第6講 質(zhì)點(diǎn)的角動量角動量守恒定律

1、第第5章章 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)(系系)的角動量的角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律 Law of Conservation of Angular Momentum 5.1 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理 5.2 質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理 5.3 角動量守恒定律角動量守恒定律 在自然界中經(jīng)常會遇到質(zhì)點(diǎn)圍繞著一定的中心運(yùn)轉(zhuǎn)在自然界中經(jīng)常會遇到質(zhì)點(diǎn)圍繞著一定的中心運(yùn)轉(zhuǎn) 的情況。例如，行星繞太陽的公轉(zhuǎn)，人造衛(wèi)星繞地的情況。例如，行星繞太陽的公轉(zhuǎn)，人造衛(wèi)星繞地 球轉(zhuǎn)動，電子繞原子核轉(zhuǎn)動以及剛體的轉(zhuǎn)動等等。球轉(zhuǎn)動，電子繞原子核轉(zhuǎn)動以及剛體的轉(zhuǎn)動等等。 在這些問題中，動量定理及其守恒定律未必適用，在這

2、些問題中，動量定理及其守恒定律未必適用， 這時若采用這時若采用角動量角動量概念討論問題就比較方便。概念討論問題就比較方便。 角動量也是一個重要概念。角動量也是一個重要概念。 0 Lrmv ( (矢量矢量) ) L mv r 的大小為：的大小為： L sin LLrmv 和和 的夾角為的夾角為 ， r mv 的方向：由的方向：由 和和 按照按照右手螺旋法則右手螺旋法則確定。確定。 L r mv 角動量的定義：角動量的定義： 也稱為動量矩。也稱為動量矩。 5.1 質(zhì)點(diǎn)的角動量定理質(zhì)點(diǎn)的角動量定理 關(guān)于角動量關(guān)于角動量 角動量與位矢有關(guān)角動量與位矢有關(guān), 位矢與參考點(diǎn)有關(guān)位矢與參考點(diǎn)有關(guān), 有相對性

3、。有相對性。 談到角動量時談到角動量時必須指明必須指明是對哪一是對哪一參照點(diǎn)參照點(diǎn)而言。而言。 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動時，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動時，= / 2 角動量大小為：角動量大小為： sinLmvrmvr 2 mr 討論討論 對于勻速圓周運(yùn)動，因速度的方向一直在改變，對于勻速圓周運(yùn)動，因速度的方向一直在改變， 因而因而動量不守恒動量不守恒，但，但角動量是一個常矢量角動量是一個常矢量。 在直角坐標(biāo)系中，角動量在各坐標(biāo)軸的分量為：在直角坐標(biāo)系中，角動量在各坐標(biāo)軸的分量為： () zyx LxPyP () yxz LzPxP () xzy LyPzP xyz ijk LrPxyz PPP 0 0 xy i

4、jk LrPxy PP 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作一般平面運(yùn)動時，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作一般平面運(yùn)動時，角動量為：角動量為： () yx xPyP k 質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動的角動量。質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動的角動量。 質(zhì)點(diǎn)位置矢量的方向發(fā)質(zhì)點(diǎn)位置矢量的方向發(fā) 生了變化生了變化轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 mvrsinLmvr 廣義的轉(zhuǎn)動：廣義的轉(zhuǎn)動： y z x o p r L r 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動時，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動時，v, r 都 都 是不變的，角動量是常量。是不變的，角動量是常量。 mvrsinLmvr Lmv rrP Lmvr mvrsinLmvr 地球公轉(zhuǎn)（圓軌道）的角動量。地球公轉(zhuǎn)（圓軌道）的角動量。 地球的軌道半徑是地球的軌道半徑是 它的

5、質(zhì)量是它的質(zhì)量是 因此可得，它繞太陽的角速率因此可得，它繞太陽的角速率 11 1.5 10 mR 24 6.0 10 kgm 地球每年地球每年運(yùn)動一周運(yùn)動一周(365 )dT (2) rad 7 2.0 10 rad/s 2 (365 )(24)(3600)dh/ds/h 2 /T 所以地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量大小是所以地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量大小是 40 2.7 10 2 kg m /s 2411 27 (6.0 10 )(1.5 10 ) (2.0 10 ) 2 LmR 類比質(zhì)點(diǎn)的動量定理類比質(zhì)點(diǎn)的動量定理 F dv m dt dPd mv dtdt 考查質(zhì)點(diǎn)角動量考查質(zhì)點(diǎn)角動量的變化率：的變

6、化率： Lrmv dLd rmv dtdt （） () d mvdr rmv dtdt rFvmv dL M dt 于是有于是有引起轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的原引起轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的原 因是由于力矩的作用因是由于力矩的作用 可見可見: rF 令令 rFM力矩力矩 比較比較 dL M dt 角動量定理的微分形式角動量定理的微分形式 dP F dt 0 0 t t MdtLL 0 0 t t FdtPP 與動量定理在形式、結(jié)構(gòu)上一致。與動量定理在形式、結(jié)構(gòu)上一致。 角動量定理的積分形式角動量定理的積分形式 沖量矩沖量矩 沖量沖量 0 MrFsin MMrF 其中其中為為 和和 的夾角的夾角 r F M r F r

7、 F sinMrF rF sinMFr r F 力對某一固定點(diǎn)的力力對某一固定點(diǎn)的力 矩的大矩的大小等于此力和小等于此力和 力臂的乘積。力臂的乘積。 F r 有心力對力心的力矩為零。有心力對力心的力矩為零。 在直角坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸的分量為：在直角坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸的分量為： 關(guān)于力矩關(guān)于力矩 上式也稱為力對軸的力矩。上式也稱為力對軸的力矩。 始終指向某一固定點(diǎn)的力叫有心力，該固定點(diǎn)為力心。始終指向某一固定點(diǎn)的力叫有心力，該固定點(diǎn)為力心。 xyz ijk MrFxyz FFF xzy yxz zyx MyFzF MzFxF MxFyF 討論討論 落體運(yùn)動中質(zhì)點(diǎn)對同一 落體運(yùn)動中質(zhì)點(diǎn)

8、對同一 參照點(diǎn)的角動量和力矩參照點(diǎn)的角動量和力矩 試問：企鵝從試問：企鵝從A做自由落體運(yùn)動的過做自由落體運(yùn)動的過 程中，對于程中，對于O點(diǎn)的角動量為多少？點(diǎn)的角動量為多少？ 力偶矩力偶矩 F F F F 一對等大反向的力作用于對稱中心的力矩。一對等大反向的力作用于對稱中心的力矩。 2MRF 2MFd d 質(zhì)點(diǎn)系的角動量是各個質(zhì)點(diǎn)對同一固定參照點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系的角動量是各個質(zhì)點(diǎn)對同一固定參照點(diǎn) 的角動量的矢量和。的角動量的矢量和。 5.2 質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理 11 nn iii ii LLrp 研究方法：研究方法：先對每個質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用角動量定理，然后先對每個質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用角動量定理，然后 對所有

9、質(zhì)點(diǎn)求和。對所有質(zhì)點(diǎn)求和。 對質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)i應(yīng)用角動量定理：應(yīng)用角動量定理： 1, n i i iiij jji dL MrFf dt 對質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)求和，則有對質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)求和，則有 11 nn i i ii LL L dtdtdt ddd extintMM 11 nn iiii ii j ji rFrf fij fji ri rj Fi Fj O 1 n int iij ij i Mrf 1 n ext ii i MrF iijjjiijij rfrfrrf jiij ff ij rr ij f ri-rj fij fji ri rj Fi Fj O ext dL M dt 則有：則

10、有： 若質(zhì)點(diǎn)若質(zhì)點(diǎn)( (系系) )所受外力對某固定參照點(diǎn)的力矩矢量和所受外力對某固定參照點(diǎn)的力矩矢量和 為零，則質(zhì)點(diǎn)為零，則質(zhì)點(diǎn)(系系)對對該固定點(diǎn)的角動量守恒。該固定點(diǎn)的角動量守恒。 角動量守恒定律角動量守恒定律 根據(jù)動量定理：根據(jù)動量定理： dL M dt 若若 0 M L常常矢矢量量 5.3 角動量守恒定律角動量守恒定律 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)( (系系) )所受的合外力為零；所受的合外力為零； 合力矩為零。合力矩為零。 在有心力的作用下在有心力的作用下, ,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)( (系系) )對力心的角動對力心的角動 量都是守恒的；量都是守恒的； 勻速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)勻速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)( (系系) )對任意固定點(diǎn)

11、的對任意固定點(diǎn)的 角動量都是守恒的。角動量都是守恒的。 討論討論 用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓 周運(yùn)動，其半徑為周運(yùn)動，其半徑為 r0 ，角速度為，角速度為0 ?，F(xiàn)通過圓心?，F(xiàn)通過圓心 處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求(1) 當(dāng)半徑縮為當(dāng)半徑縮為 r 時的角速度；時的角速度；(2) 此力作功幾何？此力作功幾何？ 解： m r0r o v以小孔以小孔 o 為原點(diǎn)為原點(diǎn) 繩對小球的拉力為有心力，繩對小球的拉力為有心力， 則小球?qū)t小球?qū) 點(diǎn)的角動量守恒。點(diǎn)的角動量守恒。 其力矩為零。其力矩為零

12、。 初態(tài)初態(tài) 末態(tài)末態(tài) 角動量守恒角動量守恒 所以所以 2 000 Lmr 2 Lmr 22 00 mrmr 2 0 0 2 r r 根據(jù)動能定理，此力的功為：根據(jù)動能定理，此力的功為： 0() 22 0 0 1 1 2 r mv r 22 0 11 22 mvmv k WE 可見，把質(zhì)點(diǎn)從較遠(yuǎn)的距離移到較近的距離過程可見，把質(zhì)點(diǎn)從較遠(yuǎn)的距離移到較近的距離過程 中，若維持角動量守恒，必須對質(zhì)點(diǎn)做功。中，若維持角動量守恒，必須對質(zhì)點(diǎn)做功。 星系的形狀可能與此有關(guān)。星系的形狀可能與此有關(guān)。 星系（銀河系）的早期可能是具有角動量的大質(zhì)星系（銀河系）的早期可能是具有角動量的大質(zhì) 量氣團(tuán)，在引力作用下收

13、縮。軸向的收縮不受什量氣團(tuán)，在引力作用下收縮。軸向的收縮不受什 么阻礙，很快塌縮。徑向卻不那么容易，因而像么阻礙，很快塌縮。徑向卻不那么容易，因而像 銀河系這樣的星系呈扁平狀。銀河系這樣的星系呈扁平狀。 銀河系銀河系 Here is 我們的太陽我們的太陽 仙女座星系仙女座星系 (220萬光年萬光年) 一顆地球衛(wèi)星，近地點(diǎn)一顆地球衛(wèi)星，近地點(diǎn)181km，速率，速率8.0km/s， 遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn)327km，求衛(wèi)星在該點(diǎn)的速率。，求衛(wèi)星在該點(diǎn)的速率。 解：角動量守恒角動量守恒 近地點(diǎn)近地點(diǎn) 11 vr 遠(yuǎn)地點(diǎn)遠(yuǎn)地點(diǎn) 22 vr 則則 2 21 1 mv rmv r 7.83km/s 1 21 2 r

14、 vv r 6370 181 8.0 6370327 且且 Is the angular momentum of planet conservative about the other focus of orbit? Why? NO! 1 r 1 v 2 r 2 v 這就是為什么彗星運(yùn)轉(zhuǎn)周期為幾十年，而經(jīng)過太陽這就是為什么彗星運(yùn)轉(zhuǎn)周期為幾十年，而經(jīng)過太陽 時只有很短的幾周時間。彗星接近太陽時勢能轉(zhuǎn)換時只有很短的幾周時間。彗星接近太陽時勢能轉(zhuǎn)換 成動能，而遠(yuǎn)離太陽時，動能轉(zhuǎn)換成勢能。成動能，而遠(yuǎn)離太陽時，動能轉(zhuǎn)換成勢能。 在在低軌道上運(yùn)行的地球衛(wèi)星低軌道上運(yùn)行的地球衛(wèi)星由于大氣摩擦阻力對地由于大氣摩擦阻力對地 心的矩不為零，其心的矩不為零，其對地心的角動量不守恒對地心的角動量不守恒。在此力。在此力 矩的作用下，衛(wèi)星的角動量值不斷減小，最后隕落矩的作用下，衛(wèi)星的角動量值不斷減小，最后隕落 地面。地面。 角動量守恒是自然界的普遍規(guī)律角動量守恒是自然界的普遍規(guī)律 從天體運(yùn)動到亞原子粒子的運(yùn)動，都未發(fā)現(xiàn)反例。從天體運(yùn)動到亞原子粒子的運(yùn)動，都未發(fā)現(xiàn)反例。 角動量