利用角平分線構(gòu)造全等三角形

1、利用角平分線構(gòu)造全等三角形善于構(gòu)造 活用性質(zhì)安徽 張雷 幾何問題中,若出現(xiàn)角平分線這一條件時(shí),可聯(lián)想角平分線的特性,靈活利用角平分線的特性來(lái)解決問題.1.顯“距離”, 用性質(zhì) 很多時(shí)候,題意中只給角平分線這個(gè)條件,圖上并沒有出現(xiàn)“距離”,而角平分線性質(zhì)的運(yùn)用又離不開這個(gè)“距離”,所以同學(xué)們應(yīng)大膽地讓“距離”現(xiàn)身（過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段）例：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，你知道這是為什么嗎？ 分析：我們知道兩條直線是交于一點(diǎn)的，因此可以想辦法證明第三條角平分線通過(guò)前兩條角平分線的交點(diǎn) 已知：如圖，ABC的角平分線AD與BE交于點(diǎn)I，求證：點(diǎn)I在ACB的平分線上 證明：過(guò)點(diǎn)I作IHA

2、B、IGAC、IFBC，垂足分別是點(diǎn)H、G、F 點(diǎn)I在BAC的角平分線AD上，且IHAB、IGAC IH=IG（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等） 同理 IH=IF IG=IF（等量代換） 又IGAC、IFBC 點(diǎn)I在ACB的平分線上（到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）.即：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)【例2】已知：如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P，PDBM于D，PFBN于F求證：BP為MBN的平分線 【分析】要證BP為MBN的平分線，只需證PD=PF，而PA、PC為外角平分線，故可過(guò)P作PEAC于E根據(jù)角平分線性質(zhì)定理有PD=PE，PF=P

3、E，則有PD=PF，故問題得證 【證明】過(guò)P作PEAC于E PA、PC分別為MAC與NCA的平分線且PDBM，PFBN PD=PE，PF=PE,PD=PF 又PDBM，PFBN,點(diǎn)P在MBN的平分線上， 即BP是MBN的平分線2.構(gòu)距離,造全等有角平分線時(shí)常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊引垂線，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等,可構(gòu)造處相應(yīng)的全等三角形而巧妙解決問題例3ABC中，C=90，AC=BC，DA平分CAB交BC于D點(diǎn)，問能否在AB上確定一點(diǎn)E使BDE的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)請(qǐng)說(shuō)明理由 解：過(guò)D作DEAB，交AB于E點(diǎn)，則E點(diǎn)即可滿足要求 因?yàn)镃=90，AC=BC， 又DEAB，DE=EB AD

4、平分CAB且CDAC、EDAB， CD=DE 由“HL”可證RtACDRtAED AC=AE LBDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB例4如圖，B=C=90，M是BC上一點(diǎn)，且DM平分ADC，AM平分DAB求證：AD=CD+AB 證明：過(guò)M作MEAD，交AD于E DM平分ADC，C=90 MC=ME 根據(jù)“HL”可以證得RtMCDRtMED，CD=ED 同理可得AB=AECD+AB=ED+AE=AD 即AD=CD+AB3.巧翻折, 造全等以角平分線為對(duì)稱軸，構(gòu)造兩三角形全等即在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形例5.如圖，已知ABC中BA

5、C=90，AB=AC，CD垂直于ABC的平分線BD于D，BD交AC于E，求證：BE=2CD 分析：要證BE=2CD，想到要構(gòu)造等于2CD的線段，結(jié)合角平分線，利用翻折的方法把CBD沿BD翻折，使BC重疊到BA所在的直線上，即構(gòu)造全等三角形（BCDBFD），然后證明BE和CF（2CD）所在的三角形全等 證明：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)F BDCF（已知） BDC=BDF=90 BD平分ABC（已知） 1=2 在BCD和BFD中 BCDBFD（ASA） CD=FD， 即CF=2CD 5=4=90，BDF=90 3+F=90，1+F=90。1=3。 在ABE和ACF中 ABEACF（ASA）BE=CF， BE=2CD。例6.如圖，已知ACBD、EA、EB分別平分CAB和DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 【分析】要證明兩條線段的和與一條線段相等時(shí)常用的兩種方法 1可在長(zhǎng)線段上截取與兩條線段中一條相等的一段，然后證明剩余的線段與另一條線段相等（割） 2把一個(gè)三角形移到另一位置，使兩線段補(bǔ)成一條線段，再證明它與長(zhǎng)線段相等（補(bǔ)） 證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF在ACE和AFE中 ACEAFE（SAS）,又,6=D在EFB和BDE中 EFBEDB（AAS） FB=DB AC+BD=AF+FB=AB 證法二：如圖（2），延長(zhǎng)BE，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F F