無窮級數(shù)習(xí)題課PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1 無窮級數(shù)習(xí)題課無窮級數(shù)習(xí)題課 n n n uuuuu 321 1 1 1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級數(shù) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) ) n n s lim存在存在( (不存在不存在) ). . n i inn uuuus 1 21 級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和 定義定義 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散 第1頁/共44頁 性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. . 性質(zhì)性質(zhì)2 2: :收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. . 性質(zhì)性質(zhì)3 3: :在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級

2、數(shù)的斂在級數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級數(shù)的斂 散性散性. 性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂 于原來的和于原來的和. . . 0lim n n u級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: 收斂級數(shù)的基本性質(zhì)收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 第2頁/共44頁 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法 正正 項(xiàng)項(xiàng) 級級 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù) 1. 2. 4.充要條件充要條件 5.比較法比較法 6.比值法比值法 7.根值法根值法 4.絕對收斂絕對收斂 5.交錯級數(shù)交錯級數(shù) (萊布尼茨定理萊布尼茨定理) 3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì); ;,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn ;,

3、 0,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) n un 一般項(xiàng)級數(shù)一般項(xiàng)級數(shù) 4.絕對收斂絕對收斂 第3頁/共44頁 定義定義 0, 1 n n n uu .有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級數(shù)收斂正項(xiàng)級數(shù)收斂 n s 2 2、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 審斂法審斂法 (1) (1) 比較審斂法比較審斂法 若若 1n n u收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) )且且)( nnnn vuuv , , 則則 1n n v收斂收斂( (發(fā)散發(fā)散) ). . 第4頁/共44頁 (2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式 設(shè)設(shè) 1n n u與與 1n n v都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù),如果如

4、果l v u n n n lim, 則則(1) 當(dāng)當(dāng) l0時(shí)時(shí),二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當(dāng)當(dāng) 0 l 時(shí)，若時(shí)，若 1n n v收斂收斂,則則 1n n u收斂收斂; (3) 當(dāng)當(dāng) l 時(shí)時(shí), 若若 1n n v發(fā)散發(fā)散,則則 1n n u發(fā)散發(fā)散; 第5頁/共44頁 設(shè)設(shè) 1n n u為正項(xiàng)級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù), 如果如果0lim lnun n (或或 n n nulim), 則級數(shù)則級數(shù) 1n n u發(fā)散發(fā)散; 如果有如果有1 p, 使得使得 n p n un lim存在存在, 則級數(shù)則級數(shù) 1n n u收斂收斂. (3) (3) 極限審斂法極限審斂法 第6頁/共44

5、頁 (4) (4) 比值審斂法比值審斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 D DAlembertAlembert 判別法判別法) ) 設(shè)設(shè) 1n n u是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù),如如果果)(lim 1 數(shù)數(shù)或或 n n n u u 則則1 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)收斂;1 時(shí)級數(shù)發(fā)散時(shí)級數(shù)發(fā)散; 1 時(shí)失效時(shí)失效. (5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) ) 設(shè)設(shè) 1n n u是正項(xiàng)級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù), , 如果如果 n n n ulim)( 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 , , 則則1 時(shí)級數(shù)收斂時(shí)級數(shù)收斂; ; 1 時(shí)級數(shù)發(fā)散時(shí)級數(shù)發(fā)散; ;1 時(shí)失效時(shí)失效. . 第7頁/共44頁 定義定義 正正 、負(fù)

6、項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . n n n n n n uu 11 1 )1()1(或或 萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1( 1 nuu nn ;(;() )0lim n n u, ,則則 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, , 且其和且其和 1 us , , 其余 項(xiàng)其余 項(xiàng) n r的絕對值的絕對值 1 nn ur. . )0( n u其中其中 3 3、交錯級數(shù)及其審斂法、交錯級數(shù)及其審斂法 第8頁/共44頁 定義定義 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項(xiàng)級數(shù). 定理定

7、理 若若 1n n u收斂收斂,則則 1n n u收斂收斂. 定義定義: :若若 1n n u收斂收斂, , 則稱則稱 0n n u為絕對收斂為絕對收斂; ; 若若 1n n u發(fā)發(fā)散散, ,而而 1n n u收收斂斂, , 則則稱稱 1n n u為為條條件件收收斂斂. . 4 4、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 第9頁/共44頁 5 5、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù) (1) (1) 定義定義 設(shè)設(shè)),(,),(),( 21 xuxuxu n 是是定定義義在在RI 上上 的的函函數(shù)數(shù), ,則則 )()()( 21 1 xuxuxu n n 稱稱為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間I上上的的( (函函

8、數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)) )無無窮窮級級數(shù)數(shù). . (2) (2) 收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域 如如果果Ix 0 ,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù) 1 0) ( n n xu收收斂斂, 第10頁/共44頁 則稱則稱 0 x為級數(shù)為級數(shù))( 1 xu n n 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn), ,否則稱為否則稱為發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn). . 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. . 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù))( 1 xu n n 的所有收斂點(diǎn)的全體稱為的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域收斂域, , (3) (3) 和函數(shù)和函數(shù) 在收斂域上在收斂域上, ,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù))(xs, , 稱稱)(xs為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

9、的為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù). . 第11頁/共44頁 (1) (1) 定義定義 形如形如 n n n xxa)( 0 0 的級數(shù)稱為的級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù). ,0 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 其其中中 n a為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù). 6 6、冪級數(shù)、冪級數(shù) n n nx a 0 第12頁/共44頁 如如果果級級數(shù)數(shù) 0n n n xa在在 0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足 不不等等式式 0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. . 定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 如如果果級級數(shù)數(shù) 0n n n xa在在)0( 00 xxx處處收收斂斂, ,則則 它它在在滿滿足足

10、不不等等式式 0 xx 的的一一切切x處處絕絕對對收收斂斂; ; (2) (2) 收斂性收斂性 第13頁/共44頁 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0n n nx a不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也 不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定 的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): : 當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ; 當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. . 推論推論 第14頁/共44頁 定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪

11、級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑. 冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間. 定理定理 2 2 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 0n n nx a的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 n a, 設(shè)設(shè) n n n a a 1 lim (或或 n n n alim) (1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), 1 R; (3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 R. (2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R; 第15頁/共44頁 a. .代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): : 加減法加減法 00n n n n n n xbxa. 0 n n nx c (其中其中 21, minRRR ) nnn bac RRx, , 21 00 RRxbxa

12、n n n n n n 和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) (3)(3)冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算 第16頁/共44頁 乘法乘法 )()( 00 n n n n n n xbxa. 0 n n nx c RRx, (其中其中 ) 0110 bababac nnnn 除法除法 0 0 n n n n n n xb xa . 0 n n nx c )0( 0 n n nx b收斂域內(nèi)收斂域內(nèi) 第17頁/共44頁 b. .和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): : 冪級數(shù)冪級數(shù) 0n n nx a的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 ),(RR 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),在端點(diǎn)收斂在端點(diǎn)收斂,則

13、在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù). 冪冪級級數(shù)數(shù) 0n n nx a的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間 ),(RR 內(nèi)內(nèi)可可積積,且且對對),(RRx 可可逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分. 冪級數(shù)冪級數(shù) 0n n nx a的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 ),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次并可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次. 第18頁/共44頁 7 7、冪級數(shù)展開式、冪級數(shù)展開式 如果如果)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)則冪級數(shù) n n n xx n xf )( ! )( 0 0 0 )( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). n n n x n

14、f 0 )( ! )0( 稱為稱為)(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù). (1) 定義定義 第19頁/共44頁 定理定理 )(xf在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)( 0 xU 內(nèi)收內(nèi)收 斂于斂于)(xf在在)( 0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRn n . . (2) 充要條件充要條件 (3) 唯一性唯一性 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在在)( 0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展開成展開成)( 0 xx 的冪級數(shù)的冪級數(shù), , 即即 n n n xxaxf)()( 0 0 , , 則其系數(shù)則其系數(shù) ), 2 , 1 , 0()( ! 1 0 )( nxf n a n n

15、且展開式是唯一的且展開式是唯一的. . 第20頁/共44頁 (3) 展開方法展開方法 a.a.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) ) 步驟步驟:; ! )( )1( 0 )( n xf a n n 求求 ,)(0lim)2( )( MxfR n n n 或或討論討論 ).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收 b.b.間接法間接法 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通通 過過變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)逐項(xiàng) 積分積分等方法等方法,求展開式求展開式. 第21頁/共44頁 ),( ! 1 ! 2 1

16、 1 2 xx n xxe nx )!12( )1( ! 5 1 ! 3 1 sin 12 53 n x xxxx n n ),( x )!2( )1( ! 4 1 ! 2 1 1cos 2 42 n x xxx n n ),( x (4) 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式 第22頁/共44頁 )1 , 1( x n x n n xx x ! )1()1( ! 2 )1( 1 )1( 2 )1ln(x n x xxx n n 132 )1( 3 1 2 1 1 , 1( x 第23頁/共44頁 (5) 應(yīng)用應(yīng)用 a. .近似計(jì)算近似計(jì)算 b. .歐拉公式歐拉公式 ,sincosxixe ix ,

17、2 cos itit ee t , 2 sin i ee t itit 第24頁/共44頁 (1) (1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx .,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個(gè)不同函數(shù)在任意兩個(gè)不同函數(shù)在 正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx 三角函數(shù)系三角函數(shù)系 8 8、傅里葉級數(shù)、傅里葉級數(shù) 第25頁/共44頁 nm nm nxdxmx , , 0 sinsin nm nm nxdxmx , , 0 coscos 0cossin nxdxmx ), 2 , 1,( nm其中其中 (2) (2) 傅里

18、葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 定義定義三角級數(shù)三角級數(shù) ), 2 , 1(,sin)( 1 ), 2 , 1 , 0(,cos)( 1 nnxdxxfb nnxdxxfa n n 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù). 第26頁/共44頁 (3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) (1) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的連續(xù)點(diǎn)時(shí)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于)(xf; (2) 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的間斷點(diǎn)時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí), 收斂于收斂于 2 )0()0( xfxf ; (3) 當(dāng)當(dāng)x為端點(diǎn)為端點(diǎn) x時(shí)時(shí)

19、,收斂于收斂于 2 )0()0( ff . 第27頁/共44頁 如果如果)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxb n n sin 1 稱為稱為正弦級數(shù)正弦級數(shù). (4) (4) 正弦級數(shù)與余弦級數(shù)正弦級數(shù)與余弦級數(shù) 當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的奇函數(shù)的奇函數(shù))(xf展開成傅里葉展開成傅里葉 級數(shù)時(shí)級數(shù)時(shí),它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 ), 2 , 1(sin)( 2 ), 2 , 1 , 0(0 0 nnxdxxfb na n n 第28頁/共44頁 當(dāng)周期為當(dāng)周期為 2的偶函數(shù)的偶函數(shù))(xf展開成傅里葉級數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 時(shí)時(shí),它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為 ), 2 , 1(

20、0 ), 2 , 1 , 0(cos)( 2 0 nb nnxdxxfa n n 如果如果)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù), 傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)nxa a n n cos 21 0 稱為稱為余弦級數(shù)余弦級數(shù). 第29頁/共44頁 奇延拓奇延拓: 0)( 00 0)( )( xxf x xxf xF 令令 的傅氏正弦級數(shù)的傅氏正弦級數(shù))(xf .sin)( 1 n n nxbxf)0( x (5) (5) 周期的延拓周期的延拓 第30頁/共44頁 偶延拓偶延拓: 0)( 0)( )( xxf xxf xF 令令 的傅氏余弦級數(shù)的傅氏余弦級數(shù))(xf 1 0 cos 2 )( n n nxa a xf)0(

21、 x 第31頁/共44頁 式為式為則它的傅里葉級數(shù)展開則它的傅里葉級數(shù)展開的條件的條件 滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數(shù)的周期函數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為 , )(2xfl ),sincos( 2 )( 1 0 l xn b l xn a a xf n n n 式式的周期函數(shù)的傅氏展開的周期函數(shù)的傅氏展開周期為周期為 l2)6( ), 2 , 1 , 0(,cos)( 1 ndx l xn xf l a l l n ), 2 , 1(,sin)( 1 ndx l xn xf l b l l n 第32頁/共44頁 二、典型例題二、典型例題 ; ) 1 ( )1(: 1 1 n n n n n n n

22、 判斷級數(shù)斂散性判斷級數(shù)斂散性 例例1 1 解解 n n n n n n nn u ) 1 ( 1 , ) 1 1( 2 1 n n n n n n n n n nn 1 22 ) 1 1(lim) 1 1(lim 2 ; 1 0 e x x n n xn 11 limlim ln 1 limexpx x x 1 limexp x x ; 1 0 e , 01lim n n u 原級數(shù)原級數(shù)發(fā)散發(fā)散(必要條件必要條件) 第33頁/共44頁 ; 2 3 cos )2( 1 2 n n n n 解解, 22 3 cos 2 nnn n n n u , 2 nn n v 令令 n n v v n n

23、 n n n n 2 2 1 limlim 1 1 n n n 2 1 lim , 1 2 1 , 2 1 收斂收斂 n n n 根據(jù)根據(jù)比較比較判別法，判別法，原級數(shù)原級數(shù)收斂收斂 第34頁/共44頁 斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收 斂？如果收散，斂？如果收散，是否收是否收判斷級數(shù)判斷級數(shù) 1 ln )1( n n nn 例例 解解, 1 ln 1 nnn , 1 1 發(fā)散發(fā)散而而 n n , ln 1 ln )1( 11 發(fā)散發(fā)散 nn n nnnn 即原級數(shù)非絕對收斂即原級數(shù)非絕對收斂 第35頁/共44頁 , ln )1( 1 級數(shù)級數(shù)是交錯是交錯 n n nn 由萊布

24、尼茨定理：由萊布尼茨定理： x x n n xn ln lim ln lim , 0 1 lim x x , 0 ln 1 1 lim ln 1 lim n n n nn nn ),0(ln)( xxxxf ),1(0 1 1)( x x xf ,), 1(上單增上單增在在 , ln 1 單減單減即即 xx ,1 ln 1 時(shí)單減時(shí)單減當(dāng)當(dāng)故故 n nn ),1( 1 nuu nn 所以此交錯級數(shù)收斂，所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂 第36頁/共44頁 .)1)(1( 0 斂域及和函數(shù)斂域及和函數(shù)收收求級數(shù)求級數(shù) n n xn例例 解解, 1)1)(1( 0 Rxn n n 斂半徑為斂半徑為的收的收 , 111 x收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)? 20 x即即 則有則有設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為),(xs .)1)(1()( 0 n n xnxs 兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分 第37頁/共44頁 0 1 1 )1( n xn x 0 11 )1)(1()( n x n x dxxndxxs 0 1 )1( n n x )1(1 1 x x , 2 1 x x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得兩邊再對兩邊再對 x ) 2 1 ()( x x xs. )2( 1 2 x 第38頁/共4