數(shù)理統(tǒng)計(jì)例題(1)

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)例題(1)例題解析（1）例1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，。是X的一個樣本，是的一個樣本，測得數(shù)據(jù)（1）分別求的矩估計(jì)量；（2）分別求的極大似然估計(jì)值；（3）在顯著水平下檢驗(yàn)假設(shè) ，。 解 （1）用樣本一階原點(diǎn)矩估計(jì)總體一階矩，即得和的矩估計(jì)值：。 （2）正態(tài)總體的參數(shù)的極大似然估計(jì)量為。因此的極大似然估計(jì)值為 （3）是未知，雙總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)。待檢假設(shè)；，是在下的單側(cè)檢驗(yàn)。 因?yàn)椤Ｋ訤同機(jī)量得值 查F分布表，得.經(jīng)比較知，故接受，認(rèn)為大。例2 有三臺機(jī)器，生產(chǎn)同一種規(guī)格的鋁合金薄板，測量三臺機(jī)器所生產(chǎn)的薄板厚度（單位：厘米），得結(jié)果如表所示。機(jī)器1機(jī)器2機(jī)器30.2360.2570.

2、2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262 試考察機(jī)器對薄板厚度有無顯著的影響。解 檢驗(yàn)假設(shè)。是各臺機(jī)器生產(chǎn)的薄板總體的均值。經(jīng)計(jì)算， 。，,.列出方差分析表如下方差來源平均和自由度均方F比結(jié)論因素20.005266132.92顯著誤差0.000192120.000016總14因?yàn)椋示芙^，認(rèn)為各臺機(jī)器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異。在進(jìn)行方差分析時(shí)，還常要對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。下面寫出常用的幾個估計(jì)：是的無偏估計(jì)。分別是的無偏估計(jì)。是的無偏估計(jì)，且。兩總體與的均差值的置信度為的置信區(qū)間為。例3 求上例中未知參數(shù)的點(diǎn)估

3、計(jì)及均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 ，又由，知，故的置信度為0.95的置信區(qū)間分別為（0.242-0.2560.0055）=（-0.0195，-0.0085），（0.242-0.2620.0055）=（-0.0255，-0.0145），（0.256-0.2620.0055）=（-0.0115，-0.0005）。例4 某工廠在生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)使用了三種不同的催化劑和四種不同的原料，每種搭配都做一種試驗(yàn)，測的產(chǎn)品成品的壓強(qiáng)（單位：兆帕）數(shù)據(jù)如下表：催化劑原料 31 33 3534 36 3735 37 3939 38 42試在下檢驗(yàn)不同催化劑和原料對壓強(qiáng)有無顯著影響。解 設(shè)為因素A在水平的效

4、應(yīng)，為因素B在水平的效應(yīng)。待檢驗(yàn)假設(shè)， 。因?yàn)椋?，。列出方差分析表如?方差來源平方和自由度均方結(jié)論因素因素誤差總和25.1769.34 4.1698.673361112.58523.113 0.69318.12633.35顯著顯著 因?yàn)椋跃芙^和，認(rèn)為催化劑和原料的影響都是顯著的。例5 設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和支出的維修費(fèi)用（單位：千元）如下所示：2 3 4 5 62.2 3.8 5.5 6.5 7.0求（1）關(guān)于的回歸方程，的無偏估計(jì)； （2）檢驗(yàn)回歸是否顯著，并求時(shí)，維修費(fèi)用的0.95預(yù)測區(qū)間。解 （1）左散點(diǎn)圖（略），數(shù)據(jù)分布呈直線趨勢。列計(jì)算表： 2 2.2 4 4.4 4.8

5、43 3.8 9 11.4 14.444 5.5 16 22.0 30.255 6.5 25 32.5 42.256 7.0 36 42.0 49.0020 25 90 112.3 140.78并計(jì)算下列數(shù)據(jù)：，解得 ，。所以，線性回歸方程為。的無偏估計(jì)為。（2）將代入回歸方程得。因?yàn)?，所以的置信度?.95的置信區(qū)間為。計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 。因?yàn)椋手貧w效果是顯著的。例6（單因素方差分析）下表給出了小白鼠在接種三種不同菌型傷寒桿菌后的存活天數(shù)，問三種菌型的平均存活天數(shù)有無顯著差異？ 表4-3菌 型 接種后存活天數(shù) 型（）2 4 3 2 4 7 7 2 5 36 型（）5 6 8 5 10 7 12

6、 6 6 65 （）7 11 6 6 7 9 5 10 6 67 計(jì)算： 列成表格 如下，其中，方差來源 平方和 自由度 均方 值因素 2 33.4445 7.1809誤差 24 4.6574 總和 26 ，查表 對給定的顯著水平，查表因，故拒絕，即認(rèn)為這三種不同菌型的傷寒桿菌的平均存活天數(shù)有顯著差異。關(guān)于未知求，（i1,2,3）的參數(shù)估計(jì)的區(qū)間估計(jì)的置信區(qū)間為（=X=3.065(0.936,7.065), (4.158,10.287), (4.380,10.509)（）=2.0640（5.322， 1.123）；（5.544， 1.345）； （2.322， 1.878）例7.（正交試驗(yàn)）為

7、了制造軸承，尋求新鋼種最佳等溫淬火工藝?？疾煸囼?yàn)指標(biāo)是徑向抗壓負(fù)荷與硬度，對試驗(yàn)指標(biāo)有影響的主要因素：加熱溫度（單位：），等溫溫度（單位：），淬火返修次數(shù)（單位：次），將因素列如下表。 水平列號A加熱溫度 B 等溫溫度 C淬火返修次數(shù) 1 2 3 900 880 860 250 260 270 0 1 2 因?yàn)槭?元素3水平，選擇正交表合適。 制定試驗(yàn)方案表 表頭設(shè)計(jì) A B C 列號試驗(yàn)號 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1（900） 2（880） 3（860） 1 2 3 1 2 3 1（250） 1 1 2（260） 2 2 3（270） 3 33（2）1（0）2（1

8、）231123 2 3 1 3 1 2 1 2 3 確定試驗(yàn)方案 在上表中，每一個橫行就代表了一個試驗(yàn)條件，共有9個試驗(yàn)條件。等1號試驗(yàn)條件是：加熱溫度是900（），等溫溫度是250（，返修次數(shù)是2次（），記作為 ，類似地第2號試驗(yàn)條件是，第9號試驗(yàn)條件是。試驗(yàn)方案的實(shí)施 按正交表中的試驗(yàn)條件嚴(yán)格操作。將各次的試驗(yàn)結(jié)果記錄下并列如下表中。 其中 第列因素水平，第列因素水平的3次試驗(yàn)指標(biāo)的平均例 對因素，有硬度。各因素的3個水平的負(fù)荷之和各元素的3個水平平均硬度。=（硬度）= 列號試驗(yàn)號 1(A) 2(B) 3(C) 試驗(yàn)指標(biāo)負(fù)荷硬度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1（900） 2（880

9、） 3（860） 1 2 3 1 2 3 1（250） 1 1 2（260） 2 2 3（270） 3 33（2）1（0）2（1）231123 5.5 7.4 5.9 5.7 6.1 7.8 8.4 9.5 6.9 59.5 59.0 59.0 58.0 58.0 58.0 57.057.5 57.057.5 57.057.5負(fù)荷 19.60 18.80 23.60負(fù)荷單位：硬度單位：硬度 174.75 177.50 174.25負(fù)荷 23.00 19.60 21.10硬度 174.25 174.00 174.25負(fù)荷 20.60 24.80 18.50硬度 174.25 171.75 174

10、.75負(fù)荷 6.53 6.27 7.87硬度 58.25 59.20 58.10負(fù)荷 7.67 6.53 7.03硬度 58.10 58.00 58.10負(fù)荷 6.87 8.27 6.17硬度 58.10 57.25 85.25負(fù)荷 3.40 6.00 5.10硬度 0.15 1.95 0.15正交試驗(yàn)結(jié)果的分析1. 直接看：（1）比較9次試驗(yàn)的負(fù)荷：抗壓負(fù)荷最高的試驗(yàn)條件是，即第8號試驗(yàn)，其次是（第7號試驗(yàn)），（第6號試驗(yàn)），（第2號試驗(yàn)）。（2）再比較9次試驗(yàn)的硬度是：硬度的高低主要取決于等溫溫度，加熱溫度和返修次數(shù)對硬度無明明顯影響。綜合考慮，等2號試驗(yàn)的條件問好。2. 計(jì)算分析；（1）

11、負(fù)荷 因素 平均負(fù)荷是 因素 平均負(fù)荷是 因素 平均負(fù)荷是由此分析出是最好的試驗(yàn)條件。但這個條件在表中沒有出現(xiàn)。類似 （1）硬度根據(jù)每個因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響不同，區(qū)分出主次。由上表可見 主 次 負(fù)荷 硬度 用極差大小來區(qū)分主次：若某因素的極越大，則該因素對指標(biāo)的影響就越大。結(jié)果可以看出是因素。綜合平衡考慮：硬度不能低于在這一條件下高負(fù)荷的好水平組合為。試驗(yàn)結(jié)果的分析很分別的在正交表中進(jìn)行。3. 方差分析 這是3元素3水平的無重復(fù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。其效應(yīng)模型為 設(shè)表示從第1號試驗(yàn)到第9號試驗(yàn)的試驗(yàn)指標(biāo)。具體效應(yīng)模型表示如下檢驗(yàn)假設(shè) 總離差平方其中第列的離差平方和，由于正交表具有均衡分散性和綜合可比性的特點(diǎn)，所以=同理 記為因素的平方和 為因素的平方和為因素的平方和。則，當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布；當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布；當(dāng)為真時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量分布。若給定顯著系性水平，拒絕域，當(dāng)拒絕，則認(rèn)為因素對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；當(dāng)拒絕，則認(rèn)為因素對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；當(dāng)拒絕，則認(rèn)為因素對試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響；利用正交表進(jìn)行方差分析時(shí)，要確定自由度可以用如下方法。；正交表每列的自由度正交表總的自由度即每個因素平方和的自由度正交表總的自由度=各自由度之和，即；正交表空白列的自由度=誤差平方和的自由度。若無空白列，則將最小的離差平方和作為誤差平方和，即 。