144因式分解(全)

1、第第 1 課時(shí)課時(shí) 第第2 3 課時(shí)課時(shí) 第第 4 課時(shí)課時(shí) 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 _1 xx _11xx _732xx xx 2 1 2 x xx146 2 問題：問題：630可以被哪些整數(shù)整除？可以被哪些整數(shù)整除？ 630 = 23257 新課引入新課引入 試試看試試看 (將下列多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的乘積將下列多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的乘積) _ 2 xx _1 2 x 1xx 11xx 回憶前面整式的乘法回憶前面整式的乘法 111 2 xxx 上面我們把一個(gè)上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式多項(xiàng)式化成了幾個(gè)化成了幾個(gè)整整 式式的的積積的形式，像這樣的式子變形叫做把的形式，像這樣的式子變形叫做把 這個(gè)多項(xiàng)這個(gè)多項(xiàng)式

2、式 ，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)，也叫做把這個(gè)多項(xiàng) 式式 。分解因式分解因式 因式分解因式分解 1 2 x11xx 因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 因式分解與整式乘法是因式分解與整式乘法是逆變形逆變形 依依照定義，判斷下列變形是不是照定義，判斷下列變形是不是 因式分解因式分解（把（把多項(xiàng)式多項(xiàng)式化成幾個(gè)化成幾個(gè)整式整式的的積積） 422 2 xxx 2334 326xyyxyx 224 2 2 3 2 3 4 9 x x x x x x yxyxyx 222 235 創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)情景 abc m abc m 方法一：方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：方法二：S = ma + m

3、b + mc mm 方法一：方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：方法二：S = ma + mb + mc m ( a + b + c ) = ma + mb + mc 下面兩個(gè)式子中哪個(gè)是因式分解？下面兩個(gè)式子中哪個(gè)是因式分解？ 在式在式子子ma + mb + mc中，中，m是這個(gè)多項(xiàng)是這個(gè)多項(xiàng) 式中每一個(gè)項(xiàng)都含有的因式，叫式中每一個(gè)項(xiàng)都含有的因式，叫做做 。公因式公因式 ma + mb + mc = m ( a + b + c ) ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下在下面這個(gè)式子的因式分解過程中，面這個(gè)式子的因式分解過程中， 先先找到找到這

4、個(gè)多項(xiàng)式的這個(gè)多項(xiàng)式的公因式公因式，再將，再將原式除原式除 以公因式以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，將這個(gè)多，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，將這個(gè)多 項(xiàng)式與公因式相乘即可。項(xiàng)式與公因式相乘即可。 這種方法叫做這種方法叫做提公因式法提公因式法。 提公因式法一般步驟：提公因式法一般步驟： 1、找到該多項(xiàng)式的公因式，、找到該多項(xiàng)式的公因式， 2、將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，、將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式， 3、把、把它與公因式相乘。它與公因式相乘。 如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng)如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng) 式的公因式呢？式的公因式呢？ 1、系數(shù)、系數(shù) 所有項(xiàng)的系數(shù)的所有項(xiàng)的系數(shù)的最大公因數(shù)最大公因數(shù) 2、字母、字母 應(yīng)提

5、取每一項(xiàng)都有的字母，應(yīng)提取每一項(xiàng)都有的字母， 且字母的且字母的指數(shù)取最低指數(shù)取最低的的 3、系數(shù)與字母相乘、系數(shù)與字母相乘 cabba 22 159 解：用提取公因式法因式分例題精講 pqqppq 3 1 9 7 9 5 22 2323 4812ststts 最大公因數(shù)為最大公因數(shù)為3 = 3 a的最低指數(shù)為的最低指數(shù)為1 a b的最低指數(shù)為的最低指數(shù)為1 b(3a5bc) = 4st2(3s22t+1) pq(5q+7p+3)= 9 1 做一做做一做 按照提公因按照提公因 式法因式分解。式法因式分解。 22 23 23 2 21. 049. 0 6 5 3 1 20105 63 pqqp m

6、nmnnm xyxyyx abcba mnmn yxyxyx cbacba yxyx 22 2232 434423 2332 598449 63 2 2 11174 4536 提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練( (一一) ) 34 93 22 2564104 76 pqqp xyyyxx bcaacbcaab nmynmx 因式分解： 提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練( (二二) ) 的值。，求，、已知 22 451mnnmmnnm 201220112010 222 3 1 3、計(jì)算 2011 32 11111 :2 xxxxxxxxx 、因式分解 第第 3 課時(shí)課時(shí) 第第 2 課時(shí)課時(shí) 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 平方差公式：平方差

7、公式： 完全平方公式：完全平方公式： 22 bababa 22 2 2bababa 22 2 2bababa 22 2 2bababa _22xx _5 2 a _77mm 4 2 x 2510 2 aa 4914 2 mm 新課引入新課引入 12 平方差公式平方差公式逆用逆用 22 52 逆用逆用 bababa 22 bababa 22 兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè) 數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。 嘗試練嘗試練習(xí)習(xí)( (對下列各式因式分解對下列各式因式分解) )： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2

8、=_ (a+3)(a3) (7+n)(7n) 5(s+2t)(s2t) (10 x+3y)(10 x3y) y2 4x2 (x2)2 12 (x21) ( 4x2 y2 ) (x+1)(x1) 因式分解一定要分解徹底因式分解一定要分解徹底 ! x2 (x3)2 xx (1+x)(1x) x2 (1+x2)(1x2) (1+x)(1x) 在我們現(xiàn)學(xué)過的因式分解方法中，在我們現(xiàn)學(xué)過的因式分解方法中， 先考慮先考慮提取公因式提取公因式，再考慮用，再考慮用公式法公式法。 6x (x+3y)(x3y) YX YXYX 做一做做一做 利用平方差利用平方差 公式因式分解。公式因式分解。 232 24 22

9、22 369 1625 16 1 4 1 196169 yxxy yx yx ba 2 2 4 2 22 222 42 49 169 baba qqp yx tnm 提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練( (一一) ) 1 16 63 23 4 22 xxx a nmnmm 因式分解： 設(shè)設(shè)m、n為自然數(shù)且滿足為自然數(shù)且滿足 關(guān)系式關(guān)系式12+92+92+22+m2=n2， 則則m = _，n = _。 提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練( (二二) ) 。和這兩個(gè)整數(shù)是 之間的兩個(gè)整數(shù)整除，到能被、 _ 7060121 48 。、計(jì)算： 40244022 20122011 1210 65 86 43 42 21 2 222222

10、22 3、n是自然數(shù)，代入是自然數(shù)，代入n3 n中計(jì)算時(shí)，四個(gè)同學(xué)算出中計(jì)算時(shí)，四個(gè)同學(xué)算出 如下四個(gè)結(jié)果，其中正確的只可能是如下四個(gè)結(jié)果，其中正確的只可能是( )( )。 A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 22 2 2bababa 22 2 2bababa 22 2 2bababa _44xx _7 2 b _99mm 168 2 xx 4914 2 bb 8118 2 mm 新課引入新課引入 29991 = (999+1)2 = 106 完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式一樣，就像平方差公式一樣，完全平方完全平方

11、 公式公式也可以也可以逆用逆用，從而進(jìn)行一些簡便，從而進(jìn)行一些簡便 計(jì)算與因式分解。計(jì)算與因式分解。 即：即： 2 22 2bababa 2 22 2bababa 兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去） 這兩個(gè)數(shù)的積的這兩個(gè)數(shù)的積的兩兩倍，等于這兩個(gè)倍，等于這兩個(gè) 數(shù)的和（或差）的平方。數(shù)的和（或差）的平方。 牛刀小試牛刀小試( (對下列各式因式分解對下列各式因式分解) )： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _ (a+3)2 (n5)2 4(t1)2 (2x3y)2 形如形如 a22ab+b2的式子的式子

12、叫做叫做完全平方式完全平方式。 完全平方式一完全平方式一 定可以利用定可以利用完全平完全平 方公式方公式因式分解因式分解 完全平方式的特點(diǎn)：完全平方式的特點(diǎn)： 1、必須是、必須是三項(xiàng)式三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）（或可以看成三項(xiàng)的） 2、有兩個(gè)、有兩個(gè)同號同號的平方項(xiàng)的平方項(xiàng) 3、有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的、有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的2倍倍） 簡記口訣：簡記口訣： 首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。 22 2baba = (4x+3)2 = (4x24xy+y2) = (2xy)2 = 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2 = (a21)2 = (a+

13、1)2 (a1)2 = (a+1) (a1)2 = (p+q6)2 XX X 做一做做一做 用完全平方公用完全平方公 式進(jìn)行因式分解。式進(jìn)行因式分解。 stts xx aa 2 9 1 3 2 8118 22 2 2 42025 44 12 2 222 224 xx abccba nmnm 做一做做一做 用恰當(dāng)?shù)姆接们‘?dāng)?shù)姆?法進(jìn)行因式分解。法進(jìn)行因式分解。 備選方法：備選方法： 提公因式法提公因式法 平方差公式平方差公式 完全平方公式完全平方公式 996 4 4 1 12 22 22 2 22 22 2 xxx yxyx nmnm aa 提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練( (一一) ) 2 22 2 2 2

14、 44 14 82 yxyxyx yxyx abba 因式分解： 給給4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，加上一個(gè)單項(xiàng)式， 使它成為一個(gè)完全平方式，這使它成為一個(gè)完全平方式，這 個(gè)單項(xiàng)式可以是個(gè)單項(xiàng)式可以是 _。 提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練( (二二) ) 。，則，、已知_0441 2 cbacabba 。，化簡、若4 1 4 1 102 22 x x x xx 的形狀并說明理由。判斷 ，且滿足 的三邊，是、已知 ABC cabcba ABCcba 022 3 222 的最小值。、求多項(xiàng)式20084221 22 babaP 提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練( (三三) ) 。的最小值為則代數(shù)式 ，、已知 _ 102 222 yz

15、xzxyzyx yzayx 。則 ，、已知 _222 2 1 213 222 bcacabcba cbacba 知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu) 因式分解因式分解 常用方法常用方法 提公因式法提公因式法 公式法公式法 十字相乘法十字相乘法 分組分解法分組分解法 拆項(xiàng)添項(xiàng)法拆項(xiàng)添項(xiàng)法 配方法配方法 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 求根法求根法 一、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多項(xiàng)式中的多項(xiàng)式中的公因式公因式， 然后用然后用原多項(xiàng)式除以公因式原多項(xiàng)式除以公因式，把所，把所 得的商與公因式相乘即可。往往與得的商與公因式相乘即可。往往與 其他方法結(jié)合起來用。其他方法結(jié)合起來用。 提公因式法提公因式法隨堂練習(xí)：隨堂

16、練習(xí)： 二、公式法二、公式法 只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)特點(diǎn)，再，再 將符合其形式的公式套進(jìn)去即可將符合其形式的公式套進(jìn)去即可 完成因式分解，有時(shí)需和別的方完成因式分解，有時(shí)需和別的方 法法結(jié)合結(jié)合或多種公式或多種公式結(jié)合結(jié)合。 接下來是一些常用的乘法公接下來是一些常用的乘法公 式，可以逆用進(jìn)行因式分解。式，可以逆用進(jìn)行因式分解。 常用公式常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式）平方差公式） 2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式）（完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

17、 及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方和、差公式）（立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式）（完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)公式推導(dǎo) 222 222222 222 222 2 1 222 2 1 222222 2 1 zyzxyx zyzyzxzxyxyx yzxzxyzyx yzxzxyzyx 222 公式法公式法隨堂練習(xí)：隨堂練習(xí)： 二、公式法二、公式法 只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)特點(diǎn)，再，再 將符合其形式的公式套進(jìn)去即可將符合其形式

18、的公式套進(jìn)去即可 完成因式分解，有時(shí)需和別的方完成因式分解，有時(shí)需和別的方 法法結(jié)合結(jié)合或多種公式或多種公式結(jié)合結(jié)合。 三、十字相乘法三、十字相乘法 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 例例1：因式分解：因式分解x2+4x+3 13 13 +1+3 p、q型因式分解型因式分解 例例2：因式分解：因式分解x27x+10 (2)(5) (2) + (5) 25 十字相乘法十字相乘法隨堂練習(xí)：隨堂練習(xí)： 三、十字相乘法三、十字相乘法 試因式分解試因式分解6x2+7x+2。 十字相乘法十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）（適用于二次三項(xiàng)式） ac(ad+bc)bd 二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)常數(shù)

19、項(xiàng) = 17 3 x2 + 11 x + 10 6 x2 + 7 x + 2 2 3 1 2 4 + 3 = 7 21 32 1 3 5 2 2 + 15= 11 1 3 2 5 5 + 6 2 35 = 6 5 x2 6 xy 8 y2 試因式分解試因式分解5x26xy8y2。 十字相乘法十字相乘法 1 5 2 4 4 10 254 簡記口訣：簡記口訣： 首尾分解，首尾分解， 交叉相乘，交叉相乘， 求和湊中。求和湊中。 十字相乘法十字相乘法隨堂練習(xí)：隨堂練習(xí)： 四、分組分解法四、分組分解法 要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通 過交換項(xiàng)的位置，添、去括號等過交換項(xiàng)的位置，添、去括

20、號等 一些一些變換變換達(dá)到因式分解的目的。達(dá)到因式分解的目的。 例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。 (ab ac) (bd cd) (b c)(b c) (a + d) 還有別還有別 的解法的解法 嗎？嗎？ 四、分組分解法四、分組分解法 要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通 過交換項(xiàng)的位置，添、去括號等過交換項(xiàng)的位置，添、去括號等 一些一些變換變換達(dá)到因式分解的目的。達(dá)到因式分解的目的。 例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。 (ab + bd) (ac + cd) (a + d)(a + d) (b c) 例例2：因式分解：因式分解 x5+x4+x3+

21、x2+x+1 。 (x2+x+1) (x+1)(x2x+1)立方和公式立方和公式 分組分解法分組分解法隨堂練習(xí)：隨堂練習(xí)： 回顧例題：回顧例題：因式分解因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。 +2x2x2 (x2+1)2 (x2+x+1)(x2x+1) 五五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法、拆項(xiàng)添項(xiàng)法 怎么結(jié)果怎么結(jié)果 與剛才不與剛才不 一樣呢？一樣呢？ 因?yàn)樗€因?yàn)樗€ 可以繼續(xù)可以繼續(xù) 因式分解因式分解 拆項(xiàng)添項(xiàng)法對數(shù)學(xué)能力有著更拆項(xiàng)添項(xiàng)法對數(shù)學(xué)能力有著更 高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng) 拆哪一項(xiàng)使得接下來可以繼續(xù)因式拆哪一項(xiàng)使得接下來可以繼續(xù)因式 分解，要對結(jié)果有一定的

22、分解，要對結(jié)果有一定的預(yù)見性預(yù)見性， 嘗試較多，做題較繁瑣。嘗試較多，做題較繁瑣。 最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng) 猜測猜測可能需要使用的公式，有時(shí)要可能需要使用的公式，有時(shí)要 根據(jù)形式根據(jù)形式猜測猜測可能的系數(shù)?？赡艿南禂?shù)。 五五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法、拆項(xiàng)添項(xiàng)法 + 4x2 4x2 都是平方項(xiàng)都是平方項(xiàng) 猜測使用完全平方公式猜測使用完全平方公式 完全平方公式完全平方公式 平方差公式平方差公式 拆項(xiàng)添項(xiàng)法拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：隨堂練習(xí)： 配方法配方法 配成完全平方式配成完全平方式 因式分解因式分解 a2b2+4a+2b+3 。 (b1)2 配方法配方法 ( (拆項(xiàng)添項(xiàng)法拆項(xiàng)添項(xiàng)法) ) 分組分解法分組分解法 完全平方公式完全平方公式 平方差公式平方差公式 六六*、待定系數(shù)法、待定系數(shù)法 試因式分解試因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y