實(shí)驗(yàn)五種群數(shù)量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移——微分方程(數(shù)學(xué)建模)

1、實(shí)驗(yàn)五 種群數(shù)量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙饬x1 歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程(組)的基本原理和方法；2 掌握解析、數(shù)值解法，并學(xué)會(huì)用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析；3 熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令；4 通過范例學(xué)習(xí)建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型以及求解全過程； 通過該實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握微分方程(組)求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進(jìn)歐拉法等），對(duì)常微分方程的數(shù)值解法有一個(gè)初步了解，同時(shí)學(xué)會(huì)使用MATLAB軟件求解微分方程的基本命令，學(xué)會(huì)建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型。這對(duì)于學(xué)生深入理解微分、積分的數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)的分析思維方法，熟悉處理大量的工程計(jì)算問題的方法是十分

2、必要的。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 微分方程及方程組的解析求解法；2 微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進(jìn)算法；3 直接使用MATLAB命令對(duì)微分方程(組)進(jìn)行求解(包括解析解、數(shù)值解)；4 利用圖形對(duì)解的特征作定性分析；5 建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型，并了解建立數(shù)學(xué)模型的全過程。三、實(shí)驗(yàn)步驟1開啟軟件平臺(tái)MATLAB，開啟MATLAB編輯窗口； 2根據(jù)微分方程求解步驟編寫M文件3保存文件并運(yùn)行；4觀察運(yùn)行結(jié)果(數(shù)值或圖形)；5根據(jù)觀察到的結(jié)果和體會(huì)寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。四、實(shí)驗(yàn)要求與任務(wù)根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟，完成以下實(shí)驗(yàn)，要求寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告（實(shí)驗(yàn)?zāi)康膯栴}數(shù)學(xué)模型算法與編程計(jì)算結(jié)果分析、檢驗(yàn)和結(jié)論）基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)1求

3、微分方程的解析解, 并畫出它們的圖形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0x1; 運(yùn)行程序 y= dsolve(Dy-y-2*x=0,y(0)=1,x)解出方程的解析解為y =3*exp(x) - 2*x 2畫出圖形X=linspace(0,1,100);plot(x,3*exp(x) - 2*x - 2)2用向前歐拉公式和改進(jìn)的歐拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0) = 1 (0x1,h = 0.1) 的數(shù)值解，要求編寫程序，并比較兩種方法的計(jì)算結(jié)果，說明了什么問題？dsolve(Dy=y-2*x/y,y(0)=1,x)求得解析解為 y=(2*x+1).(1/2)建立M文

4、件weifen.m：x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;for n=1:10 x1(n+1)=x1(n)+h; y1(n+1)=(1+h)*y1(n)-2*h*x1(n)/y1(n); k1=y2(n)-2*x1(n)/y2(n); k2=y2(n)+h*k1-2*x1(n+1)/(y2(n)+h*k1); y2(n+1)=y2(n)+0.5*h*(k1+k2);endx1;y1;x=0:0.1:1;y=(2*x+1).(1/2);plot(x,y,x1,y1,r,x1,y2,k:)由所作圖形可明顯看出用改進(jìn)歐拉公式所得的微分曲線明顯更接近微分方程的解析解曲線，所以用改

5、進(jìn)歐拉方程求得的數(shù)值解更精確3Rossler微分方程組：當(dāng)固定參數(shù)b=2, c=4時(shí)，試討論隨參數(shù)a由小到大變化（如a(0,0.65)而方程解的變化情況，并且畫出空間曲線圖形，觀察空間曲線是否形成混沌狀？function xdot=lorenz(t,x)a=0;0.01;0.65;xdot=-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);2+x(3)*(x(1)-4); endx0=0 0 0.1;t,x=ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid

6、 on 圖中，x1的圖形為實(shí)線(藍(lán)），x2的圖形為“*”線（綠），x3的圖形為“+”線（紅）.取t0，tf=0，10。若取t0，tf=0，100。圖像為 4.Apollo衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡的繪制令x(1)=x,x(2)=x,x(3)=y,x(4)=yx=x(2),y=x(3)function f = weixing( t,x)u=1/82.45;u1=1-u;r1=sqrt(x(1)+u)2+x(3)2);r2=sqrt(x(1)-u1)2+x(3)2);f=x(2);2*x(4)+x(1)-u1*(x(1)+u)/(r13)-u*(x(1)-u1)/(r23); x(4);-2*x(2)+x(3

7、)-u1*x(3)/(r13)-u*x(3)/(r23);end x0=1.2,0,0,-1.04935751;t,x=ode45(weixing,0,50,x0);plot(x(:,1),x(:,3)應(yīng)用實(shí)驗(yàn) 鹽水的混合問題一個(gè)圓柱形的容器，內(nèi)裝350升的均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時(shí)，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開始時(shí)，容器內(nèi)鹽的含量為7千克。求經(jīng)過時(shí)間t后容器內(nèi)鹽的含量。記開始的溶液體積為=350 L 在t時(shí)刻溶液體積為純水流入速度為 = 14 鹽水流出速度為 = 10.5 開始鹽含量 = 在t時(shí)刻含鹽量為 在t時(shí)刻含濃度為 在dt 時(shí)間內(nèi)，流出容器的鹽分d為可認(rèn)為在dt時(shí)間段內(nèi)濃度不變?yōu)?有 d= 則 =-兩邊求導(dǎo)得 =- 由于 =/ =+ 則 =-k/+Matble 求解：dsolve(Dq=-10.