八年級(jí)數(shù)學(xué)經(jīng)典難題及答案

1、.初二數(shù)學(xué)經(jīng)典題型1已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PADPDA150求證：PBC是正三角形證明如下。APCDB首先，PA=PD，PAD=PDA=（180-150）2=15，PAB=90-15=75。在正方形ABCD之外以AD為底邊作正三角形ADQ，連接PQ，則PDQ=60+15=75，同樣PAQ=75，又AQ=DQ,，PA=PD，所以PAQPDQ，那么PQA=PQD=602=30，在PQA中，APQ=180-30-75=75=PAQ=PAB，于是PQ=AQ=AB，顯然PAQPAB，得PBA=PQA=30，PB=PQ=AB=BC，PBC=90-30=60，所以ABC是正三角形。ANFECD

2、MB2.已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F求證：DENF證明:連接AC,并取AC的中點(diǎn)G,連接GF,GM.又點(diǎn)N為CD的中點(diǎn),則GN=AD/2;GNAD,GNM=DEM;(1)同理:GM=BC/2;GMBC,GMN=CFN;(2)又AD=BC,則:GN=GM,GNM=GMN.故:DEM=CFN.3、如圖，分別以ABC的AC和BC為一邊，在ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半證明：分別過E、C、F作直線AB的垂線，垂足分別為M、O、N，在梯形MEFN中，WE平行N

3、F因?yàn)镻為EF中點(diǎn)，PQ平行于兩底PCGFBQADE所以PQ為梯形MEFN中位線，所以PQ（MENF）/2又因?yàn)椋?CB角OBC90角NBF角CBO所以角OCB=角NBF而角C0B角Rt角BNFCB=BF所以O(shè)CB全等于NBFMEA全等于OAC（同理）所以EMAO，0BNF所以PQ=AB/2.4、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBAPDA求證：PABPCB過點(diǎn)P作DA的平行線，過點(diǎn)A作DP的平行線，兩者相交于點(diǎn)E；連接BE因?yàn)镈P/AE，AD/PEPADCB所以，四邊形AEPD為平行四邊形所以，PDA=AEP已知，PDA=PBA所以，PBA=AEP所以，A、E、B、P四點(diǎn)共圓所以，P

4、AB=PEB因?yàn)樗倪呅蜛EPD為平行四邊形，所以：PE/AD，且PE=AD而，四邊形ABCD為平行四邊形，所以：AD/BC，且AD=BC所以，PE/BC，且PE=BC即，四邊形EBCP也是平行四邊形所以，PEB=PCB所以，PAB=PCB5.P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PAa，PB2a，PC=3a正方形的邊長?解：將BAP繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90使BA與BC重合，P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后到Q點(diǎn)，連接PQ因?yàn)锽APBCQ所以APCQ，BPBQ，ABPCBQ，BPABQCACBPD因?yàn)樗倪呅蜠CBA是正方形所以CBA90，所以ABPCBP90，所以CBQCBP90即PBQ90，所以BPQ是等腰直角三角形所以PQ2*B

5、P，BQP45因?yàn)镻A=a，PB=2a，PC=3a所以PQ22a，CQa，所以CP29a2，PQ2CQ28a2a29a2所以CP2PQ2CQ2，所以CPQ是直角三角形且CQA90所以BQC9045135，所以BPABQC135作BMPQ則BPM是等腰直角三角形所以PMBMPB/22a/22a所以根據(jù)勾股定理得：AB2AM2BM2(2aa)2(2a)2522a2所以AB(522)a6.一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分。求兩根水管各自注水的速度。解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，

6、則大水管進(jìn)水速度為4x。由題意得：解之得：經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程解。小口徑水管速度為，大口徑水管速度為。7如圖11，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)M（2，），且P（，2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得OBQ與OAP面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖12，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值圖12圖11解：（1）設(shè)正比

7、例函數(shù)解析式為，將點(diǎn)M（，）坐標(biāo)代入得，所以正比例函數(shù)解析式為同樣可得，反比例函數(shù)解析式為（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，于是，而，所以有，解得所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為和（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)PCQ，OQPC，而點(diǎn)P（，）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，由勾股定理可得，所以當(dāng)即時(shí)，有最小值4，又因?yàn)镺Q為正值，所以O(shè)Q與同時(shí)取得最小值，所以O(shè)Q有最小值2由勾股定理得OP，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是8.如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一

8、動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：PE=PD；PEPD；（2）設(shè)AP=x,PBE的面積為y.求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值.解：（1）證法一：四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，BC=DC,BCP=DCP=45.PC=PC，ABCDPE12HPBCPDC（SAS）.PB=PD，PBC=PDC.又PB=PE，PE=PD.（i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(E與B、C不重合)時(shí)，PB=PE，PBE=PEB，PEB=PDC，PEB+PEC=PDC+PEC=180，DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90，

9、PEPD.）（ii）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PEPD.（iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，如圖.PEC=PDC，1=2，DPE=DCE=90，PEPD.綜合（i）（ii）（iii）,PEPD.ABCPDEF（2）過點(diǎn)P作PFBC，垂足為F，則BF=FE.AP=x，AC=，PC=-x，PF=FC=.BF=FE=1-FC=1-()=.SPBE=BFPF=().即(0x).0，當(dāng)時(shí)，y最大值.（1）證法二：過點(diǎn)P作GFAB，分別交AD、BC于G、F.如圖所示.四邊形ABCD是正方形，ABCPDEFG123四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形.GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90.又PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD（SAS）.PE=PD.1=2.1+3=2+3=90.DPE=90.PEPD.（2）AP=x，BF=PG=，PF=1-.SPBE=BFPF=().即(0x).0，當(dāng)時(shí)，y最大值.9、如圖，直線y=k1x+b與反比例函數(shù)y=k2x的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)（1）求k1、k2的值（2）直接寫出k1x+b-k2x0時(shí)x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BCOD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點(diǎn)C作CEOD于點(diǎn)E，CE和反