空間向量與立體幾何兩類經(jīng)典題型 (2)

1、空間向量與立體幾何兩類經(jīng)典題型從近兩年的新課改區(qū)高考題，不難發(fā)現(xiàn)對空間向量的考查主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：(1)對空間向量的基本知識與運(yùn)算的考查，如2008年海南寧夏高考題第13題考查空間向量的加減法運(yùn)算、向量模的求法等.隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，高考將會越來越重視對基礎(chǔ)知識與基本能力的考查，因此，對空間向量的基本知識及運(yùn)算的考查也將會在高考中越來越多受到重視.(2)高考中對立體幾何解答題的考查一般都體現(xiàn)為一題兩法(同一題兩種解法：傳統(tǒng)法與向量法).而運(yùn)用向量在解決立體幾何問題主要集中在法向量的應(yīng)用上，它可以證明空間線面的位置關(guān)系、求解空間角、距離.同時(shí)運(yùn)用空間向量解答立體幾何問題，淡化了傳統(tǒng)立體幾

2、何中的“形”的推理方法，強(qiáng)化了代數(shù)運(yùn)算，從而降低了思維難度，且思路明確，過程較為程序化.針對上面兩類題型，特提供兩組訓(xùn)練題：一、空間向量的基本運(yùn)算1已知(cos,1,sin)，(sin,1,cos)，則向量與的是夾角是( )A90B60C30D01A 解析：|=，|=，()()=|2|2=0，.2若(2x，1，3)，(1，2y，9)，如果與為共線向量，則( )A.x1，y1B.x，yC.x，yD.x，y2C 解析：由，解得x，y.3已知向量(1，1，0)，(1，0，2)，且k與2互相垂直，則k的值是( )A.B.C.D.3D 解析：|，|，1，則由(k)(2)0，2k|2(k2)|20得4k(

3、k2)(1)50，解得k.4點(diǎn)A（1，0，1），B（4，4，6），C（2，2，3），D（10，14，17）這四個(gè)點(diǎn)是否共面：_（共面或不共面）4共面 解析：（3，4，），（1，2，2），（9，14，16），設(shè)xy，即（9，14，16）（3xy，4x2y，x2y），從而A，B，C，D四點(diǎn)共面5已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3cosa，3sina，1)，B(2sina，2cosa，1)，則|的取值范圍是( )A.0,5B.1,5C.(1,5)D.1,255B 解析：|，則由1sin21，得1|5.6空間四邊形OABC中，點(diǎn)M、N分別為OA、BC的中點(diǎn)，且，用、表示_.6 解析：()().7已知不共面且

4、兩兩不共線的非零向量，滿足|3，|4，|4，且|5，|8，|，求|的值.7解析：設(shè)，則由于ABADAA1不共面，則以ABADAA1為同一頂點(diǎn)上的三條棱作四棱柱ABCD-A1B1C1D1，則|2|2|2|225|2|2，|2|2|2|264|2|2，|2|2|2|257|2|2，ABADAA1兩兩垂直，四棱柱ABCD-A1B1C1D1為長方體，則|2|2|2|2|273，即|.二、法向量的應(yīng)用1若A(0，2，)，B(1，1，)，C(2，1，)，是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量(x，y，z)，則xyz_123(4) 解析：(1，3，)，(2，1，)，由0，0，得，即，xyzyy(y)23(4).2在

5、矩形ABCD中，已知AB1，AB1，BQ2，QC1，PA平面ABCD，且PA1，求AD與平面PDQ所成角的正弦值.2解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0，0，0)、Q(1，2，0)、D(0，3，0)、D(0，0，1)，則(0，3，0)，(1，2，1)，(0，3，1)，設(shè)設(shè)平面PDQ的法向量為(x，y，z)，則0，0，(，z)，不妨取(，1)，cos.所以AD與平面PDQ所成角的正弦值為.3已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，AB2，AD，DC1，PA4，且M、N分別為PB、PD的中點(diǎn)，平面CMN交AP于點(diǎn)Q.求平面CMN與平面ABCD所成

6、二面角的大??；3解：（）如圖以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，2，0)，C(，1，0)，P(0，0，4)，M(0，1，2)，N(，0，2)PA面ABCD，為平面ABCD的法向量，且(0，0，4)設(shè)平面CMN的法向量(x，y，z)，(，0，2)，(，1，2)由0，0，得，令z1，得x，y1，故(，1，1)，cos，60，即二面角的大小為60.4如圖，已知三棱錐OABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的中點(diǎn)求O點(diǎn)到面ABC的距離4解：以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、OA分別為x、y、z軸建

7、立空間直角坐標(biāo)系.則有A(0，0，1)、B(2，0，0)、C(0，2，0).設(shè)平面ABC的法向量為(x，y，z).則由取xy1，z2，則(1，1，2)，點(diǎn)O到面ABC的距離為d，5已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn)，求證：()FC1平面ADE；()平面ADE/平面B1C1F.5證明：如圖1所示建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0，0，0)、A(2，0，0）、C(0，2，0）、C1(0，2，2）、E(2，2，1）、F(0，0，1），所以(0，2，1)，(2，0，0)、(0，2，1)設(shè)(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，分別是平面ADE、平面B

8、1C1F的法向量，則，取y1，則(0，1，2)，同理可求(0，1，2)，()(0，1，2)(0，2，1)0，又FC1平面ADE，F(xiàn)C1平面ADE.()，平面ADE/平面B1C1F.6已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn).求證：D1F平面ADE.6證明：如圖，所求建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，令A(yù)A12，則D(0，0，0)、D1(0，0，2)、A(2，0，0)、E(2，2，1)、F(0，1，0)，所以(2，0，0)，(0，2，1)，(0，1，2)，設(shè)(x，y，z)，是平面ADE的法向量.則，.，取y1，則(0，1，2).，D1F平面ADE.7如圖，正三棱錐OABC的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，且長度均為2E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)，過EF作平面與側(cè)棱OA、OB、OC或其延長線分別相交于A1、B1、C1，已知OA1求證：B1C1平面OAH.7證明：()以直線OA、OB、OC分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，Oxyz，則