求極限的方法及例題總結(jié)

1、n32211nn1 2sin(-+i)-I例7i ESI (sin療=ss jt . JM導(dǎo)教的激求極限lim %3 r. JTsint+xj-sm-r貫解；朦式邛m-=(sinx)1 =cos-=(k，麗 x-y2J戶+1 _ 3xx + sin x例6：黜解 i iS 式=lim 31i mx-hsin xx + sin jv=1-3=- 2*.sin x1Hx8.用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限lim 3X 1一2例 1 x 1 x 一1注：本題也可以用洛比達(dá)法則lim * n(、. n 2 Tn -1) 例2 3x-3(x-1)(、3x 1 2)limx 1-limx 1(x

2、 -1)(. 3x 1 2)(、.3x 1)2 -224o3Jn(n+2) (n -1)分子分母”以3精品資料上下同除以原式 (-1)n 3n lim m m 3 -6 sin x +3 解:(一孑ilim -3二 1(守 133x精品資料3.兩個(gè)重要極限s sin x /lim = 1(1)3 x1lim (1 x)x = e 3說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身,還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式,sin 3x /lim1例如：x 0 3xlim(1 -2x) /xxim(1五利用兩個(gè)重要極限求極限lim例51 一cosx23x 解：原式二2 x2sin 一2lim 2 x 0 3x=li

3、m2 x2sin 一2x0x 212 (2)注：本題也可以用洛比達(dá)法則。-6sin xlim (1 - 3sin x)x lim (1 - 3sin x) 與inx lim(1 -3sinx) sinx x 二 ex0-3n丁 11im(1n 1-3ngw”11 J-3二e4.等價(jià)無窮小定理2無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小(即極限是0)。定理3當(dāng)xT 0時(shí)，下列函數(shù)都是無窮小(即極限是 0),且相互等價(jià)，即有：x sin x tan x arcsin x arctanx ln(1 + x)ex 1 0說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)(g(x)T 0),仍有上面的等價(jià)3x 2

4、2關(guān)系成立，例如：當(dāng)0時(shí)，e - 13x ； ln(1 x )- x。定理4如果函數(shù)f(x)，g(x)，f1(x)，g1(x)都是XT X。時(shí)的無窮小，且 f1(x)f (x)lim lim f (x)f1(x), g(x)g1(x),則當(dāng)Jx0 g1(x)存在時(shí)，Jx0 g(x)也存在且等于f1(x) f (x) f1(x)lim lim lim f (x) 5 g1(x) 即 XTx0 g(x) = JX0 g1(x) q利用等價(jià)無窮小代換(定理4)求極限limx0例9xln(1 3x)2、arctan(x )lim 學(xué)=3J,原式=T0Xotan x -sin x解：:xT 0時(shí)，ln(

5、1+3x)3x , arctan(x2)x2x sin x e -e lim 例 10 J0 x - sin xsin xx -sin xsin x ,e (e -1) e (x-sinx)lim 二 lim二 1解.序式=x 0x - sin xx-0x - sin x注：下面的解法是錯(cuò)誤的:lim -in . 原式=x-0x - sin xx-0 x - sin x正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣:_ . x 一 x 一 八- lim -3- 0xT x。2 . 1、 tan(x sin ) lim -例 11 x-0sin x;當(dāng)x T解：1110時(shí)，x sin 是無分小，tan(x sin )

6、與x sin 等價(jià)2 Ze 1x sin1limx = lim xsin 0所以，原式二Jx J0 x。(最后一步用到定理2)五、利用無窮小的性質(zhì)求極限有限個(gè)無窮小的和是無窮小，有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。用等價(jià)無窮小替 換求極限常常行之有效。例1.1 lim ( x 0 xsin x -1e -1sin sin(x -1) lim 2 x,0ln x5.洛比達(dá)法則定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值(或無窮大)時(shí)，函數(shù) f(x)和g(x)滿 足：(1) f (x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大;(2) f (x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0;lim(3)lim則極限f(x)f

7、 (x)g (x)存在(或是無窮大)；f (x) lim g(x)也一定存在，且等于g(x)f (x) f (x) lim lim ，即 g(x) = g(x) o說明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件(1)是否滿足，即驗(yàn) 證所求極限是否為“。”型或型；條件Q) 一般都滿足，而條件(3)則在求 導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外， 洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件利用洛比達(dá)法則求極限 說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)， 也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無窮 小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)

8、使用。1 - cosxsin x 1lim 2lim 一 二 一例12T 3x （例4）解：原式=3 6x 6 0 （最后一步用到了重要極限）例13二 x coslim -limI1 X1解：原式=TxZ =二2o例14x-sin xlim 3x Q x31 - cosx sin xlim 2 lim 一 解：原式=xT0 3x = T 6x（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）sin x - xcosxlim 2例 15 x0x sin x解:原式=limx_0=limx0sin x - xcosx2x xxsin x 1=limx )0cosx -(cosx - xsin x)3x23x2l

9、im - - 例 18 x R xln(1 x)1 1lim 解：錯(cuò)誤解法：原式=x 0 x x正確解法:ln(1 x) - x二 limx 0xln(1 x)，一11 x ln(1 x) - x=lim-一jox x2x=-02x(1 x) 2應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。x - 2sinx lim 1 - 2cosx lim 一例 19 x 3x cosx解：易見：該極限是“0”型，但用洛比達(dá)法則后得到： + 3-sinx ,此極限 不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下:, 2sinx1 lim x-x- 3 cosx1原式二x（分子、分母同時(shí)除以x = 3 （利用定理

10、1和定理2）6 .連續(xù)性定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去問內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù),即如果x0是函數(shù)f（x）的定義去問內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)im f(x) = f(x0) x xo利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限精品資料ilim x v 解：因?yàn)閤0 =2是函數(shù)f(x) = x eex例 4 x ,21的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以原式=221=4幾7 .極限存在準(zhǔn)則定理7 （準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。例 1 設(shè) a A0 Xi = Ja,X2 =xa +va = :a + x1,，Xn邛 = a + Xn (n = 1,2,)

11、r、Em lim xn求極限n廿O定理8 （準(zhǔn)則2）已知Xn ,yn ,Zn為三個(gè)數(shù)列，且滿足:(1) yn E Xn EZn , (n = 1,2,3,)(2)lim yn = a lim Zn = a n n ：則極限lim Xnn)：lim Xn ua定存在，且極限值也是a ,即5。10.夾逼定理定理z t數(shù)列夫猥定理如果覲列Q, （乂），4滿足下列獲明 乂 W/Wq(所krk+，k+2(2) IM% =1油% =5.則 1加4 =定理3 f囪取夫遇定震 如果音B3）質(zhì)罡F列泰的 當(dāng)0 4 L5(fttfhbl) mi(2)Hm歙幻=hm i：F=兌那2hm4)存在.且等于小 lHRa-

12、1-4 -例停an JTAT IftS ITT IJT sin - siti smj 因?yàn)橐簧簧?豳+ 界十】西/ fl+21升1 G S白妹；1三行不】白 m r J 2 2l.*n Tstn - ralitn - xsin = I an axdx s+m n 占比+廿 M n ht* 打 hJrn于是由定溫定理可知質(zhì)式等于2.利用極限存在準(zhǔn)則求極限例20已知X1=，2,Xn1 = .2 Xn ,(n = 1,2,)lim Xn求 n解:易證：數(shù)列xn單調(diào)遞增，且有界（xlim xn0 n:=lim xn = 2例21lim (nj 二二a = 2 或 a=_1（不合題意，舍去）n2

13、1, n2 2.n2 n一12解：易見：vn +n. n dlim 1因?yàn)閚 -n2.nlim n 二n =1n2 1所以由準(zhǔn)則2得:lim ( n2 11 1 1)=19.洛必達(dá)法則與等價(jià)無窮小替換結(jié)合法對(duì)于一些函數(shù)求極限問題，洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小結(jié)合御用，往往能化簡運(yùn)算, 收到奇效。f-i口 r (刃n x - $1力 口 x) 1n xM 2：求極限hm7丫NT解lim xOsin1 x) 2,(sin x-sin sin x)stnx_ (jinxsinsinx)xcosxfl-cossmx)r= hm12.利用定積分的定義求極限法積分本質(zhì)上是和式的極限，所以一些和式的極限問題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問”1+(與1+3產(chǎn)nn】7T=事0 4_ _ri 1十是有 lim & =人jdx = arctan x 8.利用復(fù)合函數(shù)求極限定理 =lo(hm(! + x)r = In 審=1- 5H設(shè)有11&函