第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

1、2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.3 卷積積分卷積積分 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為：連續(xù)系統(tǒng)的時域分析，歸結(jié)為：建立并求解線性微分方程建立并求解線性微分方程。 由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間由于在其分析過程涉及的函數(shù)變量均為時間t，故稱為，故稱為時域分析法時域分析法。 這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響

2、應(yīng) 一、微分方程的經(jīng)典解一、微分方程的經(jīng)典解 y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t) 微分方程的經(jīng)典解：微分方程的經(jīng)典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齊次解齊次解) + yp(t)(特解特解） 齊次解齊次解yh(t)是齊次微分方程的解。是齊次微分方程的解。 y(n) (t)+an-1y(n-1) (t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 齊次解齊次解yh(t)的函數(shù)形式的函數(shù)形式由上述微分方程的由上述微分方程的特

3、征根特征根確定。確定。 特解特解yp(t)的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。 齊次解齊次解僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，與激勵僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，的函數(shù)形式無關(guān)， 稱為稱為固有響應(yīng)固有響應(yīng)或或自由響應(yīng)自由響應(yīng)； 特解特解由激勵確定，稱為由激勵確定，稱為強迫響應(yīng)強迫響應(yīng)。 1、齊次解、齊次解yh(t) 值為特征方程的根。 系統(tǒng)的特征方程為 0)()( 21 01 1 1 n n n n aaa ).,(ni i 21為單實根設(shè)齊次方程的特征根均 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) i C 特征根)(ty h 齊次解 j m 一對共

4、軛復(fù)根 重實根 單實根 21 )sin()cos( 01 2 2 1 1 tDtCe eCetCetCetC Ce t tttm m tm m t 表表2.1不同特征根所對應(yīng)的齊次解不同特征根所對應(yīng)的齊次解 式中常數(shù) 由初始條件確定。 t n i ih i ecty 1 )( 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) )(2ty p 、特解 特解是滿足微分方程并和激勵信號形式有關(guān)的解。表特解是滿足微分方程并和激勵信號形式有關(guān)的解。表2.22.2列出了幾種激勵及其所對應(yīng)特解的形式。列出了幾種激勵及其所對應(yīng)特解的形式。 備注 B（常數(shù)）AA（待定常數(shù)） 不等于特征根 等于特征單根 重特征根 所有

5、特征根均不等于零 重等于零的特征根 激勵( )e t( ) p rt特解 t e m t costsin t 或 等于 k t e A 10 tt A teA e 1 110 () kmm mm tA tAtAtA 1 110 ktkttt kk A t eAteA teA e 1 110 mm mm A tAtA tA 12 cossinAtAt k有 j所有特征根均不等于 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 例例 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（求（1）當(dāng)）當(dāng)f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，

6、y(0)= - -1時的全解；時的全解； （2）當(dāng)）當(dāng)f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。時的全解。 解解: (1) 特征方程為特征方程為2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齊。齊 次解為次解為 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 由表由表2-2可知，當(dāng)可知，當(dāng)f(t) = 2e t時，其特解可設(shè)為時，其特解可設(shè)為 yp(t) = Pe t 將其代入微分方程得將其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1 于是特解為于是特解為 yp(t) = e t 全解為：全解為：

7、y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 其中其中 待定常數(shù)待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 （2）齊次解同上。當(dāng)激勵）齊次解同上。當(dāng)激勵f(t)=e2t時，其指數(shù)與特征根之一相重。時，其指數(shù)與特征根之一相重。 由表知：其特解為由表知：其特解為 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-

8、2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。全解為不能求得。全解為 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 將初始條件代入，得將初始條件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解為最后得微分方程的全解為 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 上式第一項的系數(shù)上式第一項的系數(shù)C1+P0= 2，不能區(qū)分，不能區(qū)分C1和和P0，因而也不能區(qū)，因而也不能區(qū) 分自

9、由響應(yīng)和強迫響應(yīng)。分自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)。 二、關(guān)于二、關(guān)于0-和和0+初始值初始值 初始狀態(tài)初始狀態(tài)或或起始值起始值：在在t=0-時，激勵尚未接入，該時刻的值時，激勵尚未接入，該時刻的值y(j)(0-) (j=0,1,2，n-1)反映了反映了系統(tǒng)的歷史情況系統(tǒng)的歷史情況而與激勵無關(guān)。而與激勵無關(guān)。 初始值：初始值：若輸入若輸入f(t)是在是在t=0時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci時用時用t = 0+ 時刻的時刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。而。而y(j)(0+)包含了輸入信號的作包含了輸入信號的作 用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。用，

10、不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。 通常，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的通常，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的 初始狀態(tài)初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得設(shè)法求得y(j)(0+)。 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 例例：描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：將輸入將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y-(t

11、) = 2(t) + 6(t) （1） 利用利用系數(shù)匹配法系數(shù)匹配法分析：在分析：在0-t 0 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) （2）零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t) 滿足滿足 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等號右端含有由于上式等號右端含有(t)，故，故yzs”(t)含有含有(t)，從而，從而yzs(t)躍變，即躍變，即 yzs(0+)yzs(0-)，而，而yzs(t)在在t = 0連續(xù)，即連續(xù)，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，積分得，積分得 yzs(0

12、+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2 0 0 0 0 d)(62d)(ttttyzs 因此，因此，yzs(0+)= 2+ yzs(0-)=2 對對t0時，有時，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不難求得其齊次解為不難求得其齊次解為Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解為常數(shù)，其特解為常數(shù)3， 于是有于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) )()( 1 tyecty p t

13、 n i i i )( 11 tyecec p t n i zs t n i zi i i i i t n i zs t n i zi t n i i i i i i i ececec 111 自由響應(yīng)強迫響應(yīng) 零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng))(tyzi)(tyzs 零狀態(tài)響應(yīng) 的齊次解 自由響應(yīng) 式中 零輸入響應(yīng) 四、全響應(yīng)響應(yīng) 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 兩種分解方式的區(qū)別：兩種分解方式的區(qū)別： 1 1、 自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的系數(shù)各不相同 i c i zi c與不相同 i c i zi c 由初始狀態(tài)和激勵共同確定 由初始狀態(tài)確定 2 2、 自由響應(yīng)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的

14、齊次解 t 對于系統(tǒng)響應(yīng)還有一種分解方式，即瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所謂瞬態(tài)響應(yīng)指對于系統(tǒng)響應(yīng)還有一種分解方式，即瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所謂瞬態(tài)響應(yīng)指 時，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指時，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指 時，響應(yīng)不為零的那部分響應(yīng)分量。時，響應(yīng)不為零的那部分響應(yīng)分量。 t 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 一一.沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) 1.定義：當(dāng)激勵為單位沖激函數(shù)定義：當(dāng)激勵為單位沖激函數(shù) 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響 應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。表示。 )(t )(t 0 t )(th )

15、 1 ( LTI )(th )(t 0 t 零狀態(tài) 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) step response and impulse response 2. h(t)的求解方法的求解方法 例1.描述某系統(tǒng)的微分方程為: 試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解：由沖激響應(yīng)的定義，當(dāng)f(t)= 時，)(t )()(2)(3)(tftytyty )()(thtyZS 000 123 )()( ).(.)()()()( hh tththth 得 )2.(.00)(2)(3)( , 0)(0 tththth tt上式可化為時， 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 21 21 ，特征根為 )3.(.)()()( 2 2

16、1 teCeCth tt 故 ) 1.(.)()(2)(3)( )0()0(1 tththth hh 和平衡，確定初始條件）等號兩邊奇異函數(shù)要由方程（ 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 0)0()0( )0()0(即,項)(含)(,)()(項)(含)( hh hhtthdtththtth )()()( )( )( )()()( )( ,)( )( teeth C C CCh CCh hh hhh tt 2 2 1 21 21 1 1 120 00 30010 10100 故 式得代入，將初始條件 即故 滿足方程時，當(dāng) 若 初始值確定 )()()( )()(.)()( 0) 1 ( 0 ) 1( 1

17、)( thttf tftyatyaty n n n 1,.,2 , 1 , 000 )()(.)()( )( 0 ) 1( 1 )( njh tthathath j n n n ）（ 1)0( 2,.,2 , 1 , 00)0( 0 1 )( n j h njh 初始值為各由系數(shù)平衡法，可推得 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.h(t)的求解方法的求解方法 .)( .)()()(.)()( I)2( 0 ) 1( 10 ) 1( 1 )( tfb tfbtfbtyatyaty LT m m m m n n n 驟系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解步 .)( )()(.)()( )(),(. 1 10 )1( 1

18、1 )( 1 11 求解過程與前式相同 滿足方程選取新變量 th tftyatyaty tytya n n n )(.)()()( . 10 ) 1( 11 )( 1 thbthbthbth b m m m m 統(tǒng)的沖激響應(yīng)為微分特性，即可求得系 狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)和根據(jù)線性時不變系統(tǒng)零 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 解： )()()( )( )()( tththth th 111 1 45 1應(yīng)選求滿足下式的沖擊響 代入上式得將 故沖擊響應(yīng) ，特征根為 1)0( , 0)0( )()()( 41 11 4 211 21 hh teCeCth tt 0)0( 1)0( 0)(4)( 5)( 0

19、1 1 111 h h ththth t時設(shè) )( )(2)(4)( 5)( 2.tftftytyty為描述某系統(tǒng)的微分方程例 試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 3 1 3 1 140 00 21 211 211 CC CCh CCh ， )( )( )()()( )()( )()( teeththth th tt 4 11 3 2 3 1 2 2 再求滿足系統(tǒng)方程的 )() 3 4 3 1 ( )() 3 1 3 1 ()() 3 4 3 1 ()( )() 3 1 3 1 ()()( 4 44 1 4 11 tee teeteeth teethth tt tttt

20、 tt 為故沖擊響應(yīng) 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 例例3 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t) 求其沖激響應(yīng)求其沖激響應(yīng)h(t)。 解解 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義的定義 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t) 故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 為不含為不含(t) 的某函數(shù)的某函數(shù) h(t) = a(t)

21、+ b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t) 代入式代入式(1)，有，有 a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) 整理得整理得 a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系數(shù)匹配，得系數(shù)匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12 所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2）

22、h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4） 對式對式(3)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) = 3 對式對式(4)從從0-到到0+積分得積分得 h(0+) h(0-) =12 故故 h(0+) = 3， h(0+) =12 微分方程的特征根為微分方程的特征根為 2， 3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0 代入初始條件代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12 求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3

23、e2t 6e3t , t 0 結(jié)合式結(jié)合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t) 對對t0時，有時，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0 ) )( )( )( )(. 2 )0(. 1 )( dt td t dt tdg th h th 的確定難點化為零狀態(tài)響應(yīng) 的求法 二、階躍響應(yīng)二、階躍響應(yīng) 1.1.定義定義 )(tg )(t 1 t 0 LTI )(t )(tg 零狀態(tài) t 0 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.g(t)的求解方法的求解方法 1,.,2 , 1 , 0 0)0()0( 1.,2 , 1 , 0, 0)0( )()(.)()( )(

24、)( )( 0 ) 1( 1 )( nj gg njg ttgatgatg jj j n n n 平衡，得由方程兩邊奇異函數(shù)要 )()()(t a eCtg n i t i i 1 0 1 單根，則若該方程的特征根均為 齊次解特解 另外： tt dtdhtg)()()()( 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 試求該系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 為描述某系統(tǒng)的微分方程例 ),()(8)( 6)( . 4 tftytyty )()()(teCeCtg tt 8 1 42 4 2 2 1 21 故 ，特征根為 00 00 86 )( )( )()()( )( )( g g ttgtgtg tg 滿足方程為解： )()

25、8 1 8 1 4 1 ()( 8 1 , 4 1 042)0( 0 8 1 )0( 0 42 21 21 21 teetg CC CCg CCg tt 于是得 初始值代入上式得由 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)電子 教案 例例5如圖所示的如圖所示的LTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)及沖激系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)及沖激 響應(yīng)。響應(yīng)。 y(t) f (t ) 解：解：（1）列寫系統(tǒng)的微分方程）列寫系統(tǒng)的微分方程 設(shè)圖中右端積分器的輸出為設(shè)圖中右端積分器的輸出為x(t )，則其輸入為，則其輸入為x (t ) 左端積分器的輸入為左端積分器的輸入為x (t

26、)。左端加法器的輸出。左端加法器的輸出 x (t )-3x (t ) 2x(t ) f (t ) 即即 x (t)+3x (t) 2 x(t)f (t)（1） 第第2-18 頁頁 xx(t ) (t )x (t ) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 右端加法器的輸出右端加法器的輸出 y (t )-x (t ) 2x(t ) 所以，系統(tǒng)的微分方程為所以，系統(tǒng)的微分方程為 y (t) 3 y (t) 2 y(t)-f （2）求階躍響應(yīng)）求階躍響應(yīng) (t) 2 f (t)（2） 設(shè)式（設(shè)式（1）所描述的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為）所描述的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為g1 (t)，則式（，則式（2）所）所 描述的系統(tǒng)的

27、階躍響應(yīng)為描述的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 g(t ) g1 (t ) 2g1 (t ) g1(t )滿足方程滿足方程 g 1 (t ) 3g 1(t ) 2g1(t )= (t ) (3) g1 (0 ) g1 (0 )=0 第第2-19 頁頁 2.2沖激響應(yīng)和階躍響沖激響應(yīng)和階躍響 應(yīng)應(yīng) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)電子 教案 其特征根其特征根 1 1, 2 2, 其特解為其特解為0.5，于是得，于是得 e t e 2t g (t )=(C C 0.5) (t ) 1 12 式（式（3）等號右端只有）等號右端只有 (t )，故除了，故除了g1 (t )外，外，g(t )和和g (t ) 均連續(xù)，即有均連續(xù)，

28、即有 g1 (0 ) g1 (0 )=0 代入上式，有代入上式，有 g1(0 ) C1 C2 0.5 g1 (0 )=-C1 2C2 =0 可解得：可解得：C1 1，C2 0.5 于是于是 0 g (t )=( e t 0.5e 2t 0.5) (t ) 1 第第2-20 頁頁 2.2沖激響應(yīng)和階躍響沖激響應(yīng)和階躍響 應(yīng)應(yīng) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)電子教案 其一階導(dǎo)數(shù)其一階導(dǎo)數(shù) g (t ) =( e t 0.5e 2t 0.5) (t ) (e t e 2t ) (t )=(e t e 2t ) (t ) 1 于是于是 g(t ) g (t ) 2g (t ) ( 3e t 2e 2t 1) (

29、t ) 11 （3）求沖激響應(yīng)）求沖激響應(yīng) 設(shè)式（設(shè)式（1）所描述的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為）所描述的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h1(t )，則式（，則式（2） 所所 描述的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為描述的系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t ) h 1(t ) 2h1(t ) h1(t )滿足方程滿足方程 h 1 (t ) 3h 1(t ) 2h1(t )= (t )(4) h1(0 ) h 1 (0 )=0 第第2-21 頁頁 2.2沖激響應(yīng)和階躍響沖激響應(yīng)和階躍響 應(yīng)應(yīng) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)電子 教案 其特征根其特征根 1 1, 2 2, 其特解為其特解為0，于是得，于是得 e t C e 2 t ) (t )h (t )=(

30、C(5) 134 由系數(shù)平衡法，由系數(shù)平衡法，(4)式中式中h 1 (t )應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而h1 (t ) 在在t 0處將躍變，即處將躍變，即h1 (0 ) h1 (0 )。但。但h1 (t )不含沖激函數(shù)，否不含沖激函數(shù)，否 則 則h 1 (t )將含將含 (t )項。由于項。由于h1 (t )含有階躍函數(shù)，故含有階躍函數(shù)，故h(t )在在t 連續(xù)。對連續(xù)。對(4)式等號兩端積分式等號兩端積分(從從0-到到0 ), 得得 h1 (0 ) h 1(0 ) 3h1(0 ) h1(0 ) 1 考慮到考慮到h(t)在在t 0處連續(xù)。將處連續(xù)。將h 1(0 )，h1(0 )代入

31、上式得代入上式得 h 1(0 ) h 1(0 )=1 h1(0 ) h1(0 ) 0 0處處 第第2-22 頁頁 2.2沖激響應(yīng)和階躍響沖激響應(yīng)和階躍響 應(yīng)應(yīng) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)電子 教案 即即 h1(0 ) h 1(0 ) 代入代入(5)式，有式，有 h1(0 ) 0 h1 (0 )+1 1 h1(0 ) h 1(0 ) C3 C4 0 C3 2C4 =1 可解得：可解得：C3 1，C4 1 于是于是 h (t)=(e t e 2 t ) (t) 1 第第2-23 頁頁 2.2沖激響應(yīng)和階躍沖激響應(yīng)和階躍 響應(yīng)響應(yīng) 信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)電子教案 其一階導(dǎo)數(shù)其一階導(dǎo)數(shù) h (t ) =(e

32、t e 2 t ) (t ) ( e t 2e 2 t ) (t )=( e t 2e 2 t ) (t ) 1 于是于是 h(t ) h (t ) 2h (t ) (3e t 4e 2t ) (t ) 11 剛才已經(jīng)求得：剛才已經(jīng)求得： g(t ) ( 3e t 2e 2 t 1) (t ) 驗證結(jié)論（解法驗證結(jié)論（解法II）：）： d g (t ) h(t) d t 第第2-24 頁頁 一一.卷積積分的定義卷積積分的定義 已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數(shù)）上的兩個函數(shù)f1(t)和和f2(t)，則定，則定 義積分義積分 dtfftf)()()( 21 為為f1(t)與與f2

33、(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記為 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意注意：積分是在虛設(shè)的變量：積分是在虛設(shè)的變量下進行的，下進行的，為積分變量，為積分變量，t為參為參 變量。結(jié)果仍為變量。結(jié)果仍為t 的函數(shù)。的函數(shù)。 2.3 卷積積分卷積積分 dtfftf)()()( 21 幾種特殊情況幾種特殊情況 當(dāng)當(dāng)f1(t) 和和f2(t)受到某種限制時卷積積分的上下限要發(fā)生變化，受到某種限制時卷積積分的上下限要發(fā)生變化， 即積分限取決于即積分限取決于f1(t) 和和f2(t)的定義域。的定義域。 卷積積分中積分限的確定非常關(guān)鍵。卷積積分中積分限的確定非常關(guān)鍵。 2.3

34、卷積積分卷積積分 45 幾種特殊情況幾種特殊情況 12 1) 0 ( )0 ( )tf tft若時不受限制 21 2) 0 ( ) 0 ( )tf tf t若時不受限制 12 0 ( )( )()f tff td 則 12 ( )( ) () t f tff td 則 12 3) 0 ( )( )0tf tf t若時 12 0 ( )( )() t f tff td 則 46 1212 ( )( ) ( )( ) ( )( )f tttf ttf tf t例1 =求 2 1212 ( )( ) ( )( ) ( )( ) t f tetfttf tft 例2 =求 1212 ( )(2) (

35、)(3) ( )( )f ttf ttf tf t例3 =求 1212 0 0 2 12 ( )( )()() ()() ()() ( ) 1 ( )( )( )( ) 2 t t ftftfftd td td dt ftftfttt 解 得 1212 2 2 0 2 12 ( )( )( )() ( ) () ( ) 1 ( )( )( )(1) ( ) 2 t t f tftfftd etd edt f tf tftet 解得 = 1212 3 2 12 ( )( )( )() (2) (3) 1(1) ( )( )( )(1) (1) t f tf tff td td dt f tf t

36、f ttt 解得 2.3 卷積積分卷積積分 二、信號的時域分解與卷積積分二、信號的時域分解與卷積積分 1 .信號的時域分解信號的時域分解 (1) 預(yù)備知識預(yù)備知識 p(t) 1 t 0 2 2 (a) f1(t) A t0 2 2 (b) 問問 f1(t) = ? p(t) 直觀看出直觀看出 )(A)( 1 tptf (2) 任意信號分解任意信號分解 2 2 f(t) t 0 2 3 -1 0 1 2 )( tf f(0) )(f )( f “0”號脈沖高度號脈沖高度f(0) ,寬度為，寬度為， 用用p(t)表示為表示為：f(0) p(t) “1”號脈沖高度號脈沖高度f() ,寬度為，寬度為，

37、 用用p(t - )表示為：表示為： f() p(t - ) “-1”號脈沖高度號脈沖高度f(-) 、寬度為，用、寬度為，用p(t +)表示為表示為： f ( - ) p(t + ) n ntpnftf)()()( d)()()()( lim 0 tftftf 2.3 卷積積分卷積積分 三三 . .任意任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng) L LT TI I系系統(tǒng)統(tǒng) 零零狀狀態(tài)態(tài) yzs(t)f (t) 根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義： (t) h(t) 由時不變性：由時不變性： (t - -)h(t - -) f ()(t - -)由齊次性：由齊次性： f () h(t - -)

38、 由疊加性：由疊加性：d)()( tfd)()( thf f (t) yzs(t) d)()()( thftyzs 卷積積分卷積積分 2.3 卷積積分卷積積分 )(*)(d)()()(thtfthftyzs 例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yzs(t)。 解解： yzs(t) = f (t) * h(t) d)( 1e6e )(2 t t 當(dāng)當(dāng)t t時，時，(t -) = 0 t t t t zs ty d)eee6(d 1e6e)( 32)(2 ttttttt tt t eeee2ee2e ded)e6(e 3232 32 2.3

39、卷積積分卷積積分 2.3 2.3 卷積積分卷積積分 二、卷積的圖解法二、卷積的圖解法 dtfftftf)()()(*)( 2121 卷積過程可分解為卷積過程可分解為四步四步： （1）換元換元： t換為換為得得 f1()， f2() （2）反轉(zhuǎn)平移反轉(zhuǎn)平移：由：由f2()反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) f2()右移右移t f2(t-) （3）乘積乘積： f1() f2(t-) （4）積分積分： 從從 到到對乘積項積分。對乘積項積分。 注意：注意：t為參變量。為參變量。 下面舉例說明。下面舉例說明。 例f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。 解 采用圖形卷積 。 f ( t -

40、-) f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時時 , f ( t - -)向左移向左移 f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 時時, f ( t - -)向右移向右移 2 0 4 1 d 2 1 )(tty t f 1t 2時時 4 1 2 1 d 2 1 )( 1 tty t t f 3t 時時 f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 f ( t ) t 0 2 1 1 t h ( t ) 2 2 h(t)函數(shù)形式復(fù)雜函數(shù)形式復(fù)雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f () f (- ) f (t - ) t-1

41、t t-1 t t-1 t t yf (t ) 2013 4 1 4 3 tt-1 tt-1 2t 3 時時 4 3 2 1 4 1 d 2 1 )( 2 2 1 ttty t f 0 h( )f (t - ) 2013 從以上圖解分析過程可以看出：從以上圖解分析過程可以看出： 1 1）卷積中積分限取決于兩個圖形交疊部分的范圍）卷積中積分限取決于兩個圖形交疊部分的范圍 2 2）卷積結(jié)果所占的時寬等于兩個函數(shù)各自時寬的總和）卷積結(jié)果所占的時寬等于兩個函數(shù)各自時寬的總和 說明：并非所有兩函數(shù)的卷積都存在。說明：并非所有兩函數(shù)的卷積都存在。 若兩函數(shù)均為有始的可積函數(shù)若兩函數(shù)均為有始的可積函數(shù) 即即

42、tttt1 1時時f f 1 1(t)=0(t)=0, , tttt2 2時時f f 2 2(t)=0(t)=0 則二者的卷積一定存在，否則視具體情況而定。則二者的卷積一定存在，否則視具體情況而定。 2.3 卷積積分卷積積分 圖解法圖解法一般比較繁瑣，但一般比較繁瑣，但 若只求某一時刻卷積值時若只求某一時刻卷積值時 還是比較方便的。還是比較方便的。確定積確定積 分的上下限是關(guān)鍵。分的上下限是關(guān)鍵。 例例：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已知如圖所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？ t f 2( t ) -1 1 3 1 -1 f 1( t ) t2-2 2

43、 f1(- -) f1(2- -) f 1(2- - ) f 2( ) 2 2 -2 解解： d)2()()2( 12 fff （1）換元）換元 （2） f1()得得f1() （3） f1()右移右移2得得f1(2) （4） f1(2)乘乘f2() （5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積為（面積為0） 例f (t) ,h(t) 如圖所示，求yzs(t)= h(t) * f (t) 。 解 采用圖形卷積 。 f ( t - -) f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時時 , f ( t - -)向左移向左移 f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0 0

44、t 1 時時, f ( t - -)向右移向右移 2 04 1 d 2 1 )(tty t zs 1t 2時時 4 1 2 1 d 2 1 )( 1 tty t t zs 3t 時時 f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0 f ( t ) t 0 2 1 1 t h ( t ) 2 2 h(t)函數(shù)形式復(fù)雜函數(shù)形式復(fù)雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f () f (- ) f (t - ) t-1 t t-1 t t-1 t t yf (t ) 2013 4 1 4 3 tt-1 tt-1 2t 3 時時 4 3 2 1 4 1 d 2 1 )( 2 2

45、1 ttty t zs 0 h( )f (t - ) 2013 2.3 卷積積分卷積積分 圖解法比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。圖解法比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。 例例：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已知如圖所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？ t f 2( t ) -1 1 3 1 -1 f 1( t ) t2-2 2 f1(- -) f1(2- -) f 1(2- - ) f 2( ) 2 2 -2 解解： d)2()()2( 12 fff （1）換元）換元 （2） f1()得得f1() （3） f1()右移右移

46、2得得f1(2) （4） f1(2)乘乘f2() （5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積為（面積為0） 2.3 卷積積分卷積積分 講一個故事: 張三剛剛應(yīng)聘到了一個電子產(chǎn)品公司做測試人員，他沒有 學(xué)過信號與系統(tǒng)這門課程。一天，他拿到了一個產(chǎn)品，開發(fā) 人員告訴他，產(chǎn)品有一個輸入端，有一個輸出端，有限的輸 入信號只會產(chǎn)生有限的輸出。 然后，經(jīng)理讓張三測試當(dāng)輸入sin(t)(t1秒)信號的時候(有信 號發(fā)生器)，該產(chǎn)品輸出什么樣的波形。張三照做了，花了一 個波形圖。 很好！經(jīng)理說。然后經(jīng)理給了張三一疊A4紙: 這里有幾 千種信號，都用公式說明了，輸入信號的持續(xù)時間也是確定 的。你分別測試以下

47、我們產(chǎn)品的輸出波形是什么吧！“ 這下張三懵了，他在心理想上帝，幫幫我把，我怎么畫出 這些波形圖呢? 于是上帝出現(xiàn)了: 張三，你只要做一次測試，就能用數(shù)學(xué)的 方法，畫出所有輸入波形對應(yīng)的輸出波形。 上帝接著說:給產(chǎn)品一個脈沖信號，能量是1焦耳，輸出的 波形圖畫出來！ 張三照辦了，然后呢? 上帝又說，對于某個輸入波形，你想象把它微分成無數(shù)個 小的脈沖，輸入給產(chǎn)品，疊加出來的結(jié)果就是你的輸出波形 。你可以想象這些小脈沖排著隊進入你的產(chǎn)品，每個產(chǎn)生一 個小的輸出，你畫出時序圖的時候，輸入信號的波形好像是 反過來進入系統(tǒng)的。“ 張三領(lǐng)悟了: 哦，輸出的結(jié)果就積分出來啦！感謝上帝。這 個方法叫什么名字呢?

48、 上帝說:叫卷積！ 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 一、卷積的代數(shù)運算、卷積的代數(shù)運算 1.交換律交換律 卷積積分中兩函數(shù)的位置可以互換，說明反折函數(shù)可以任選。卷積積分中兩函數(shù)的位置可以互換，說明反折函數(shù)可以任選。 選反折函數(shù)時要考慮選反折函數(shù)時要考慮 1）反折表達式簡單的函數(shù)計算簡便）反折表達式簡單的函數(shù)計算簡便 2）反折邊界與縱軸重合的函數(shù)，）反折邊界與縱軸重合的函數(shù)，t、t坐標(biāo)原點一致，積分限容坐標(biāo)原點一致，積分限容 易確定。易確定。 )()()()( 1221 tftftftf t 0 1( ) f t 2 2 t 0 2( ) ft 2 1.5 1 t 0 1( ) f 2 2

49、 1.5 2( )f 2 1 2 1( )f 2 t 02 1.5 2( ) f 1 )( 1 tf )( 2 tf )( 1 f )( 1 f )( 2 f )( 2 f 2.2.分配律分配律 ()*()()()*()()*() 23 11213 f tf tf tf tf tf tf t 物理意義物理意義 ( )( ) 1 fth t a) 若系統(tǒng)的沖激響應(yīng): ( )( )( ) 23 ftftf t系統(tǒng)的激勵: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 23 ytf t h tf t h tf t h t zs 則 ( )h t ( )f t( ) zs yt 物理意義：兩個輸入

50、信號之和的零狀態(tài)響應(yīng)物理意義：兩個輸入信號之和的零狀態(tài)響應(yīng) =每個激勵的零狀態(tài)響應(yīng)之和每個激勵的零狀態(tài)響應(yīng)之和 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) ( )( )( )( )( ) 2323 ftfth th th t 系統(tǒng)的沖激響應(yīng): b) ( )( ) 1 f tf t若系統(tǒng)的激勵: ( )h t ( )f t ( )yt zs 物理意義：若某一系統(tǒng)由兩個沖激響應(yīng)分別為物理意義：若某一系統(tǒng)由兩個沖激響應(yīng)分別為h2(t)和和h3(t) 的子系統(tǒng)并聯(lián)時，其沖激響應(yīng)為的子系統(tǒng)并聯(lián)時，其沖激響應(yīng)為h(t)=h2(t)h3(t) ( ) 1 f t ( ) 2 h t ( )yt zs ( ) 3

51、h t ( )ht )()()()()()()( 3121 thtfthtfthtfty則 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 3.結(jié)合律 123123 ( )( )( )( )( )( )f tftftf tftft 22 ( )( )ftht:子系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 33 ( )( )fth t: 子系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 1231231 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )y tf th th tf th th tf th t則 12 ( )( )f th t 2( ) h t 1( ) f t ( )y t 3( ) h t 物理意義：物理意義：若某一系統(tǒng)由兩個沖激響應(yīng)分別為若某

52、一系統(tǒng)由兩個沖激響應(yīng)分別為h2(t)和和h3(t) 的子系統(tǒng)級聯(lián)時，其沖激響應(yīng)為的子系統(tǒng)級聯(lián)時，其沖激響應(yīng)為h(t)=h2(t) h3(t) ：系統(tǒng)的激勵若)()( 1 tftf 23 ( )( )( )h th th t 1( ) f t ( )h t )(tyzs 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 例：求圖所示復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為例：求圖所示復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t) )()()()()( 4321 ththththth ( )h t 2( ) h t ( )y t 3( ) h t 1( ) h t 4( ) h t )(tf 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 二、函數(shù)與奇異函

53、數(shù)的卷積二、函數(shù)與奇異函數(shù)的卷積 ) 1( t 2）任意函數(shù)）任意函數(shù)f(t)與延時與延時t1的沖激函數(shù)卷積是把原函數(shù)的沖激函數(shù)卷積是把原函數(shù)f(t)延時延時t1 0 ( ) t t t 0 0 ( )f t 2 1 t 0 0 ( )f t 2 1 t t 0 0 ( )f t 2 1 0 0 t t 1 1 t t 0 0 2 1 1 1 1）任意函數(shù)）任意函數(shù)f(t)與與 (t)(t)卷積的結(jié)果為該函數(shù)卷積的結(jié)果為該函數(shù)f(t)本身。本身。 111 ( 2) ( )()()( )()f tttttf tf tt (1) ( )( )( )( )( )f tttf tf t1. ) 1(

54、tf 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 2. f(t)*(t) = f(t) 證：證： )( d)()( )(*)( tftftft f(t)*(n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*(t) t ftfd)(d)()( (t) *(t) = t(t) ( )( )( )ttt則 11 ( )()()ttttt 1212 ()()()f ttttf ttt )()(ttf推廣：若 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 解解： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t) 三、卷積的時移特性三、卷積的時移特性 例例：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t) t20 1 利用時移特性，有利用時移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) )()()( )()()( 212211 21 tttfttfttf tftftf 則 若 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 例例：f1(t), f2(t)如圖，求如圖，求f1(t)* f2(t) t1 1 -1 f 1(t) t10 2