一、連續(xù)函數(shù)的運算法則

1、一、連續(xù)函數(shù)的運算法則一、連續(xù)函數(shù)的運算法則 第九節(jié) 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 連續(xù)函數(shù)的運算與 初等函數(shù)的連續(xù)性 第一章 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù) xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù) 一、連續(xù)函數(shù)的運算法則一、連續(xù)函數(shù)的運算法則 定理定理1. 在某點連續(xù)的有限個函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 , ( 利用極限的四則運算法則證明) 連續(xù)xx cos,sin 商(分母不為 0) 運算, 結果仍是一個在該點連續(xù)的函數(shù) . 例如例如, 例如例如,xysin在 , 22 上連續(xù)單調(diào)遞增， 其反函數(shù)xyarcsin (遞減). (證明

2、略) 在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增. 遞增 (遞減)也連續(xù)單調(diào) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)是連續(xù)的. x ey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增, 其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增. 證證: 設函數(shù))(xu, 0 連續(xù)在點 x .)( 00 ux ,)( 0 連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)uufy . )()(lim 0 0 ufuf uu 于是 )(lim 0 xf xx )(lim 0 uf uu )( 0 uf)( 0 xf 故復合函數(shù))(xf. 0 連續(xù)在點 x 又如又如, 且 即 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如例如, x y 1

3、sin是由連續(xù)函數(shù)鏈 ),(,sinuuy , 1 x u * Rx 因此 x y 1 sin在 * Rx上連續(xù) . 復合而成 , x y o x y 1 sin 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1 . 設)()(xgxf與 均在,ba上連續(xù), 證明函數(shù) )(, )(max)(xgxfx 也在,ba上連續(xù). 證證: 2 1 )(x)()(xgxf)()(xgxf )()()( 2 1 xgxfx)()(xgxf 根據(jù)連續(xù)函數(shù)運算法則 , 可知 )(, )(xx也在,ba上 連續(xù) . )(, )(min)(xgxfx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的

4、連續(xù)性 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)連續(xù) 一切初等函數(shù) 在定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù) 例如例如, 2 1xy 的連續(xù)區(qū)間為 1, 1 (端點為單側(cè)連續(xù)) xysinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2( 1cosxy的定義域為Znnx,2 因此它無連續(xù)點 而 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求. )1 (log lim 0 x x a x 解解: 原式 x x a x 1 )1 (loglim 0 e a log aln 1 例例3. 求. 1 lim 0 x a x x 解解: 令, 1 x at則, )1 (logtx a 原式 )

5、1 (log lim 0t t a t aln 說明說明: 當, ea 時, 有0 x )1ln(x1 x e xx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2 0 cos1 2 lim. 1 x x x e 解解: : 所以運用等價無窮小的代換所以運用等價無窮小的代換, , 有有 2 0 cos1 2 lim 1 x x x e 2 2 0 () 2 2 lim x x x 2 2 0 1 lim() 8 x x x 1 8 例例4. 求求 0, x 因為當時 2 22 cos1 ()2, 1 22 x xx ex 1,4 1, )( xx xx x例例5. 設, 1,2 1, )( 2 xx

6、xx xf 解解: 討論復合函數(shù))(xf 的連續(xù)性 . )(xf 1, 2 xx 1,2xx 故此時連續(xù); 而 )(lim 1 xf x 2 1 lim x x 1 )(lim 1 xf x )2(lim 1 x x 3 故 )(xfx = 1為第一類間斷點 . 1)(),( 2 xx 1)(, )(2xx ,)(1為初等函數(shù)時xfx 在點 x = 1 不連續(xù) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 023 lim( ),lim( ),lim( ). xxx f xf xf x 例例6. 求函數(shù)求函數(shù) 32 2 33 ( ) 6 xxx f x xx 的連續(xù)區(qū)間的連續(xù)區(qū)間, 并求并求 2 (3

7、)(1) (3)(2) xx xx 2 1 3 2 x x x 32 2 33 ( ) 6 xxx f x xx 因為 (, 3)( 3,2)(2,) 所以函數(shù)所以函數(shù)f (x) 的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 解解: 32 2 00 33 lim( )lim 6 xx xxx f x xx 而而 32 2 22 33 lim( )lim 6 xx xxx f x xx 32 2 33 33 lim( )lim 6 xx xxx f x xx 2 3 (3)(1) lim (3)(2) x xx xx 2 3 18 lim 25 x x x 1 2 limlnln(2). n nnn limln 2

8、 n n n n 2 limln(1) 2 n n n 2 lim ln(1) 2 n n n 2 lnlim(1) 2 n n n 解解: limlnln(2) n nnn 2 lim 2 ln n n n e 2 ln2e 例例7. 求求 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的四則運算四則運算的結果連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)復合函數(shù)連續(xù) 初等函數(shù)在 定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù) 說明說明: 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè) P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5 思考與練習思考與練習 ,)( 0 連續(xù)在點若xx