華大新高考聯(lián)盟名校2020年5月份高考預(yù)測考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 （解析版）

1、2020年名校高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（5月份）一、選擇題（共12小題）.1已知集合A=x|1x3，B=x|y=1x-2，則AB（）Ax|1x2Bx|2x3Cx|2x3Dx|x12如圖來自中國古代的木紋飾圖若大正方形的邊長為6個(gè)單位長度，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，則在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖形中小正方形內(nèi)的概率是（）A136B19C16D293設(shè)有下面兩個(gè)命題：那么下列命題中，真命題是（）p1：復(fù)數(shù)zR的充要條件是z=z；p2：若復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則復(fù)數(shù)zi所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，Ap1p2B（p1）p2Cp1（p2）D（p1）（p2）4已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若a2

2、+a53a3，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為6，則a5（）A0B1C2D35已知定義在R上的函數(shù)f（x）3sinx2x+1，則f（x）的最大值與最小值之和等于（）A0B1C2D36(1-x)(x+1x+2)4的展開式中x的系數(shù)是（）A10B2C14D347一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形記該幾何體的外接球的體積為V1，該幾何體的體積為V2，則V1與V2的比值為（）A94B98C109D3298如圖所示的程序框圖是為了求出滿足1+3+5+n2020的最大正奇數(shù)的值，那么在框中，可以填（）A“輸出i4”B“輸出i2”C“輸出i1”D“輸出i”9已知函數(shù)f(x)=3sin2x-cos

3、2x在區(qū)間0，2上當(dāng)x時(shí)取得最大值，將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）Ag（x）2cos2xB.g（x）2cos2xCg(x)=3sin2x+cos2xD.g(x)=-3sin2x-cos2x10已知雙曲線x24-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，若AF2B60，則AF2B的內(nèi)切圓半徑為（）A433B233C23D211數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1對(duì)任意正整數(shù)a0，記按照上述規(guī)則實(shí)施第

4、n次運(yùn)算的結(jié)果為an（nN），則使a71的a0所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D612已知實(shí)數(shù)a、b滿足log2alog3b，給出五個(gè)關(guān)系式：其中不可能成立的關(guān)系式有（）abba；aabb；abba；abaa；bbbaA1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13如圖所示，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，若ABAO=2，則弦AB長為 14已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2x+y1y2x-2，則zx+2y的最小值為 15已知拋物線x2y的焦點(diǎn)為F，過F作兩條夾角為30的直線m、n，直線m與拋物線交于點(diǎn)P、Q，直線n與拋物線交于點(diǎn)M、N，則1|PQ|+1|MN|的最小值為 16在四樓錐P

5、ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，DAB60，PAPD，APD90，平面PAD平面ABCD，Q點(diǎn)是PBC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且滿足DQAC，則Q點(diǎn)所形成的軌跡長度是 三、解答題：共70分解箐應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作簀第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，滿足asinBcosC+csinBcosA=12b且ab（1）求角B的大小；（2）若b1，BC邊上的中線AM的長為12a，求ABC的面積18在四棱錐PABCD中，BCBDDC=23，ADABPDPB2

6、，PA=2（1）求證：平面PBD平面ABCD；（2）求二面角CPDB的余弦值19已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32點(diǎn)(2，2)在橢圓C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)P（0，2）任作橢圓C的兩條相互垂直的弦AB、CD，設(shè)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，則直線MN是否過定點(diǎn)？若過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請說明理由20近年來我國肥胖人群的規(guī)模急速增長，肥胖人群有很大的心血管安全隱患目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BodyMassIndex，縮寫為BMI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式是BMI=體重(單位：kg)身高2(單位：m2)中國成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BM

7、I18.4為偏瘦；18.5BMI23.9為正常；24BMI27.9為偏胖；BMI28為肥胖為了解某公司員工的身體質(zhì)量指數(shù)，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，抽取了8名員工（編號(hào)18）的身高x（cm）和體重y（kg）數(shù)據(jù)，并計(jì)算得到他們的BMI值（精確到0.1）如表：編號(hào)12345678身高（cm）164176165163170172168182體重（kg）607277547255BMI（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（I）現(xiàn)從這8名員工中選取2人進(jìn)行復(fù)檢，記抽取到BMI值為“正?！眴T工的人數(shù)為X求X的分布列及數(shù)學(xué)期望（II）某調(diào)查機(jī)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)公司員工的身高

8、x（cm）和體重y（kg）之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，在編號(hào)為6的體檢數(shù)據(jù)丟失之前調(diào)查員甲已進(jìn)行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析，并計(jì)算得出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為y=0.5x+a，且根據(jù)回歸方程預(yù)估一名身高為180cm的員工體重為71kg計(jì)算得到的其他數(shù)據(jù)如下x=170，i=1n xiyi=89920（1）求a的值及表格中8名員工體重的平均值y；（2）在數(shù)據(jù)處理時(shí)，調(diào)查員乙發(fā)現(xiàn)編號(hào)為8的員工體重?cái)?shù)據(jù)有誤，應(yīng)為63kg，身高數(shù)據(jù)無誤請你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計(jì)算線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)估一名身高為180cm的員工的體重（附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回歸直線y=bx+a的斜率和

9、截距的最小二乘法估計(jì)分別為：b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx-2，a=y-bx）21已知函數(shù)f(x)=12x2+ax，g(x)=(a+1)lnx(a0)（1）若點(diǎn)P（x0，y0）為函數(shù)f（x）與g（x）圖象的唯一公共點(diǎn)，且兩曲線存在以點(diǎn)P為切點(diǎn)的公共切線，求a的值：（2）若函數(shù)h（x）f（x）g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=32ty=m-32t(t為參數(shù)，mR）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2=33-2cos2(0)（1）寫出曲線C1的普通方程和曲

10、線C2的直角坐標(biāo)方程：（2）已知m-3，點(diǎn)P是曲線C2上一點(diǎn)，點(diǎn)P到曲線C1的最大距離為22，求m的值選修4-5：不等式選講23已知函數(shù)f（x）|ax+1|（1）當(dāng)a1時(shí)，求不等式f（x）+|2x1|3的解集；（2）設(shè)g（x）1+|x|，若關(guān)于x的不等式f（x）g（x）的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1已知集合A=x|1x3，B=x|y=1x-2，則AB（）Ax|1x2Bx|2x3Cx|2x3Dx|x1【分析】可以求出集合B，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可解：Ax|1x3，Bx|x2，ABx|x1故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法的定義，并集的運(yùn)算，

11、考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2如圖來自中國古代的木紋飾圖若大正方形的邊長為6個(gè)單位長度，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，則在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖形中小正方形內(nèi)的概率是（）A136B19C16D29【分析】分別求出各自對(duì)應(yīng)的面積即可求解結(jié)論解：因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為：6636；而小正方的面積為：111；故在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自圖形中小正方形內(nèi)的概率是：8136=29故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的求解，屬于基礎(chǔ)題目3設(shè)有下面兩個(gè)命題：那么下列命題中，真命題是（）p1：復(fù)數(shù)zR的充要條件是z=z；p2：若復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則復(fù)數(shù)zi所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，Ap1

12、p2B（p1）p2Cp1（p2）D（p1）（p2）【分析】設(shè)za+bi（a，bR），由復(fù)數(shù)zR得z=z，則p1為真命題；再判斷p2為真命題然后由復(fù)合命題的真假判斷得答案解：設(shè)za+bi（a，bR），則zRb0z=z，則p1為真命題；若復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則a0，b0，而zi=a+bii=b-ai，故復(fù)數(shù)zi所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（b，a）在第四象限，p2為真命題p1p2為真命題故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)合命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題4已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若a2+a53a3，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為6，則a5（）A0B1C2D3【分析】利用等差

13、數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a5解：數(shù)列an為等差數(shù)列，a2+a53a3，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為6，a1+d+a1+4d=3(a1+2d)a1+3d+2(a1+6d)=12，解得a11，d1，a51+43故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的第5項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題5已知定義在R上的函數(shù)f（x）3sinx2x+1，則f（x）的最大值與最小值之和等于（）A0B1C2D3【分析】根據(jù)題意，設(shè)g（x）f（x）13sinx2x，分析可得g（x）為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得g（x）max+g（x）min0，進(jìn)而可得f（x）max1+g

14、（x）min1f（x）max+f（x）min20，變形分析可得答案解：根據(jù)題意，設(shè)g（x）f（x）13sinx2x，有g(shù)（x）3sin（x）2（x）（3sinx2x）g（x），即函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則g（x）max+g（x）min0，則有f（x）max1+g（x）min1f（x）max+f（x）min20，變形可得f（x）max+f（x）min2；即f（x）的最大值與最小值之和等于2；故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意構(gòu)造新函數(shù)g（x）f（x）1，屬于基礎(chǔ)題6(1-x)(x+1x+2)4的展開式中x的系數(shù)是（）A10B2C14D34【分析】把(x+1

15、x+2)4 變成(x+1x)8，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式展開，可得(1-x)(x+1x+2)4的展開式中x的系數(shù)解：(1-x)(x+1x+2)4=（1x）(x+1x)8（1x）（C80x4+C81x3+C82x2+C881x4），故展開式中x的系數(shù)是 C83-C84=-14，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題7一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形記該幾何體的外接球的體積為V1，該幾何體的體積為V2，則V1與V2的比值為（）A94B98C109D329【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的體積和外接球的體積解：根據(jù)幾何體

16、的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體如圖所示：取AB的中點(diǎn)D，連接SD，易知球心O在線段SD上，連接AO，設(shè)外接球的半徑為r，則：(3-r)2+12=r2，解得r=233所以v1=43(233)3=32327，該幾何體的體積V2=1312213=33則：V1V2=329故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和直觀圖形之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積和表面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型8如圖所示的程序框圖是為了求出滿足1+3+5+n2020的最大正奇數(shù)的值，那么在框中，可以填（）A“輸出i4”B“輸出i2”C“輸出i1”D“輸出i”【分析】由已知中的程序

17、語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算s的值并輸出符合題意的i的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案解：由于滿足1+3+5+n2020后，此時(shí)i值比程序要求的i的值多2，又執(zhí)行了一次ii+2，故輸出的應(yīng)為i4故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題9已知函數(shù)f(x)=3sin2x-cos2x在區(qū)間0，2上當(dāng)x時(shí)取得最大值，將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）Ag（x）2cos2xB.g（x）2cos2xCg(x)=3sin2x+cos2xD.g(x)=-3sin2x-cos2x

18、【分析】利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求函數(shù)解析式f（x）2sin（2x-6），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得最大值，由題意可求=3，進(jìn)而利用函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換即可求解g（x）的解析式解：f(x)=3sin2x-cos2x=2sin（2x-6），當(dāng)x0，2時(shí)，2x-6-6，56，故當(dāng)2x-6=2，即x=3時(shí)，f（x）取得最大值，所以=3，從而g（x）f（x+3）2sin2（x+3）-62sin（2x+2）2cos2x故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)yAsin（x+）的圖象變換，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題10已知雙曲線x24-y2

19、3=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，若AF2B60，則AF2B的內(nèi)切圓半徑為（）A433B233C23D2【分析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心M，設(shè)AF2B三邊與內(nèi)切圓的切點(diǎn)，連接切點(diǎn)與圓心M的線段，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得|AF2|AQ|BF2|BQ|，再由雙曲線定義可知：|AF2|AF1|BF2|BF1|2a，可得Q，F(xiàn)1重合，再由AF2B60可得內(nèi)切圓的半徑的值解：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為M（x，y），設(shè)圓M與三角形的邊分別切于T，Q，S，如圖所示連接MS，MT，MQ，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：|F2T|F2S|，|AT|AQ|，|BS|BQ|，所以|AF2|AQ|AF2|AT|

20、F2T|，|BF2|BQ|BF2|BS|F2S|，所以|AF2|AQ|BF2|BQ|，由雙曲線的定義可知：|AF2|AF1|BF2|BF1|2a，所以可得Q，F(xiàn)1重合，所以|TF2|2a4，所以r|MT|TF2|tanAF2B2=334，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)及內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于中檔題11數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)，則乘3加1如果是偶數(shù)，則除以2，得到的結(jié)果再按照上述規(guī)則重復(fù)處理，最終總能夠得到1對(duì)任意正整數(shù)a0，記按照上述規(guī)則實(shí)施第n次運(yùn)算的結(jié)果為an（nN），則使a71的a0所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D6【分析

21、】推導(dǎo)出nN*，an=3an-1+1，an-1為奇數(shù)an-12，an-1為偶數(shù)，由a71，得a62，從而a54，進(jìn)而a41或a48由此利用分類討論思想和遞推思想能求出滿足條件的a0的值的個(gè)數(shù)解：由題意知nN*，an=3an-1+1，an-1為奇數(shù)an-12，an-1為偶數(shù)，由a71，得a62，a54，a41或a48當(dāng)a41時(shí)，a32，a24，a11或a18，a02或a016若a48，則a316，a25或a232，當(dāng)a25時(shí)，a110，此時(shí)，a03或a020，當(dāng)a232時(shí)，a164，此時(shí)，a021或a0128，綜上，滿足條件的a0的值共有6個(gè)故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列中項(xiàng)的可能取值的個(gè)數(shù)的求法

22、，考查遞推公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題12已知實(shí)數(shù)a、b滿足log2alog3b，給出五個(gè)關(guān)系式：其中不可能成立的關(guān)系式有（）abba；aabb；abba；abaa；bbbaA1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【分析】由log2alog3b，知1ab 或 ab1 或 0ba1，然后分情況驗(yàn)證個(gè)關(guān)系式即可解：由log2alog3b，知1ab 或 ab1 或 0ba1，當(dāng)ab1時(shí)，成立，其他的不成立；當(dāng)0ba1時(shí)，abba，abaa，bbba，成立，不成立；當(dāng)1ab時(shí)，取a2，b3，則ab238932ba，成立，abaa，bbba，不成立，綜上，只有不可能成立故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的基

23、本性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13如圖所示，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，若ABAO=2，則弦AB長為2【分析】結(jié)合圖形可得AB-AO=OB，兩邊平方后整理可得AB22ABAO=0，則AB22ABAO=4解：因?yàn)锳B-AO=OB，兩邊平方可得AB22ABAO+AO2=OB2，即AB22ABAO=0，所以AB22ABAO=4，所以AB2故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題14已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2x+y1y2x-2，則zx+2y的最小值為0【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的

24、坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【解答】解：由實(shí)數(shù)x、y滿足x2x+y1y2x-2，畫出可行域如圖，化zx+2y為y=-12x+12z，由圖可知，當(dāng)直線y=-12x+12z過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值，由x=2x+y=1，解得A（2，1），最小值z2+2（1）0故答案為：0【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題15已知拋物線x2y的焦點(diǎn)為F，過F作兩條夾角為30的直線m、n，直線m與拋物線交于點(diǎn)P、Q，直線n與拋物線交于點(diǎn)M、N，則1|PQ|+1|MN|的最小值為1-32【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)直線m的傾斜角為，求得直線m的參數(shù)方程，聯(lián)立拋物線

25、的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，可得|PQ|，再將換為+30，可得|MN|，再由三角函數(shù)的二倍角的余弦公式、和差化積公式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到所求最小值解：拋物線x2y的焦點(diǎn)為F（0，14），設(shè)直線m的傾斜角為，可得直線m的參數(shù)方程為x=tcosy=14+tsin（t為參數(shù)），設(shè)P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，聯(lián)立拋物線的方程x2y，可得t2cos2tsin-14=0，即有t1+t2=sincos2，t1t2=-14cos2，則|PQ|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2=sin2cos4+1cos2=sin2+cos2cos4=1cos2，即有|PQ|=1cos2，將換為

26、+30，同理可得|MN|=1cos2(+30)，則1|PQ|+1|MN|=cos2+cos2（+30）=1+cos22+1+cos2(+30)21+12cos2+cos（2+60）1+cos（2+30）cos301+32cos（2+30），當(dāng)cos（2+30）1，即75時(shí)，1|PQ|+1|MN|的最小值為1-32故答案為：1-32【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義，考查三角函數(shù)的恒等變換和余弦函數(shù)的值域，主要考查化簡運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題16在四樓錐PABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，DAB60，PAPD，APD90，平面PAD平面AB

27、CD，Q點(diǎn)是PBC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且滿足DQAC，則Q點(diǎn)所形成的軌跡長度是253【分析】利用已知條件，通過直線與平面垂直，推出Q的軌跡，利用轉(zhuǎn)化思想，求解距離即可解：根據(jù)題意，連接AC，BD，兩直線交于點(diǎn)O，取PC上一點(diǎn)M，連接MB，MD，如圖：若滿足題意DQAC，又ACBD，故AC平面DBQ，則點(diǎn)Q只要在平面DBQ與平面PBC的交線上即可，假設(shè)如圖所示，平面DBM與平面DBQ是同一個(gè)平面，則Q點(diǎn)的軌跡就是線段BM，根據(jù)假設(shè)，此時(shí)直線AC平面DBM，則ACMO，故三角形PAD是等腰直角三角形，三角形BAD是等邊三角形，故ADPB，又因?yàn)锽CAD，故BCPB，故三角形PBC為直角三角形，

28、故PC=PB2+BC2=22，在三角形PAC中，PA=2，AC23，PC22，由余弦定理可得：cosPCA=8+12-222322=368，在菱形ABCD中，OC=3，故在直角三角形MOC中，MC=OCcosPCA=3368=423，在三角形BCM中，PCB45，故BM2BC2+CM22BCCMcosPCB22+（423）22242322=209，故得BM=203=253【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間圖形的應(yīng)用，涉及直線與平面的位置關(guān)系，軌跡長度的求解，是難題三、解答題：共70分解箐應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作簀第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一

29、）必考題：共60分17設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，滿足asinBcosC+csinBcosA=12b且ab（1）求角B的大??；（2）若b1，BC邊上的中線AM的長為12a，求ABC的面積【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡即可求解B；（2）由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解解：（1）因?yàn)閍sinBcosC+csinBcosA=12b，由正弦定理可得，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB，因?yàn)閟inB0，所以sinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB=12，因?yàn)閍b，所以B為銳角，故B=6，（2）由題意可知，2A

30、M=AB+AC，|AM|a，兩邊同時(shí)平方可得，4AM2=a2b2+c2+2bccosBAC，又由余弦定理可得，a2b2+c22bccosA，故cosA0因?yàn)锳（0，），所以A90，所以b1，c=3，SABC=12bc=32【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及向量數(shù)量積的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔試題18在四棱錐PABCD中，BCBDDC=23，ADABPDPB2，PA=2（1）求證：平面PBD平面ABCD；（2）求二面角CPDB的余弦值【分析】（1）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)PO，推導(dǎo)出POOA，POBD，從而PO平面ABCD，由此能證明平面PBD平面ABCD（2）以O(shè)為原點(diǎn)，

31、OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角CPDB的余弦值【解答】（1）證明：連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)PO，由對(duì)稱性知O為BD中點(diǎn)，且ACBD，POBD，又PBDABD，AOBD，從而POAO1，又PA=2，由PO2+OA2PA2，POOA，POBD，OABDO，PO平面ABCD，PO平面PBD，平面PBD平面ABCD（2）解：由（1）知，PO，BD，AC兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，-3，0），P（0，0，1），在等腰BCD中，CO3，則C（3，0，0），DC=（3，3，0），DP=（0，3，1）

32、，平面PBD的法向量n=（1，0，0），設(shè)平面PCD的法向量m=（x，y，z），則mDC=3x+3y=0mDP=3y+z=0，取x1，得m=（1，-3，3），設(shè)二面角CPDB的平面角為，cos=|mn|m|n|=1313二面角CPDB的余弦值為1313【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題19已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32點(diǎn)(2，2)在橢圓C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)P（0，2）任作橢圓C的兩條相互垂直的弦AB、CD，設(shè)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，則直線MN是否

33、過定點(diǎn)？若過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請說明理由【分析】（1）由已知得ca=324a2+2b2=1a2=b2+c2，解得a2，b2，進(jìn)而可得橢圓C的方程（2）設(shè)直線AB的方程為ykx2（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線AB與橢圓方程，得（1+4k2）x216kx+40，結(jié)合韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M（8k1+4k2，-21+4k2），同理N（-8kk2+4，-2k2k2+4），進(jìn)而得直線MN斜率，和方程，令x0，得y=-25，即可得出答案解：（1）由已知得ca=324a2+2b2=1a2=b2+c2，解得a212，b23，所以橢圓C的方程為x212+y23=1（2）由題意知

34、直線AB，CD的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為ykx2（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx-2x212+y23=1得（1+4k2）x216kx+40，由0得k2112，且x1+x2=16k1+4k2，所以xM=x1+x22=8k1+4k2，yMkxM2=-21+4k2，即M（8k1+4k2，-21+4k2），同理N（-8kk2+4，-2k2k2+4），所以kMN=-21+4k2+2k2k2+48k1+4k2+8kk2+4=k2-15k，所以直線MN的方程為y+21+4k2=k2-15k（x-8k1+4k2），由對(duì)稱性可知定點(diǎn)必在y軸上，令x0，得y=k2-15k（0-

35、8k1+4k2）-21+4k2=-25，所以直線MN過定點(diǎn)（0，-25）【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的相交問題，屬于中檔題20近年來我國肥胖人群的規(guī)模急速增長，肥胖人群有很大的心血管安全隱患目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BodyMassIndex，縮寫為BMI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計(jì)算公式是BMI=體重(單位：kg)身高2(單位：m2)中國成人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)為：BMI18.4為偏瘦；18.5BMI23.9為正常；24BMI27.9為偏胖；BMI28為肥胖為了解某公司員工的身體質(zhì)量指數(shù)，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，抽取了8名員工（編號(hào)18）的身高x（cm）和體重y

36、（kg）數(shù)據(jù)，并計(jì)算得到他們的BMI值（精確到0.1）如表：編號(hào)12345678身高（cm）164176165163170172168182體重（kg）607277547255BMI（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（I）現(xiàn)從這8名員工中選取2人進(jìn)行復(fù)檢，記抽取到BMI值為“正常”員工的人數(shù)為X求X的分布列及數(shù)學(xué)期望（II）某調(diào)查機(jī)構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)公司員工的身高x（cm）和體重y（kg）之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，在編號(hào)為6的體檢數(shù)據(jù)丟失之前調(diào)查員甲已進(jìn)行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析，并計(jì)算得出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為y=0.5x+a，且根據(jù)回歸方程預(yù)估一名身高為180cm的

37、員工體重為71kg計(jì)算得到的其他數(shù)據(jù)如下x=170，i=1n xiyi=89920（1）求a的值及表格中8名員工體重的平均值y；（2）在數(shù)據(jù)處理時(shí)，調(diào)查員乙發(fā)現(xiàn)編號(hào)為8的員工體重?cái)?shù)據(jù)有誤，應(yīng)為63kg，身高數(shù)據(jù)無誤請你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計(jì)算線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)估一名身高為180cm的員工的體重（附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（x，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx-2，a=y-bx）【分析】（I）由表中可知，8名員工中BMI數(shù)值為“正?！钡膯T工有5人，所以X的可能取值為0，1，2，然

38、后根據(jù)超幾何分布計(jì)算概率的方式逐一求出每個(gè)X的取值所對(duì)應(yīng)的概率即可得分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；（II）（1）由已知條件易知a=-19，從而得到線性回歸方程，由于其一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)(x，y)，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程即可求得y；（2）由b的計(jì)算公式可知i=18 xi2-8x2=2(i=18 xiyi-8xy)=320，而更正后的數(shù)據(jù)x=x=170，y=668+(63-55)8=67，再結(jié)合b的公式即可求出其值，利用a=y-bx可求出a，于是可得更正后的線性回歸方程，最后把x180代入求出y即可解：（I）由表中的BMI數(shù)值可知，8名員工中BMI數(shù)值為“正?！钡膯T工有5人，所以X的可能取值為0，1

39、，2，P（X0）=C50C32C82=328，P（X1）=C51C31C82=1528，P（X2）=C52C30C82=514，X的分布列為 X 0 1 2 P 328 1528 514數(shù)學(xué)期望E（X）=0328+11528+2514=3528=54（II）（1）根據(jù)回歸方程預(yù)估一名身高為180cm的員工體重為71kg，710.5180+a，解得a=-19，故線性回歸方程為y=0.5x19樣本中心點(diǎn)(x，y)一定在回歸直線方程上，y=0.5170-19=66（2）由（1）知更正前的數(shù)據(jù)x=170，y=66，b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx-2=i=18 xiyi-8xyi=

40、18 xi2-8x2=0.5，i=18 xi2-8x2=2(i=18 xiyi-8xy)=2（89920817066）320，更正后的數(shù)據(jù)x=x=170，y=668+(63-55)8=67，i=18 xiyi=i=18 xiyi+x88=i=18 xiyi+1828，8xy=8x(y+1)=8xy+8170，b=i=18 xiyi-8xyi=18 xi2-8x2=(i=18 xiyi+1828)-(8xy+8170)i=18 xi2-8x2=(i=18 xiyi-8xy)+(182-170)8i=18 xi2-8x2=0.5+96320=0.8，a=y-bx=67-0.8170=-69，故更正

41、后的線性回歸方程為y=0.8x-69當(dāng)x180時(shí)，y=0.8180-69=75，重新預(yù)估一名身高為180cm的員工的體重約為75kg【點(diǎn)評(píng)】本題考查超幾何分布、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、線性回歸方程的求法，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于中檔題21已知函數(shù)f(x)=12x2+ax，g(x)=(a+1)lnx(a0)（1）若點(diǎn)P（x0，y0）為函數(shù)f（x）與g（x）圖象的唯一公共點(diǎn)，且兩曲線存在以點(diǎn)P為切點(diǎn)的公共切線，求a的值：（2）若函數(shù)h（x）f（x）g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【分析】（1）先分別對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）先對(duì)h（x）求導(dǎo)，然后

42、結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分析函數(shù)的特征性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及零點(diǎn)判定定理可求出符合要求的a的范圍解：（1）由題意可知，yf（x）與yg（x）（x0）圖象的在唯一公共點(diǎn)處的切線相同，又因?yàn)閒（x）x+a，g(x)=a+1x，所以f（x0）g（x0），f（x0）g（x0），即12x02+ax0=(a+1)lnx0x0+a=a+1x0，由x0+a=a+1x0可得x01或x0a1，由點(diǎn)P唯一可得a11或a10，即a2或a1，由12x02+ax0=(a+1)lnx0可得a=-12，綜上可得，a=-12；（2）由h（x）f（x）g（x）=12x2+ax-(a+1)lnx，x0，則h(x)=x+a-a+1x=(x-1)(x+a+1)x，（i）若a+10即0a1時(shí)，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增，因?yàn)閤0時(shí)，h（x）+，且h（2）2+2a（a+1）ln22+2a2（a+1）0，故要使得h（x）有2個(gè)零點(diǎn)，只有h（1）0即1a-12，當(dāng)a1時(shí)，h（x）=12x2-x只有一個(gè)零點(diǎn)，故1a-12（ii）若a+10，即a1時(shí)，當(dāng)a2時(shí)，h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)2a1時(shí)，h（x）在（0，a1）上單調(diào)遞增，在（a1，1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增，且x0時(shí)，h（x），且h（1）a+120，h（e2）=12e4+ae2-(a+1)lne212e4+ae20，