人教版高中數(shù)學(xué)《用裂項(xiàng)法證明不等式》教學(xué)案例

1、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究、解決問題的能力 用裂項(xiàng)法證明不等式教學(xué)案例一、相關(guān)背景介紹：在今年的高三教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明題常常束手無策，這塊內(nèi)容又是一個(gè)考點(diǎn)，通常出在大題目的第三小題，還可與函數(shù)數(shù)列結(jié)合起來出題，證明這些不等式常常要用到幾種常用的裂項(xiàng)法、放縮法、構(gòu)造法，但在用的過程中不是一成不變的套用公式,它需要學(xué)生根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活變化。而本校的學(xué)生，一般只能用最簡單的裂項(xiàng)法來證明不等式，為此，我關(guān)于這塊內(nèi)容，做了一些整理，進(jìn)行教學(xué)。二、本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：使學(xué)生掌握用分式裂項(xiàng)法證明不等式的方法，能對(duì)分式裂項(xiàng)法深入理解，學(xué)會(huì)運(yùn)用不等式證明過程中比較、放縮的技巧；2、

2、過程與方法：讓學(xué)生經(jīng)歷閱讀、理解、探索、求解的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生，類比的思想，滲透化歸轉(zhuǎn)化的思想。在錯(cuò)誤中逐步修正，尋求合理有效途徑，以解決問題的能力；3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀：使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，積極參與和勇于探索的精神。三、設(shè)計(jì)理念：通過一個(gè)例題的導(dǎo)入，讓學(xué)生復(fù)習(xí)最簡單的分式裂項(xiàng)證明不等式的方法，為后面的題目打好基礎(chǔ)，然后引入變式一，講解變式一的目的是為了讓學(xué)生更深刻的理解例一，同時(shí)還能把不等式證明同數(shù)列求和聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度與深度，并在求解的過程中，滲透化歸轉(zhuǎn)化的思想。然后再引入變式二，把學(xué)生引入了防縮法證明不等式，為下節(jié)課做好準(zhǔn)備，此外，

3、還強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生自己思考問題，探索問題，解決問題，在錯(cuò)誤中，不斷修正自己的解法，從而最后找到正確的途徑，它能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力，分析問題，解決問題的能力。在整節(jié)課的最后，提出的思考，讓這節(jié)課的問題得到了延伸，也起到了分層教學(xué)的目的。四、課堂實(shí)錄：在教學(xué)過程中，我首先引入一個(gè)簡單的例題：例一：求證（此題用裂項(xiàng)法解，學(xué)生一般都能證明）證明：由可得不等式左邊然后我在例一的基礎(chǔ)上引入了兩個(gè)變式請(qǐng)學(xué)生思考。變式一：求證：在此題的證明過程中，我先引導(dǎo)學(xué)生嘗試用例一的解法去解，學(xué)生動(dòng)筆以后發(fā)現(xiàn)也就是說與例一有一定的差距，接著我就提問一：“比較兩式會(huì)發(fā)現(xiàn)問題出在分子的2上，那么如何解決這

4、個(gè)問題？”學(xué)生回答：“可除以一個(gè)2?！边@樣一來問題就解決了不等式證明可以如下由可得不等式左邊做完變式一后我提出了幾個(gè)問題：“觀察變式一的分母，你能否從這些數(shù)中找到一個(gè)我們都熟悉的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是什么數(shù)列？”“能否自己編一道與數(shù)列有關(guān)的證明題，可用裂項(xiàng)法證明？”學(xué)生很容易在分母中找到等差數(shù)列，有學(xué)生編了一題，但是不知道是多少，在同學(xué)的幫助下最后找到答案變式二：證明此題的分母是完全平方，所以不能直接用裂項(xiàng)法，此時(shí)我讓學(xué)生類比例一與變式二，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)問題，找到解決問題的途徑，第一個(gè)學(xué)生提出想把轉(zhuǎn)化為，因此得出結(jié)論這個(gè)想法雖好，但是與所要證明的不等式有一定的差距，原本應(yīng)放大的不等式結(jié)果縮小了，

5、面對(duì)這個(gè)現(xiàn)象，我向?qū)W生提出問題：“如何能根據(jù)剛才那個(gè)同學(xué)所講的，把分母的完全平方變成相鄰的兩個(gè)數(shù)，同時(shí)不等式不是縮小，而是放大了？一個(gè)分式在分子不變的情況下分母如何處理才能放大呢？”根據(jù)我的提問，幾個(gè)程度好的同學(xué)已經(jīng)能夠想到解決的方法，我即時(shí)給予表揚(yáng)，并提出改正方案：當(dāng)n2時(shí),當(dāng)n=1時(shí), 2顯然成立根據(jù)上面所講，我再次提出問題：“如何證明？”“與變式二比較，原先證明小于2現(xiàn)在要證明小于，也就是說放縮的范圍更加精確，、這個(gè)式子中, 對(duì)整個(gè)式子的影響最小, 與2比較差了,如何解決這個(gè)的問題?”雖然我提出的問題比較零散,但給了學(xué)生一定的時(shí)間思考問題,讓學(xué)生反復(fù)的嘗試,最后有部分同學(xué)能得出正確的證明方法.當(dāng)n3時(shí),當(dāng)n=1，2時(shí), 顯然成立.在這節(jié)課的最后,我提出了思考題:已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，并且a1 = a (0 a 1)， =，求證：五、課后反思:整節(jié)課，自我感覺較好，課堂氣氛比較活躍，學(xué)生能掌握這節(jié)課的基本教學(xué)內(nèi)容，給學(xué)生較多的思考時(shí)間與想象空間能發(fā)揮他們的主體地位。 除了完成這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)之外，這節(jié)課主要還是在于培養(yǎng)學(xué)生，分析探究，解決問題的能力，從類比中發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)行嘗試，找出解決的方法，若找出的方法不正確，就進(jìn)一步的修復(fù)，從而培養(yǎng)了學(xué)生的興趣，勇于探索的精神。 在這節(jié)課的內(nèi)容設(shè)計(jì)上，我把裂項(xiàng)法定位在分式的裂項(xiàng)上，其實(shí)裂項(xiàng)法還涉及很多內(nèi)容，比