左端的代數(shù)式是(k2)(k3)(2k1)(2k2)，所以應(yīng)乘的代數(shù)式為，選B；2小題：（21）（21）2，選C；3小題：原命題與逆否命題

11、等價，若nk1時命題不成立，則nk命題不成立，選C。4小題：計算出a1、a4、a9、a16再猜想a，選B；5小題：答案（35）35（53）；6小題：答案k1。六、參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動與變化的

12、思想，其觀點已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)2351，則2x、3y、5z從小到大排列是_。2. （理）直線上與點A(-2,3)的距離等于的點的坐標(biāo)是_。3. 點Z的虛軸上移動，則復(fù)數(shù)Cz12在復(fù)平面上對應(yīng)的軌跡圖像為_。4. 三棱錐的三個側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3，則其體積為_。5. 設(shè)函數(shù)f(x)對任意的x、yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)x0時，f(x)0，則f(x)的R上是_函數(shù)。(填“增”或“減”)6. 橢圓1上

13、的點到直線x2y0的最大距離是_。 A. 3 B. C. D. 2【簡解】1小題：設(shè)235t，分別取2、3、5為底的對數(shù)，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y2x5z；2小題：（理）A(-2,3)為t0時，所求點為t時，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲線為橢圓，a1，c，所以e；3小題：設(shè)zb，則C1b2，所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于x軸向右的射線；4小題：設(shè)三條側(cè)棱x、y、z，則xy6、yz4、xz3,所以xyz24,體積為4。5小題：f(0)0，f(0)f(x)f(-x)，所以f(x)是奇函數(shù)，答案：減；6小題：設(shè)x4sin、y2cos，再求d的最大值

14、，選C。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得.反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就

15、不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。、再現(xiàn)性題組：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是

16、減函數(shù)，則方程f(x)0 _。A.至多一個實根 B.至少一個實根 C.一個實根 D.無實根2. 已知a0,1bab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知l，a ，b ，若a、b為異面直線，則_。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種【簡解】1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個選擇項逐一成立，導(dǎo)出其中三個與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法

17、”，取a1、b0.5，選D；3小題：從逐一假設(shè)選擇項成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：CC436,選D。第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面.其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)

18、化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。、再現(xiàn)性題組：1若log2log20，則_。A. 0ab1 B. 0bab1 D. ba12如果|x|,那么函數(shù)f(x)cosxsinx的最小值是_。 A. B. C. 1 D. 3如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。A.增函數(shù)且最小值為5 B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為5 D.減函數(shù)且最大值為5 4設(shè)全集I(x,y)|x,yR，集合M(x,y)| 1，N(x,y)|yx1，那么等于_。 A. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 5如果是第二象限的角，且滿足cossin,那

19、么是_。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角6已知集合E|cossin，02，F(xiàn)|tg0、a0、a2時分a0、a0和a0三種情況討論。這稱為含參型。、再現(xiàn)性題組：1集合Ax|x|4,xR，Bx|x3|a，xR，若AB，那么a的范圍是_。A. 0a1 B. a1 C. a1 D. 0a0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，則p、q的大小關(guān)系是_。A. pq B. pq D.當(dāng)a1時，pq；當(dāng)0a1時，p0、a0、a1、0a1兩種情況討論，選C；3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4,-2,0；4小題：分、0、0、x0兩種情

20、況，選B；6小題：分側(cè)面矩形長、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D；7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。三、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。、再現(xiàn)性題組：1.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函數(shù)f(x)xbxc對于任意實數(shù)t，都有

21、f(2t)f(2t)，那么_。A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0），則，解出x2，再用萬能公式，選A；5小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（,p）、(,q)、 (x，p+q)在同一直線上，由兩點斜率相等解得x0，則答案：0；6小題：設(shè)cosxt，t-1,1，則att1,1，所以答案：,1；7小題：設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24；8小題：設(shè)長x，則寬，造價y41204x80801760，答案：1760。四、等價轉(zhuǎn)化思想方法等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方

22、法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。、再現(xiàn)性題組：1. f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時，f(x)x，則f(7.5)等于_。 A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.52.設(shè)f(x)3x2，則ff(x)等于_。 A. B. 9x8 C. x D. 3. 若m、n、p、qR且mna，pqb，ab0，則mpnq的最大值是_。 A. B. C. D. 5. 設(shè)橢圓1 （ab0）的半焦距為c，直線l過(0,a)和(b,0)，已知原點到l的距離等于c，則橢圓的離心率為_。 A. B. C. D. 6. 已知三棱錐S-A

23、BC的三條側(cè)棱兩兩垂直，SA5，SB4，SC3，D為AB的中點，E為AC的中點，則四棱錐S-BCED的體積為_。 A. B. 10 C. D. 【簡解】1小題：由已知轉(zhuǎn)化為周期為2,所以f(7.5)f(-0.5)f(0.5)，選B；2小題：設(shè)f(x)y，由互為反函數(shù)的值域與定義域的關(guān)系，選C；3小題：由mpnq容易求解，選A；5小題：ab，變形為12e31e70，再解出e，選B；6小題：由SS和三棱椎的等體積轉(zhuǎn)化容易求，選A。第三章 高考熱點問題和解題策略一 應(yīng)用性問題求解應(yīng)用題的一般步驟是（四步法）：1、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系；2、建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽

24、象成數(shù)學(xué)問題；3、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；4、評價：對結(jié)果進(jìn)行驗證或評估，對錯誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實，作出解釋或驗證。在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。、再性性題組：1.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂為兩個），經(jīng)過3小時，這種細(xì)菌由1個可繁殖成_。(94年全國高考) A. 511個 B. 512個 C. 1023個 D. 1024個2.如圖，以墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，并用平行于一邊的籬笆隔開，已知籬笆的總長為定值L，這塊場地的長為_時，場地面積最大，最大面積是_。(82年全國高考)3.圓柱軸截面的周長L為定值，那么圓柱體積的最大值是_。(93年全國高考) A. () B. () C. () D. 2()4.在半徑為30m的圓形廣場中央上空，置一個照明光源，射向地面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為120，若要光源恰好照亮整個廣場，則其高度應(yīng)為_。(精確到0.1m) (93年全國高考)5.甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1項，丙、丁公司各承包2項，共有_種承包方式。(86年全國高考)【簡解】1小題：答案B；2小題：設(shè)長x，