線性代數(shù)Matlab應(yīng)用

1、第五節(jié)第五節(jié) 本章本章Matlab應(yīng)用應(yīng)用 本節(jié)主要介紹本節(jié)主要介紹 MatlabMatlab，簡略介紹，簡略介紹MapleMaple、SasSas、 MathematicaMathematica等數(shù)學(xué)軟件。等數(shù)學(xué)軟件。 在眾多的工程數(shù)學(xué)類軟件中，就軟件的內(nèi)核而在眾多的工程數(shù)學(xué)類軟件中，就軟件的內(nèi)核而 言，可以分為兩大類。一類是數(shù)學(xué)分析型軟件，言，可以分為兩大類。一類是數(shù)學(xué)分析型軟件， 如如MathematicaMathematica、MapleMaple等，它們處理等，它們處理符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算 的功能特強(qiáng)，可以得到解析符號(hào)解和任意精度解，的功能特強(qiáng)，可以得到解析符號(hào)解和任意精度解， 一、一、

2、Matlab介紹介紹 但是對(duì)但是對(duì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算方面的功能相對(duì)較弱；方面的功能相對(duì)較弱； 另一類是數(shù)值計(jì)算型軟件，如另一類是數(shù)值計(jì)算型軟件，如MatlabMatlab、SasSas等，等， 這類軟件具有較強(qiáng)的這類軟件具有較強(qiáng)的計(jì)算功能計(jì)算功能和和可視化功能可視化功能，運(yùn)，運(yùn) 行效率較高行效率較高. .其中其中SasSas是處理概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題是處理概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題 的專業(yè)軟件。的專業(yè)軟件。 MatlabMatlab是是 MATrix LABoratory MATrix LABoratory 的縮寫。早在的縮寫。早在 2020世紀(jì)世紀(jì)8080年代中期年代中期MatlabMatlab就曾在我

3、國出現(xiàn)，但就曾在我國出現(xiàn)，但 真正大規(guī)模流行是真正大規(guī)模流行是9090年代中期以后的事?，F(xiàn)在，年代中期以后的事?，F(xiàn)在， MatlabMatlab已被從事科學(xué)研究、工程計(jì)算的廣大科技已被從事科學(xué)研究、工程計(jì)算的廣大科技 工作者、高校師生認(rèn)為是必須掌握的計(jì)算工具，工作者、高校師生認(rèn)為是必須掌握的計(jì)算工具， 是從理論通向?qū)嶋H的橋梁，也是最可信賴的科技是從理論通向?qū)嶋H的橋梁，也是最可信賴的科技 資源之一。資源之一。 Matlab 界面界面 Command Window （命令窗口）（命令窗口） Workspace （變量工作空間）（變量工作空間） Command History Current Dir

4、ectory （當(dāng)前存（當(dāng)前存/取路徑）取路徑） Editor/Debugger （M文件編輯文件編輯/調(diào)試器）調(diào)試器） Help Navigator/Browser （幫助導(dǎo)航（幫助導(dǎo)航/瀏覽器）瀏覽器） 二、二、MatlabMatlab使用初步使用初步 數(shù)值運(yùn)算數(shù)值運(yùn)算 若考慮兩個(gè)數(shù)若考慮兩個(gè)數(shù)a a和和b b的運(yùn)算，在的運(yùn)算，在C C語言中要語言中要定義數(shù)定義數(shù) 值的類型值的類型，否則會(huì)引起很多的不便或錯(cuò)誤，而在，否則會(huì)引起很多的不便或錯(cuò)誤，而在 MatlabMatlab中無須考慮這些變量類型的定義，它們都中無須考慮這些變量類型的定義，它們都 是按雙精度進(jìn)行運(yùn)算的是按雙精度進(jìn)行運(yùn)算的 。

5、例如，在命令窗口。例如，在命令窗口輸入輸入 a=1;b=1/3; c=sqrt(2); a=1;b=1/3; c=sqrt(2); d=a+b d=a+b* *c, e=vpa(d,60)c, e=vpa(d,60) 則有則有輸出輸出 d = 1.4714 d = 1.4714 e = e = 1.471404520791031789173075564697265625000 1.471404520791031789173075564697265625000 又例如，在命令窗口又例如，在命令窗口輸入輸入 a=2;b=3-2i a=2;b=3-2i； c=a-b c=a-b 則有則有輸出輸出 c

6、 = -1.0000 + 2.0000ic = -1.0000 + 2.0000i my_pi = vpa ( pi , 100 ) 則有則有 my_pi = 3.14159265358979323846264338327950288419716 9399375105820974944592307816406286208998628 034825342117068 對(duì)特殊的常數(shù)對(duì)特殊的常數(shù) ， MatlabMatlab中可以輸出它的幾中可以輸出它的幾 十萬位小十萬位小數(shù)，如數(shù)，如 MatlabMatlab處理的對(duì)象是處理的對(duì)象是矩陣矩陣、向量（可以參、向量（可以參 見下章教材）。見下章教材）。

7、 對(duì)對(duì)矩陣的基本運(yùn)算：加、減、數(shù)乘、乘積、矩陣的基本運(yùn)算：加、減、數(shù)乘、乘積、 逆矩陣、轉(zhuǎn)置、再比如求解線性方程式、求特征逆矩陣、轉(zhuǎn)置、再比如求解線性方程式、求特征 值、特征向量、矩陣分解等也是直接可得的。值、特征向量、矩陣分解等也是直接可得的。 現(xiàn)在先講現(xiàn)在先講行列式行列式等相關(guān)內(nèi)容。等相關(guān)內(nèi)容。 例如，輸入例如，輸入 MatlabMatlab矩陣矩陣運(yùn)算運(yùn)算 A=1 2; 3 4 % 命令格式下的輸入提示命令格式下的輸入提示 或或 A =1 2 3 4 且且 D=det(A) % 求求矩陣矩陣A A的行列式的值的行列式的值 則有下列則有下列輸出輸出 D = - 2 比如，接著再輸入比如，接

8、著再輸入 b =-1 ; 1, x=Ab 就得到方程組就得到方程組 Ax=b 的解：的解： x = 3.0000 -2.0000 我們也可以生成我們也可以生成n階范德蒙階范德蒙矩陣矩陣A A并求其行列并求其行列 式的值，如式的值，如輸入輸入 A = VANDER (2, 3, 4) 則有則有 3 3 階范德蒙階范德蒙矩陣矩陣輸出輸出 A =A = 4 2 1 4 2 1 9 3 1 9 3 1 16 4 1 16 4 1 又輸入又輸入 D = det(A)det(A) 則有則有 D = -2 -2 % 為什么值為為什么值為負(fù)？負(fù)？ Matlab Matlab 在線性方程組求解與行列式計(jì)算中有在

9、線性方程組求解與行列式計(jì)算中有 非常大的作用，尤其是對(duì)于那些用手工方法計(jì)算非常大的作用，尤其是對(duì)于那些用手工方法計(jì)算 時(shí)對(duì)分析要求很高、計(jì)算特別困難的問題，用編時(shí)對(duì)分析要求很高、計(jì)算特別困難的問題，用編 程方法來計(jì)算，往往有很好的效果。程方法來計(jì)算，往往有很好的效果。 三、三、MatlabMatlab編程與應(yīng)用編程與應(yīng)用 例例1 計(jì)算下列計(jì)算下列4階行列式階行列式 4444 2222 1111 dcba dcba dcba A 解解 這個(gè)行列式類似于范德蒙這個(gè)行列式類似于范德蒙（VandermondeVandermonde） 行列式行列式 ，用手工計(jì)算則需要更大的技巧和更加，用手工計(jì)算則需要更

10、大的技巧和更加 困難（對(duì)此有興趣的同學(xué)可參看我們的編寫的學(xué)困難（對(duì)此有興趣的同學(xué)可參看我們的編寫的學(xué) 習(xí)指導(dǎo)書），但用編程方法就非常簡單了。習(xí)指導(dǎo)書），但用編程方法就非常簡單了。 程序如下：（程序如下：（prog11prog11） % 用符號(hào)運(yùn)算方法計(jì)算行列式的值用符號(hào)運(yùn)算方法計(jì)算行列式的值 clear allclear all syms a b c d syms a b c d % 符號(hào)變量說明符號(hào)變量說明 A=1 1 1 1; a b c d; a2 b2 c2 d2; A=1 1 1 1; a b c d; a2 b2 c2 d2; a4 b4 c4 d4; a4 b4 c4 d4; %

11、 矩陣輸入矩陣輸入 disp (disp (行列式的值行為：行列式的值行為：) ) d1=det(A) d1=det(A) % 計(jì)算行列式的值計(jì)算行列式的值 disp (disp (簡化表達(dá)式是：簡化表達(dá)式是：) d2=simple(d1) d2=simple(d1) % 簡化表達(dá)式簡化表達(dá)式d1d1 程序執(zhí)行結(jié)果是程序執(zhí)行結(jié)果是： A =A = 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1 a, b, c, d a, b, c, d a2, b2, c2, d2 a2, b2, c2, d2 a4, b4, c4, d4 a4, b4, c4, d4 行列式的值行為行列式的值行為： d1 =

12、d1 = b b* *c2c2* *d4-bd4-b* *d2d2* *c4-b2c4-b2* *c c* *d4 +b2d4 +b2* *d d* *c4+ c4+ b4 b4* *c c* *d2-b4d2-b4* *d d* *c2-ac2-a* *c2c2* *d4+ ad4+ a* *d2d2* *c4+ c4+ a a* *b2b2* *d4-ad4-a* *b2b2* *c4-ac4-a* *b4b4* *d2+ ad2+ a* *b4b4* *c2+ c2+ a2 a2* *c c* *d4-a2d4-a2* *d d* *c4-a2c4-a2* *b b* *d4+a2d4+

13、a2* *b b* *c4+ c4+ a2 a2* *b4b4* *d-a2d-a2* *b4b4* *c-a4c-a4* *c c* *d2+a4d2+a4* *d d* *c2+ c2+ a4 a4* *b b* *d2-a4d2-a4* *b b* *c2-a4c2-a4* *b2b2* *d+a4d+a4* *b2b2* *c c 簡化表達(dá)式是簡化表達(dá)式是： d2 =-(d-c)(b-c)(b-d)(-c+a)(a-d)(a-b)(a+d+c+b)d2 =-(d-c)(b-c)(b-d)(-c+a)(a-d)(a-b)(a+d+c+b) 這個(gè)結(jié)果表達(dá)式非常簡潔這個(gè)結(jié)果表達(dá)式非常簡潔！

14、例例2 解解 這個(gè)例子前面出現(xiàn)過，用克萊姆法則求解比這個(gè)例子前面出現(xiàn)過，用克萊姆法則求解比 討論討論為何值時(shí)，線性方程組為何值時(shí)，線性方程組 123 123 2 123 1xxx xxx xxx 有唯一解，并求出其解。有唯一解，并求出其解。 較復(fù)雜?，F(xiàn)編程（較復(fù)雜。現(xiàn)編程（prog12）求解如下）求解如下 clear all syms syms LemtaLemta disp( disp( 方程組的系數(shù)矩陣與常數(shù)列向量為：方程組的系數(shù)矩陣與常數(shù)列向量為： ) ) A=Lemta 1 1; 1 Lemta 1; 1 1 Lemta % 輸入系數(shù)矩陣，輸入系數(shù)矩陣，Lemta為符號(hào)參數(shù)為符號(hào)參數(shù)

15、b=1 ; Lemta ; Lemta2 % 輸入常數(shù)列向量輸入常數(shù)列向量 D=det(A); p=sym2poly(D); % 符號(hào)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為數(shù)值多項(xiàng)式符號(hào)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為數(shù)值多項(xiàng)式 disp(當(dāng)方程組的系數(shù)行列式中參數(shù)不等于：當(dāng)方程組的系數(shù)行列式中參數(shù)不等于：) Lemta=roots(p) % 求系數(shù)行列式的零點(diǎn)求系數(shù)行列式的零點(diǎn), 或直接用或直接用 Lemta=solve(D) disp(時(shí)，方程組有唯一解，解為：時(shí)，方程組有唯一解，解為：) x = Ab 程序執(zhí)行結(jié)果是程序執(zhí)行結(jié)果是： 方程組的系數(shù)矩陣與常數(shù)列向量為：方程組的系數(shù)矩陣與常數(shù)列向量為： A = Lemta, 1, 1 1, Lemta, 1 1, 1, Lemta b = 1 Lem